过渡过程与动态电路

过渡过程与动态电路第一页，共七十二页，编辑于2023年，星期六2、对于存在电容和电感的电路，电容元件的电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一般需要时间。（过渡过程时间）。

例：如果电容原来不带电，在开关闭合时，电容电压从0变为。电容电流若电容电压能“瞬间”从0升到，则必需有:电容电压上升需要时间！第二页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例：原来，K闭合稳态时若电感电流能“瞬时”从0升到，则需一个无穷大端电压。电感电流上升需要时间！第三页，共七十二页，编辑于2023年，星期六过渡过程分析方法：1.经典法2.拉普拉斯变换法3.状态变量法4.叠加积分法第四页，共七十二页，编辑于2023年，星期六过渡过程分析方法之一：由KCL、KVL及元件电压电流关系（）列出电路方程，然后解出微分方程。(经典法)解过渡过程例：一阶微分方程若Us(t)=Us第五页，共七十二页，编辑于2023年，星期六从方程解出电容电压的一般解(一阶微分方程解)再由初始条件确定各系数。第六页，共七十二页，编辑于2023年，星期六5.2换路定则与初始条件

1.换路法则：（一般情况）1）、电容电压在换路前后的值不变由

当，而为有限值，则有

第七页，共七十二页，编辑于2023年，星期六2）、电感电流在换路前后的值不变由当，而为有限值时，则有。第八页，共七十二页，编辑于2023年，星期六实际现象讨论：（1）当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。第九页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例：发动机励磁线圈：L=0.4H，R=0.2Ω，直流电压US=40V，伏特表量程50V，内阻RV=5kΩ，开关闭合已久达稳态，求开关K断开瞬时伏特表电压？

解：（2）当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。第十页，共七十二页，编辑于2023年，星期六采用二极管并联续流方式可防止冲击电压。CheckYourUnderstanding

Whatwillhappeninthecircuitifweopenedtheswitchafterthecurrentisestablished?第十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期六3）求其他量的初始值。t=0代表换路前状态，t=0+代表换路后状态，t=0时发生换路。确定初始值步骤：1）利于t=0时的电路，求uC(0－)、iL(0－)。得uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)。2).作t=0+时的等效电路图。C+

uC(0-)-uC(0+)=uC(0-)LiL(0-)2.初始值确定iL(0+)=iL(0-)第十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例5-1图示电路，开关闭合已久。求开关打开瞬间电容电压电流，电感电压电流，电阻电压。由换路定则，解：开关闭合时的电容电压与电感电流为利用换路定则计算换路后瞬间电路状态第十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期六等效电路如图得：电感等效于一电流源

因此计算电路时，电容等效于一电压源，第十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例5-2图示电路，，开关闭合已久，求开关打开瞬间电阻R1上的电流。解：开关闭合时有开关打开后等效电路如图电阻电流第十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期六Us+uL-iR1R2R3CLiCiL+uC-图(a)解题步骤：独立初始值：uC(0+)与iL(0+)；t=0－非独立初始值：第一类非独立初始值：t=0+第二类非独立初始值：t0其他，uL(0+)，iC(0+)

开关K打开前电路处稳态，给定R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，L=4H，C=5F，US=6V，t=0开关K打开，求iC，iL，i，uC，uL，在0+时的值。第十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期六解：Us+uC(0-)-R1R2R3iL(0-)i2(0-)图(b)t=0－：第十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期六uC(0+)=uC(0－)=4ViL(0+)=iL(0－)=4Ai(0+)=iC(0+)+iL(0+)=6AuL(0+)=USR3iL(0+)=6Vt=0+：Us+uL(0+)-R1uC(0+)R3iL(0+)i(0+)iC(0+)图(c)第十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期六t≥0：Us+uL-iR1iLR3CLiC+uC-图(d)R1iC+uC

=US第十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期六3.强迫突变（跳变）情况下初始值的计算当电路存在由电压源和电容组成的回路（或存在纯电容回路）时，电容电压有突变。b)当电路存在由电流源和电感组成的割集（或纯电感割集）时，电感电流有突变。

1）发生强迫突变的情况：(若满足换路定则，则不满足基尔霍夫定律)第二十页，共七十二页，编辑于2023年，星期六电路存在由电压源和电容组成的回路（或存在纯电容回路）时，电容电压有突变。证明：如图所示电路，满足KCL但节点电荷不突变2）强迫突变（跳变）情况下初始值的计算对上式从t=0－到

t=0+积分第二十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期六第二十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例：设开关原来打开，问K闭合后瞬间。解题要点：注意：电容电压正号对着节点为正，负号对着节点为负。第二十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期六解：电路闭合后，应满足KVL，即有节点a电荷变换前后应保持一致即

代入数据

第二十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期六得：

例2电路如图，，求开关闭合后的值。解：闭合后电容电压应相等第二十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期六闭合前后节点a的电荷不变（电阻电路在换路瞬间无电荷流过）（1）（2）由（1）和（2）式，得第二十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期六证明：对两个电感所在的回路列KVL方程当电路存在由电流源和电感组成的割集（或纯电感割集）时，电感电流有突变。但回路磁链的值在换路前后保持不变对上式从t=0－到

t=0+积分第二十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期六第二十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例：，原来闭合，求：K打开后。解：解题要点：注意：电感电流与回路绕向一致为正，不一致为负。第二十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期六由KCL，开关打开后时回路磁链不突变：磁链方向与回路方向一致！！代入数据得：，第三十页，共七十二页，编辑于2023年，星期六对上式从t=0－到+

积分强迫突变下的电荷守恒和磁链守恒对于电容，如图回路由KCL得：第三十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期六对纯电容节点，电荷不突变且守恒对非纯电容节点，电荷不突变但不守恒第三十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期六对上式从t=0－到

积分对于电感，如图回路由KVL得：第三十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期六对非纯电感回路，磁链不突变但不守恒对纯电感回路，磁链不突变且守恒第三十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例：图示电路中，已知Is=6A，L1=1HL2=1H,R=1,iL1(0-)=1A,iL2(0-)=2A,求k闭合后的iL2(0＋)及iL2()解：iL1(0＋)=iL1(0-)=1A,iL2(0＋)＝iL2(0-)=2A解之得：iL1()＝2.5A，iL2()＝3.5ARISL1L2iL1iL2K第三十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期六电路无外加激励源，只存在电容初始值：零输入响应。电路方程建立：（KVL）得：电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：

5.3RC电路零输入响应RC电路（一阶电路）过渡过程特征方程：RCS+1=0第三十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期六电路方程解：式中：为电路时间常数，单位为秒。由初始条件得电容电压响应（变化规律）：电压波形为第三十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期六响应与电源（激励）无关，又叫自由响应（naturalresponse)暂态响应（transientresponse）零输入响应特点：a)第三十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期六

零输入响应是初始值的线性函数，满足：齐次性，可加性。U0：KU0：U01+U02：第三十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期六b)能量传输

t=0电容能量：电阻消耗能量：电容上的能量完全被电阻消耗掉第四十页，共七十二页，编辑于2023年，星期六反映了电容电压下降为原值0.368时所需时间。c)时间常数（Timeconstant）反映电路达到稳态所需要的时间

t0+τ2τ3τ4τ5τ…∞uC

U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U0…04τ～5τ时间，电路达到稳定.CheckYourUnderstanding

If1=2，andU01=2U02，whichwillreachsteadystatefast?第四十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期六改变电阻会改变电容电压的下降速度。利用RC电路可做成简易延时电路。d)时间常数的计算：确定时间常数需简化电路为R--C形式。

电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效电阻。（无源网络简化）τ=ReqCeqReq=R1+R2//R3

Ceq=C1//(C2+C3)第四十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期六

∵u1(t1)=uC(t1)次切线法tangentatP第四十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例：K闭合前电路处稳态，R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，C1=1F，C2=2F，IS=1A，t=0时K闭合，求t>0时uC1、uC2、i1、i2、i。C1R1i1Isii2R2KR3C2+uC1-+uC2-图(a)第四十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期六τ1=R1C1=1s，uC1(0+)=uC1(0－)=5VR1IsR2R3+uC1-+uC2-t=0-图(b)uC1(0－)=(R2+R3)IS=5V，uC2(0－)=R3IS=3VC1+uC1-i1R1图(c)解：第四十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期六R=R2//R3=1.2Ω2=RC2=2.4suC2(0+)=uC2(0－)=3VC2+uC2-i2R3R2图(d)C1R1i1Isii2R2KR3C2+uC1-+uC2-图(a)第四十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期六电路状态指电路储能元件的状态（电压，电流值）。5.4RC电路零状态响应电路方程：初始条件：电路中电容电压初始值为另电路响应由外加激励引起：零状态响应。电路解：式中由初始条件，得强制响应(

forcedresponse)或稳态响应(

steady-stateresponse)

第四十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期六波形图

电容电流b)充电过程电阻耗能电容最终储能充电过程有一半能量消耗在电阻。a)零状态响应与电源（激励）成正比零状态响应特点：第四十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期六c)Timeconstant=RC(Turnoffallindependentsources)tangentatPu1=k(t－t1)+uP第四十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期六

t0+

2345…∞

uC/US00.6320.8650.950.9820.993…14

~5电路达到稳态Thekeytoworkingwithazero-stateRCcircuit：y(0+)=yp(0+)+A

A=y(0+)yp(0+)通解＋特解法第五十页，共七十二页，编辑于2023年，星期六解：0<t<6s：1=R2C=6s例：R1=1Ω，R2=2Ω，C=3F，iS=1A，K打开前电路为零状态。t=0时K打开，经过6秒后，K又闭合，求t>0时的uC。k=2iSR1R2C+uC(1)-图(b)iSKR1R2C+uC-图(a)第五十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期六t>6s：2=RC=2s第五十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例：RC电路接通正弦交流电源电路方程：一阶非齐次方程的通解为设特解形式：代入原方程：，为了解出和，设第五十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期六由上式解得：原式改为：得：第五十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期六电容电压：特解为正弦稳态电路响应。（求正弦电源激励的电路特解时，可采用稳态相量法求解）由确定通解中系数k最后得：第五十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期六5.5RC电路全响应既有初始状态值，又有外部激励。方程：解方程得由初始条件全响应：特解通解第五十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期六全响应：讨论：电路全响应=通解＋特解=零输入响应+零状态响应＝暂态分量（自由响应）+稳态分量（强制响应）稳态分量形式与激励源相同，对应方程的特解，暂态分量形式决定于电路结构参数。CheckYourUnderstanding暂态分量就是零输入响应，对吗？第五十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期六零输入响应是初始值的线性函数：零状态响应是激励的线性函数：全响应不是激励或初始值的线性函数全响应=零输入响应+零状态响应第五十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期六例9.2

电路如图所示，US为直流电压源，K打开已久，t=0时K闭合，求过渡电流i。USR2LR1Ki解：K闭合后，第五十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期六i的解为通解（自由解）ih加特解（稳态解）iP稳态解自由解为USR2LR1Ki第六十页，共七十二页，编辑于2023年，星期六求A，由初始条件故：USR2LR1Ki第六十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期六

一阶电路的三要素法（公式法）电路响应（解）一般形式由初始条件可解出有由上式可直接写出电路响应，只要知道三个要素：（1）稳态解；（2）初始值；（3）时间