广西壮族自治区柳州市柳城县六塘中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

广西壮族自治区柳州市柳城县六塘中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等比数列的性质．【分析】根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项am，an使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项am，an使得，∴aman=16a12，∴qm+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选B．2.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6π B．7π C．8π D．12π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为．故选B．3.已知且，则向量等于A. B. C. D.参考答案：D4.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）

A． B． C．20 D．40参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：该几何体是四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=4，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=4，BC=1．∴几何体的体积V=××（1+4）×4×4=．故选：B5.若，且，则下列不等式成立的是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B，所以选B.6.若抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（

）

A．

B．

C．1

D．2参考答案：D略7.已知函数的最小值为（

）A．6

B．8

C．9

D．12参考答案：B略8.已知函数，则函数的大致图像为（

）

参考答案：B知识点：函数的图象与图象变化解析：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C，又当x=﹣1时，函数值等于0，故排除D，故选B．【思路点拨】由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除A、C，由x＞0时，函数值恒正，排除D．

9.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(

).

A.

B.C.

D.参考答案：D10.已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用．【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x为定值，可以设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，变形化简可得log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线，则m=

。参考答案：4略12.如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.参考答案：13.如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是△ABC外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____．参考答案：分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B∈（0，π），可求B的值．由余弦定理可得AC2=13﹣12cosD，由△ABC为直角三角形，可求，,S△BDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利用三角函数化一公式得到最值时的角C值.详解：，由正弦定理得到在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面积为四边形的面积为

当三角形面积最大时，故答案为：点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．14.在△ABC中，，则__________.参考答案：15.已知是等比数列，，则=

。参考答案：16.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC1相切，则小球半径的最大值=

．参考答案：17.

设x，y满足的最大值是

。参考答案：答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)设数列的前n项和为，若，N*，（1）求数列的通项公式；ks5u（2）设，求数列的前n项和为；（3）令，数列的前n项和为，试求最小的集合,使。参考答案：解：∵，∴当时，，

……2分∴，

…………3分∴，∴数列从第二项起成等比数列，而，∴

………4分∴

数列的通项公式为

………5分（2），

………………7分；

……………9分

（3），

……10分∴又，∴递增，∴，

………………13分综上，，∴＝。

……………14分19.设c＞0，命题P：y=logcx是减函数；命题Q：2x﹣1+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【分析】根据函数性质求出命题P，Q成立的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解即可．【解答】解：若y=logcx是减函数，则0＜c＜1，即P真：0＜c＜1，若2x﹣1+2c＞0对任意x∈R恒成立，则2c＞1﹣2x，∵2x＞0，∴﹣2x＜0，1﹣2x＜1，即2c＞1，则，即Q真：，若P或Q为真，P且Q为假，则P，Q一真一假，若P真Q假，则，则0＜c≤，若Q真P假，则，则c≥1，综上c的取值范围．20.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．甲组乙组(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差为x1，x2，…，xn的平均数)参考答案：(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为方差为(2)记甲组四名同学分别为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)．用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C)＝.21.（本题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，函数取得极大值，求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内存在导数，则存在，使得.试用这个结论证明：若函数（其中），则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都有.

参考答案：（Ⅰ）由题设，函数的定义域为，且所以，得，此时.当时，，函数在区间上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减.函数在处取得极大值，故

…………4分（Ⅱ）令，则.因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在使得

…………7分又，当时，，从而单调递增，；当时，，从而单调递减，；故对任意，都有