矩阵分析课件吕7第七讲欧氏空间

(x,y)(y,(kx,y)k(x,(xy,z)x,z(y,

xx0,x0时xx)

yR上的线性空间V为欧氏空间. ③(x,y) xa1,a2,L,an yb1,b2,L,bn (x,y)a1b1a2b2Lanbn 易证(x,y)满足定义中的性质(1)～(4). (x,y)为内积这样Rnxy就成为一个欧氏空间 (x,y)即xy (x,y)a1b12a2b2LkakbkL所以x,y)也为内积.从而Rnxy)也构成一个欧氏空间 未必有(x,y)(x, 例2．在

A

(A,B)aij

tr(ABT

Rmn对于内积AB就成为一个欧氏空间 所成线性空间，对于函数fx),gx)，定义b(f,g)

f(x)g(x)

则C[a,b]对于（3）作成一个欧氏空间.证：f(x),g(x),h(x)C(a,b), (f,g) f(x)g(x)dx

g(x)f(x)dx(g,f (kf,g)akf(x)g(x)dxka

f(x)g(x)k(f, b(fg,h)af(x)g(x)h(x)b f(x)h(x)dx

g(x)h(x)(f,h)(g,b(f,f)b

f2(x) f2(x)0,且若f(x)

(f,f)0.f2x f,f0.故f,f0fx0. Vx,yzVk(x,ky)k(x,

kx,kyk2(x,(0,y)(x,0)(x,yz)(x,y)(x,

x,

y

(x,y

jnnnn

i, 设V1x2,Lxn为V的一组基，对V中x1x12x2Lnxny1x12x2Ln (x,y)(ixi,jxj)ij(xi,xj 令aij(xi,xj i,j1,2,L

1 1 X2 Y

n

n (x,y)aiji X 定义：矩阵A(x2,x1)x2,x2 (x,x)(x,x (x,x) ,xn的度量矩阵 1 xVx0，即X2 xxXAX

n BCT证：设x1,x2, ,xn;y1,y2, ,yn为欧氏空间V的两(y1,y2 ,yn)(x1,x2 ,xn设C nn yickixk,i1,2, (yi,yj)(ckixk,clj

)(xk,xl)k1laklk1l

B(yi,yj)CiACj

AC,C

n

x,yVx1x12x2 nxnx1,x2, ,xnX1x1y12y2 nyny1,y2 ,ynX2x1,x2 ,xnyx1,x2 ,xnyy1,y2 ,ynY2x1,x2 ,xn

X1CXY1基（I）xyXT x,yXTBYXTCTACYXT

x1）在R3向量x的长度（模）xx (x,x)xx

x

(x,(x,

x1x为单位向量 x x0xkxk

1xx x,yarccosx x(x,y)xy(x,y)xy 对欧氏空间Vx、y(x,y)x 证：当y0时，(x,0) y (x,y)

y

y0

zx (z,z)(xty,x(x,x)2(x,y)t(y,y)t2 取t(x, (y,(x, (x,(x,x)2(x, (y, (y, (y, (x,y)2(x,x)(y, x,yxy x于是，x,y)(ky,y)kyy)ky2xykyyky (x,y)xy

或者y0

xx,yyy,x、y线性相关

a1b1a2b2L a2a2L

b2

L

nai,bi i1,2,L, n

f(x)g(x)dx

f2(x)dx

g2(bbb bbbbC(a,bfx与gxb(f(x),g(x)) f(x)g( (f(x),g(x))

f(

xyx 证：x

2(xy,x(x,x)2(x,y)(y,x22xyy2xy 向量，x、y的夹角定义为x,yarccos(x,x0x,y x,yxy正交或互相垂直，记作xy②x

x,y2

即cosx,y 设V为欧氏空间，x,yx

xy2

x2y x

2xy,xy2x,x2x,yy,2 xy2

x2

(x,y)xy (xi,xj) i i,j1,2, .则证xx x2x2x2 . (xi,xj) i 2则x1x2 2

xi,

xj(xi,xi)(xi,xj i (x,x)x2x2 x2,1,3,

x,(x,y),x,y,xy

x,x2212322(x,y)2112x,x22123221212521212527

x,y2 x

通常称通常称xyx与yd(x, 证：对Vn的基x,x y1,y2 , (yi,yj) iyjjyjj ,

,且x1x12x2 nxn,y1x12x2 n , （2）ix,xi, y,xjn（3）x,yn 欧氏空间V的子空间V1,yVxyx，则称y正交于V1y

VnV1Vy|yVy11 1yz,xy,xz,x0yz :yzV11ky,xky,x0ky :kyV1

Vn V RA)NAT),RANAT RAT NA),且RATNA 即，T(x),T(y)(x,y), x,yV则称T为正交变换 定理：设T是欧氏空间V的一个线性变换.1）TT(x)x dT(x),T(y)dx, x,y 2)若TT(x),T(x)(x, T(x)2x T(x)x 1若Txy T(x),T(x)(x,x),T(y),T(y)(y,

T(xy),T(xy)(xy,x T(x),T(x)2T(x),T(y)T(y),T((x,x)2(x,y)(y,T(x),T(y)(x,T 3) T(x)T(y)T(x dT(x),T(y)T(x)T(T(x xd(x,

2)

dT(x),T(y)dx, x,y则有，dT(x),T(0)dx, 即，Tx)

x

, ,T(xn)也是 i i即有，Txi),Txj) i i 若线性变换T使V的标准正交基x1,x2, ,xn变标准正交基T(x1),T(x2), ,T(xn)，则T为V的正交xyV,x1x12x2 nxny1x12x2 n,由x,x ,

(x,y) n又Tx)iTxin

T(y)jT(xjnn nT(x),T(y)n T(x),T(y)(x,故T T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．证明"" 设x1,x2, Tx1,x2 ,xnTx1,Tx2 ,Txnx1,x2 ,xnA当T是正交变换时，由1知，Tx1,Tx2, ,Txn ,xn ,Txn的过渡矩阵是正交矩阵

设x1,x2 Tx1,x2 ,xnx1,x2 ,xnA ,Txnx1,x2 ,xnA由于当A是正交矩阵时Tx1,Tx2, ,Txn 标准正交基，再由1即得T为正交变换． xn下的矩阵是正交矩阵AA如

A1,A

则称T为第二类的． ,xnTx1 xi i2,3, n. 证：设Axx,xxHAxx,xHAxxHxxHAx

xxHx

即IAx0是实系数齐次线性方程组，xR。对应的特征向量为实向量 定义一个线性变换T如下：T(x) 则对任意x,yRn T(x),yx,T( yT(Ax)xT( e0, 1,..., 则Te1e2en下的矩阵为AT(e1,e2,...,en)(e1,e2,...,en)x1 y1 xx2 yy2 n nxx1e1x2e2yy1e1y2e2...

(e1,e2,...,en)Y T(x)T(e1,e2,...,en)X(e1,e2,...,en)AXT(y)T(e1,e2,...,en)Y(e1,e2,...,en)AY T(x),y(AX

(XA)YXX(AY)x,T(又注意到在Rn中xX yY即有yTAxy,Tx)Tx),x,T(y)xT( T(x),yx,T(则称T为对称变换

x,yV 事实上，设ARnn,A T(x1,...xn)(x1,...xn)1 1xV

xx1 ,xn ,Txx1 ,xnA yVnyx1 ,n ,Txx1 ,nA 1 1xx1 ,xn ,Txx1 ,xnA yx1 ,xn ,Txx1 ,xnA

A

x,Ty则T即为V 为T ,xn)(x1,x2 ,xn)或

A(a)RnnT(xi)a1ix1a2ix2 aninakixk

i1,2, Txix

akixk,xj

aki(xk,xj aji(xj,xj)a

xi,T(xj)

xi

akjxkn n

akj(xi,xknnaij(xi,xi) ijji i,j 为x1 和x2，则x1,x20Ax

Ax

xTx

T

xTx

xT 即：x1x 定义：线性空间V，复数域K，对xy定义一个复数xy(x,y)(y,(kx,y)k(x,(xy,z)x,z(y,

xx0,x0时xx

y (x,y)k(x, (x,y) 1,2 1,2 nTx,Tx) AHA (Tx, x,y

,n,存在酉矩阵Pnn * PHAP * ARnnAR,Qnn,QH 将“扩充x1Ck的基”改为“标准正交基” 定义：

AHAAHAA

(2)AHAIA正ATA

ATAIAB54j16j16 54j

78 B B B BBBH B,BHB ,(2)ARnnA

PHAPQnn，使得QT APPH,AHPPHAHAPPHPPHPPHP