计算机组成原理第讲浮点运算

1第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五第6章计算机的运算方法(6)Floating-pointcomputationinacomputercanrunintothreekindsofproblems:Anoperationcanbemathematicallyillegal,suchasdivisionbyzero.Anoperationcanbelegalinprinciple,butnotsupportedbythespecificformat,forexample,calculatingthesquarerootof−1ortheinversesineof2(bothofwhichresultincomplexnumbers).Anoperationcanbelegalinprinciple,buttheresultcanbeimpossibletorepresentinthespecifiedformat,becausetheexponentistoolargeortoosmalltoencodeintheexponentfield.Suchaneventiscalledanoverflow(exponenttoolarge)orunderflow(exponenttoosmall).2第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五§6.4浮点四则运算Floating-PointArithmetic浮点加减法运算浮点乘法运算Floating-PointMultiplicationFloating-PointAddition&Subtraction浮点除法运算Floating-PointDivision3第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五浮点运算Floating-PointArithmetic浮点运算要把阶码和尾数分别处理。阶码的运算是定点整数运算，对阶码的运算有四种：阶码加1，阶码减1，两阶码求和，两阶码求差。尾数的运算是定点小数运算。运算过程中一般取双符号位。浮点运算器总是由处理阶码和处理尾数的两部分组成。Floating-pointrepresentationissimilarinconcepttoscientificnotation.Thewayinwhichthesignificand,exponentandsignbitsareinternallystoredonacomputerisimplementation-dependent.4第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五浮点数的溢出Overflow当一个数的大小超出了浮点数的表示范围时，机器无法表示该数，就发生溢出。浮点数的溢出判断方法与定点数不同，是对规格化数的阶码Exponent进行判断。当浮点数的阶码大于机器所能表示的最大阶码时（即阶码发生正溢出），称为溢出或上溢，此时机器应停止运算，进行出错中断处理。当浮点数的阶码小于机器所能表示的最小阶码时（即阶码发生负溢出），称为下溢。这时一般规定把该浮点数的尾数强迫置零，作为零处理，机器可继续运行。当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，或者阶码的值小于等于它能表示的最小数值（下溢）时，不论其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。浮点数的尾数运算的溢出可以通过右规消除。5第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五浮点加减法运算Floating-PointAddition&Subtraction设有两个规格化浮点数X=MX·2Ex， Y=MY·2Ey若两数的阶码相等，即EX=EY，有X+Y=将两浮点数的尾数相加，就可得到浮点形式的和。一般情况下，EX≠EY，计算X+Y要用如下五个步骤来完成：①对阶②尾数相加③规格化④舍入⑤检查阶码是否溢出。1、浮点加法运算Floating-PointAdditionMX·2Ex+MY·2Ey=（MX+MY）·2Ex6第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五(1)对阶Alignment两数相加，必须使小数点对齐。对于浮点数来说，就是使阶码相等。使阶码相等的过程称为对阶。对阶的原则是：小的阶码向大阶码看齐。对阶操作，首先比较两数的阶码值的大小，即求ΔE=EX－EY，并保留其最大值E=MAX（EX，EY）作为和的阶码。当ΔE≠0时，将阶码小的数的尾数右移|ΔE|位。尾数每右移一次将阶码加1，直至ΔE＝0。为了减少误差，可用附加线路（Guardbits保留位）保留右移出的1位或几位的高位，在以后的舍入操作时用。(2)尾数相加AddtheSignificands（Mantissa）完成对阶后，将两浮点数的尾数部分相加，方法与定点小数加法相同。7第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五(3)规格化处理NormalizetheResult当运算结果的尾数部分不是规格化数（即不是00.1×…×或11.0×…×的形式）时，必须进行规格化处理。规格化处理的规则：①若结果尾数的两个符号位不同（01或10），表明尾数运算结果溢出，应进行右规。将结果尾数右移一位，并将阶码的值加1。②若尾数的运算结果不溢出，但最高数值位与符号位同值（即11.1或00.0），则应进行左规。将尾数连同符号位一起左移一位，并将和的阶码减1，如此反复直至尾数最高数值位与符号位不同为止。8第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五(4)舍入操作Round在进行对阶或右规操作时，尾数低位的一位或几位数值被移出。如果采用“截断法”把移出的数位丢掉，会影响数值的精度。因此，可采用舍入法来减少误差。①“0”舍“1”入法当移出部分的最高位为1时在尾数末位加1，为0时则舍去移出的数值。此方法的最大误差为2－(n+1)。“0”舍“1”入法由于有舍有入，舍入机会均等，有利于减少误差积累。但对末位加1的操作可能引起一连串的进位而使尾数溢出，此时还要再做一次右规。②末位恒置1法无论右移丢失的是何数值，一律将结果的末位置1。把尾数最低位的0置成1，对于正数，是使其值变大，对于负数补码和反码，则使其值变小。而舍入前尾数最低位已经是1时，再置1无实际效用，与截断法无异。9第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五(5)检查阶码是否溢出ChecktheExponentOverfloworUnderflow若阶码正常，加减运算正常结束；若阶码下溢，要置运算结果为浮点形式的机器零；若阶码上溢，则置溢出标志。【例1】浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。X＝0.11011011×2010，Y=（－0.10101100）×2100，求X+Y=?Roundingisusedwhentheexactresultofafloating-pointoperation(oraconversiontofloating-pointformat)wouldneedmoredigitsthantherearedigitsinthesignificand.Thereareseveraldifferentroundingschemes(orroundingmodes).10第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五[例1]浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。求X+Y=?X＝0.11011011×2010，Y=（－0.10101100）×2100，解：[EX]补=0010，[EY]补=0100，[-EY]补=1100[MX]补=0.11011011，[MY]补=1.01010100①对阶[ΔE]补=[EX]补－[EY]补=[EX]补＋[-EY]补=00010+11100=11110即ΔE＝－2。由于X的阶码小，应使MX右移两位，EX加2，[EX+Y]补=[EY]补=00100[MX]补=00.0011011011②尾数相加00.00110110+)11.0101010011.10001010[MX+Y]补=[MX]补+[MY]补=00.0011011011+11.01010100=11.100010101100010+

111001111011第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五③规格化处理结果的符号位与最高数值位同值，应进行左规。尾数左移1位，阶码减1。[MX+Y]补=11.0001010110，[EX+Y]补=00011④舍入处理采用0舍1入法，[MX+Y]补=11.00010110⑤判断溢出补码表示的阶码的符号位为00，不溢出。结果：[MX+Y]补=1.00010110，[EX+Y]补=0011X＋Y＝（－0.11101010）×2011[例1]浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。求X+Y=?12第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五2、浮点数减法Floating-PointSubtraction①对阶，②尾数相减，③规格化，④舍入，⑤检查阶码是否溢出。浮点数减法运算的步骤：Thefactthatfloating-pointnumberscannotfaithfullymimictherealnumbers,andthatfloating-pointoperationscannotfaithfullymimictruearithmeticoperations,leadstomanysurprisingsituations.Thisisrelatedtothefiniteprecisionwithwhichcomputersgenerallyrepresentnumbers.13第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五浮点乘法运算Floating-PointMultiplication两浮点数相乘，乘积的尾数为相乘两数的尾数之积，阶码为两数的阶码之和。即X·Y＝浮点乘法运算可分为四个步骤：①阶码相加②尾数相乘③规格化和舍入处理④判断溢出（MX·2Ex）·（MY·2Ey）=（MX·MY）·2Ex+Ey规格化浮点数X=MX·2Ex， Y=MY·2EyTomultiply,thesignificandsaremultipliedwhiletheexponentsareadded,andtheresultisroundedandnormalized.14第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五①阶码相加AddExponent乘数和被乘数的阶码按定点整数补码或移码加法的规则相加，得到乘积的阶码。②尾数相乘MultiplySignificands（Mantissa）乘数和被乘数的尾数按定点小数（原码或补码）乘法运算的方法相乘，得到乘积的尾数。③规格化和舍入处理Normalizing&Round规格化和舍入方法与浮点加减法处理的方法相同。但两个数值位是m位的数相乘，乘积的数值位为2m位。舍入处理后，尾数只保留m个数值位。一般情况下，两个规格化数相乘，尾数最多左规一次，因为两个纯小数相乘是不会溢出的。但是有一个特例，当尾数做补码乘法的时候，如果乘数和被乘数尾数的值都是-1，则乘积的尾数的值是+1，此时需要做一次右规。第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五④判断溢出ChecktheExponentOverflowor

Underflow

检查阶码是否溢出。若阶码正常，加减运算正常结束；若阶码下溢，要置运算结果为浮点形式的机器零；若阶码上溢，则置溢出标志。Floating-pointarithmeticisatitsbestwhenitissimplybeingusedtomeasurereal-worldquantitiesoverawiderangeofscales(suchastheorbitalperiodofIoorthemassoftheproton),andatitsworstwhenitisexpectedtomodeltheinteractionsofquantitiesexpressedasdecimalstringsthatareexpectedtobeexact.Anexampleofthelattercaseisfinancialcalculations.Forthisreason,financialsoftwaretendsnottouseabinaryfloating-pointnumberrepresentation.16第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五【例2】浮点数，阶码为4位移码（含1符号位），尾数为8位补码（含1符号位），阶码以2为底。X＝0.1110011×2-101，Y=（－0.1110010）×2011，求X*Y=?解：[MX]补=[MY]补=①阶码相加[EX＋EY]移=[EX]移=0.1110011=000110011[EY]移=1.0001110=01011101100110=00011+00011=[EX]移＋[EY]补[EX]补=[EY]补=1011001100011+000110011017第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五[例2]浮点数，阶码为4位移码（含1符号位），尾数为8位补码（含1符号位），阶码以2为底。②尾数相乘③规格化和舍入处理④判断溢出[MX]补×[MY]补=已经是规格化数。[MX*Y]补=1.0011010移码表示的阶码为00，未溢出。X·Y=采用0舍1入法，将低n位舍去。1.001100110010100.1110011×1.0001110=[EX*Y]移=00110X＝0.1110011×2-101，Y=（－0.1110010）×2011，求X*Y=?[MX]补=0.1110011[MY]补=1.0001110[EX*Y]移=00110×2（-0.1100110）—010第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五浮点除法运算Floating-PointDivision除了除数不能为0外，浮点除法对除数和被除数的大小没有限制。两浮点数相除，商的尾数部分是被除数的尾数除以除数的尾数所得的商，阶码部分是被除数的阶码减去除数的阶码所得的差。X÷Y=浮点除法运算分以下五个步骤：①尾数调整②阶码求差③尾数相除④规格化⑤判断溢出（MX·2Ex）÷（MY·2Ey）＝（MX÷MY）·2Ex－Ey19第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五①尾数调整DividendAlignment检查|MX|是否小于|MY|。若|MX|≥|MY|，则将MX右移一位并将阶码加1。②阶码求差SubtractExponent被除数的阶码减去除数的阶码得到商的阶码（按定点整数补码或移码减法的规则）。③尾数相除DivideSignificands（Mantissa）两数的尾数按定点小数（原码或补码）除法的规则相除。20第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五⑤判断溢出检查阶码是否溢出。④规格化NormalizetheResult由于除数和被除数都是规格化数并经过尾数的调整，所以，尾数相除的结果一般是规格化定点小数。只有一个例外，当补码表示的商为-0.5时，必须做一次左规。IntheIEEE754standard,zeroissigned,meaningthatthereexistbotha"positivezero"(+0)anda"negativezero"(-0).Inmostrun-timeenvironments,positivezeroisusuallyprintedas"0",whilenegativezeromaybeprintedas"-0".Thetwovaluesbehaveasequalinnumericalcomparisons,butsomeoperationsreturndifferentresultsfor+0and−0.21第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五[例3]设浮点数基数为2，阶码为4位补码，尾数为5位原码（均包含1个符号位）。X=+6.5，Y=—2.25。（1）写出X和Y的规格化浮点机器数。（2）计算X÷Y（尾数运算用补码加减交替除法）解：X=（+6.5）10=（+110.1）2=+0.1101×2+011Y=（-2.25）10=（-10.01）2=-0.1001×2+010[EX]补=0011[EY]补=0010[MX]原=0.1101[MY]原=1.1001设浮点数格式为：尾符尾数阶码12569浮点机器数：[X]浮点=000111101[Y]浮点=100101001（1）写出X和Y的规格化浮点机器数。第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五（2）计算X÷Y（尾数运算用补码加减交替除法）[MX]补=①尾数调整②阶码求差③尾数相除∵|MX|>|MY|[MX]补=[-EY]补=[EX]补—[EY]补=00100+11110[MY]补=1.0111[EX]补=0011[EY]补=0010[MX]原=0.1101[MY]原=1.10010.1101[MY]补=1.0111[-MY]补=∴需进行尾数调整，将MX右移1位，EX加1。[EX]补==00100+11110=[EX]补+[-EY]补000100.01101=0.011101001110000100.10010舍1入第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五被除数/余数00.0111商0.0000X，Y异号[R]补与[Y]补同号，商上1末位商置1[R]补与[Y]补异号，商上0[R]补与[Y]补同号，商上1[R]补与[Y]补异号，商上01.001111.1011左移11.00101.00111.10010.1001左移00.00100.10000.00010.0100加[MY]补11.0111左移00.10100.01000.01010.0010加[-MY]补00.1001左移11.11000.00111.11100.0001加[MY]补11.0111[MY]补=1.0111加[MY]补11.0111加[-MY]补00.1001第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五④规格化