向量的数量积课后强化训练5 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课后强化训练5向量的数量积1．若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a·b等于()A．－3eq\r(2) B．－6eq\r(2)C．6eq\r(2) D．22．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．直角梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10m时，力F做的功为()A．100J B．50JC．50eq\r(3)J D．200J4．(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是()A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2B．|a·b|＝|a||b|C．λ(a＋b)＝λa＋λbD．|a·b|≤|a||b|5．在边长为1的等边△ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于()A．－eq\f(3,2) B.eq\f(3,2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)6．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为eq\f(1,2)b，则a·b的值为()A．3 B.eq\f(9,2)C．2 D.eq\f(1,2)7．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝eq\f(\r(2),2)，则a与b的夹角为________．8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．9.如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量eq\o(AE,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))的夹角．10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(1)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，求x，y的值；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，且eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，求eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值．11．(多选)下列说法正确的是()A．向量a在向量b上的投影向量可表示为eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C．若△ABC是等边三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为60°D．若a·b＝0，则a⊥b12．已知平面上三点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝5，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值等于()A．－7B．7C．25D．－2513．定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．8 B．－8C．8或－8 D．614．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝8，则△ABC的形状是________________，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________________.15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.(1)若点D是线段OB上靠近点O的四分之一分点，用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量eq\o(MC,\s\up6(→))；(2)求eq\o(MC,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))的取值范围．参考答案1．B2.C3.B4.ACD5.A6.B7.eq\f(π,4)8.eq\f(12,25)b解析设a与b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cosθ＝12，又|b|＝5，∴|a|cosθ＝eq\f(12,5)，eq\f(b,|b|)＝eq\f(b,5)，即a在b上的投影向量为eq\f(12,25)b.9．解(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，∴∠DBC为向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角．∵∠DBC＝120°，∴向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为120°.(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴eq\o(AE,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))的夹角为90°.10．解(1)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝y＝eq\f(1,2).(2)因为|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，∠BOA＝60°，所以∠OBA＝90°，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).又因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，所以|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2).所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(19),2)，cos∠OPB＝eq\f(\r(57),19).设eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角为θ，所以eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角θ的余弦值为－eq\f(\r(57),19).所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OP,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cosθ＝－3.11．AB[对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cosθ<0，则cosθ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故B正确；对于选项C，若△ABC是等边三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为120°，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．]12．D13.A14．等边三角形－8解析eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝eq\f(1,2)，因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．此时eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos120°＝－8.15．90°解析由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.16．解(1)由已知可得eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，连接MA，MB(图略)，四边形OAMB是菱形，则eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)易知∠DMC＝60°，且|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝|eq\o(MD,\s\up6(→))|，那么只需求MC的最大值与最小值即可．当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝eq\f(\r(3),2)，则eq\o(MC,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))