2023年中考数学一轮复习22函数压轴突破训练（解析版）（江苏）

考点22函数压轴专题突破训练

在真瞿过关

1.（2022•江苏镇江•统考中考真题）一次函数y=gx+l的图像与x轴交于点A,二次函数

图1图2

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）如图1,一次函数丫=；》+〃（"＞-2,〃*1）与二次函数＞?=依2+法+《4/0）的图像交于点0（玉,乂）、

（王＜々），过点C作直线《"Lx轴于点E,过点。作直线4，尤轴，过点8作8尸，4于点尸.

①芭=，々=（分别用含”的代数式表示）；

②证明：AE=BF；

（3）如图2,二次函数y="（XT）2+2的图像是由二次函数产加+bx+c（a/0）的图像平移后得到的，且与

一次函数〉=3工+1的图像交于点P、Q（点尸在点。的左侧），过点尸作直线1Lx轴，过点。作直线"Lx

轴，设平移后点A、B的对应点分别为A、B',过点4作A'M，。于点M,过点B'作"NJ_"于点N.

①A'M与3W相等吗？请说明你的理由；

②若A'M+3?N=2,求f的值.

【答案】（l）y=V+2x

⑵①二3々9+16匕-3+J9+16”；②见解析

44

（3）①A'M=®N,理由见解析；②3

【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即

可求解；

(2)①通过联立关系式可得：^x+n=x2+2x,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到.莅

的值；

②通过A(-2,0),E(土苧画,0)即可求出4E的长度；

通过即可求出族的长度；

8(g3,f(-3+>/9+16n5

(3)①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移。+1)

个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：A(r-1,3),通过联立关系式可得：

(xT)2+2=gx+l,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点P、点。的横坐标，通过坐标

即可表示出AM、BW的长度.

②由①可得§二速匕15=[求解即可.

42

【详解】(1)令尸0,贝仁x+l=0,解得x=-2,

A(-2,0),

将点代入y=：x+l中，解得机=：,

I4/22

二点8的坐标为(!，1).

24

将A(-2,0),吗令,C(0,0)代入y=〃+foc+c("0)可得:

4。一2Z?+c=0[

a=1

{-a+—b+c=-,解得：<。=2,

424八

八二

c=0c0

・♦・二次函数的表达式为y=f+2x.

(2)①Y一次函数y=；x+〃(〃>-2，"Hl)与二次函数y=⑪2+云+c(aHO)的图像交于点C(西,y|)、

。(七，%)(占<%),

...联立关系式得：；x+"=d+2x,

3

整理得：x2+-x-n=0,

39

+

2-4-

解得：2v4〃—3—J9+16-，—3+J9+16/2,

x.=----------------=----------------

2424

故答案为'二土产《二w画

②当〃>1时，8位于48的上方，・・・4(一2,0)、

、？+59395、

34〃——+<-+4z?--+-+4n——+2+4〃

2丫4A1丫4

AE=-2-2------，BF22

2222

/.AE=BF,

9

当一时，C。位于A8的下方，同理可证.

16

故可得：AE=BF；

(3)方法一:

①•・,二次函数y=x2+2x图像的顶点为,

二次函数y=(xT)2+2的图像的顶点为&2),

.••新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移U+1)个单位，向上平移3个单位得到的.

A(—2,0)的对应点为A(I,3),呜高的对应点为8'1+|?)，

联立关系式可得：(x-y+2=；x+l,

整理得：x2-(2r+1)%+r+l=0,

8—5

，二4'

当时，解得：与=曳止遮三5,4f+l+麻逅,

8,404

.,34r+l+V8r-155-V8r-1547+1-J8f-15,,、5-J815

・・NKTBn=Z+----------------------=--------------,AM=---------------------(r-l)=---------------

24444

・・・AM=BrN.

②：4M+3#N=2,AM=B'N.

：.A'M=B'N=-,

2

.5-J8r-151

••-------—―,

42

解得：f=3.

方法二：

①设P、。平移前的对应点分别为P、Q',则PQ'〃PQ.

则户0'//AB,

B’平移前的对应点分别为A、B,

111(2)②及平移的性质可知，A'M=B'N.

②：A'M+3?N=2,

Z.A'M=B'N=~,

2

v呜到y轴的距离为点。是y轴与二次函数y=V+2x的图像的交点，

二平移后点0的对应点即为点Q.

•••二次函数y=/+2x图像的顶点为(―L-l),

二次函数y=(xT)2+2的图像的顶点为«,2),

...新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移。+1)个单位，向上平移3个单位得到的.

+将点。的坐标代入y=；x+l中，解得7=3.

另解：

•/A'M+3B'N=2,

：.A'M=B'N=~,

2

的对应点为+•

2

113

，点。的横坐标为t+1,代入y=]X+i,=-(+-.

.•.Q(r+l,gf+|).将点2的坐标代入y=(x-ty+2中，解得f=3.

2.(2022.江苏常州.统考中考真题)已知二次函数>=62+法+3的自变量X的部分取值和对应函数值y如下

表:

X-10123

y430-5-12

(1)求二次函数)，=底+灰+3的表达式;

⑵将二次函数y=/+法+3的图像向右平移W左>0)个单位，得到二次函数y=mx2+/w+q的图像，使得

当-l<x<3时，丫随x增大而增大；当4<x<5时，>随x增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数

2

y=lwc+nx+q的表达式丫=,实数k的取值范围是；

(3)A、B、C是二次函数y="?+法+3的图像上互不重合的三点.已知点A、8的横坐标分别是机、m+\,

点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求ZACB的度数.

【答案】(1)尸-炉-2"3

(2)y=—(x—3p+4(答案不唯一)，4<A:<5

(3)N4C8=45。或135°

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)先求出平移后的二次函数对称轴为直线4=&-1,然后根据二次函数的增减性求出4M&M5,即可得

到答案；

(3)先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出乙-XC=2/M+3,y„-yc=-2m-3,然后分四种情况讨

论求解即可得到答案.

a-b+c=4

<a+h+c=0

【详解】(1)解：由题意得：'c=3,

[a=-1

解得〃

[h=-2

・♦・二次函数解析式为y=——2彳+3；

(2)解：；原二次函数解析式为y=r2-2x+3=-(x+l)-+4

由题意得平移后的二次函数解析式为y=-(x+1-左p+4,

.••平移后的：次函数对称轴为直线工=%-1,

•.•二次函数y+依+q的图像，使得当T<x<3时，y随X增大而增大；当4Vx<5时，>随x增大而

减小，且二次函数丁=/蛆2+初+4的开口向下，

A3<Jl-l<4,

・•・符合题意的二次函数解析式可以为y=—(x+l—4)2+4=-(X一3)2+4；

故答案为：y=-（x-3）?+4（答案不唯一），4<Ar<5；

⑶解：•.•二次函数解析式为，=一.-2》+3={+1）-+4,

；•二次函数y=-/-2x+3的对称轴为直线x=-l,

C关于对称轴对称，点A的横坐标为，小

.♦.C的横坐标为-2-加，

.,.点A的坐标为（〃?，r/-2m+3）,点C的坐标为（-2-〃?，-ni1-2m+3）-

•••点B的横坐标为〃什1,

.••点B的坐标为5+1,_帚-4加）,

Xp——2m+3,y———2m—3,

如图1所示，当A、8同时在对称轴左侧时，过点B作BE，1轴于交4c于。，连接8C,

A、C关于对称轴对称9

AC〃x轴，

・・・BEA.AC,

Xfj_x，c=2m+3,y—2m_3,

:.CD=-2m-3=BD9

.♦.△8OC是等腰直角三角形，

ZACB=45°,

同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得/AC3=45。，

如图2所示，当4在对称轴左侧，B在对称轴右侧时，

过点B作直线BD垂直于直线AC交直线ACTD,

同理可证4BDC为等腰直角三角形，

二NBCD=45。,

ZACB=135°,

同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得/4CB=135。，

综上所述，NAC8=45。或135°

与X轴交于A,8两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,顶点为。.其对称轴与线段8c交于点E,

(备用图)

(1)求A,B,C三点的坐标(用数字或含小的式子表示)，并求NOBC的度数；

(2)若ZACO=NCBD,求〃?的值；

(3)若在第四象限内二次函数y=-x?+2侬:+2机+1(”是常数，且加＞0)的图像上，始终存在一点尸，使得

ZACP=75°,请结合函数的图像，直接写出机的取值范围.

【答案】(1)A(-1,0)；B(2/M+I,0)；C(0,2/n+l)；NOBC=45°

(2)m=1

（3）0</H<—―-

2

【分析】（1）分别令X，y等于0,即可求得AB,c的坐标，根据OC=OB,ZBOC=90°,即可求得NO5c=45°；

（2）方法一：如图1,连接AE.由解析式分别求得。/=（6+琰，OF=m,BF=m+L根据轴对称的性

质，可得=由'一,建立方程，解方程即可求解.方法二：如图

tanNACE=====7；K=2,

CECEOFm

过点D作DH工BC交BC于点H.由方法一，得。尸=（机+BF=EF=m+T.证明

1）2,△A0CSA£>〃B,

根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；

（3）设PC与x轴交于点Q,当尸在第四象限时，点。总在点B的左侧,此时NCQA>NCBA,即ZCQA>45°.

【详解】（1）当》=。时，—x?+2〃a+2帆+1=0.

解方程，得再=-1,x2=2m+\.

•.•点A在点8的左侧，且切>0,

AA（-l,0）,5（2/n+l,0）.

当x=0时，y=2m+\.

：.C（0,2/n+l）.

OB=OC=2/7?+1.

ZBOC=90°,

:.NO5c=45。.

（2）方法一：如图1,连接

y=-J+2mx+2，x+l=—（x—相）~+（m+1）~,

/.O（m+,F（zn,0）.

，。尸=（相+，OF=m,BF=m+\.

•.•点A,点8关于对称轴对称，

,AE=BE.

：.NEAB=NOCB=45。.

・・・ZC£4=90°.

VZACO=ZCBDtNOCB=/OBC,

：.ZACO4-ZOCB=NCBD+ZOBC,

即ZACE=/DBF.

■:EF//OC,

・"43丝=丝二竺=皿

CECEOFm

.•m+1_（加+1）2

mm+\

V/?7>0,

图1

方法二：如图2,过点。作O/7L8C交8C于点H.

由方法一，得。/=（小+1）2,BF=EF=m+L

DE=nr+tn.

■:ZDEH=ZBEF=45°f

/.DH^EH=—DE^

2

BE=V2BF=V2（^+1）.

BH=BE+HE=

VZACO=ZCBD,ZAOC=ZBHD=90°,

・・・△AOCs/\DHB.

.OAPH

*0C-B/7

1m

,即

,,2w+1+3机+2）2m+1m+2

*/m>0,

图2

(3)Q<tn<―.

2

设PC与x轴交于点Q,当尸在第四象限时,，点。总在点8的左侧，止匕时NCQA>NC8A,即NCQA>45。.

・・,ZAC2=75°,

・♦.ZC4O<60°.

/.tanZCAO<V3,

OC=2m+1,

•,2m+1<>/3.

解得m<一-,

2

又〃2>(),

.八>73—1

・・()<〃?<-------♦

2

4.(2022♦江苏扬州•统考中考真题)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘A8在x

轴上，且AB=8dm,外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为V轴，高度OC=8dm.现计划将此余料进行切

割：

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘A8上且面积最大，求此正方形的面积；

(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；

(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由.

【答案】⑴(96-32石)dn?：

(2)20dm；

(3)能切得半径为3dm的圆.

【分析】(1)先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即可

得到关于m的方程进行求解；

(2)如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边OE=2〃，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形

的周长求最大值即可；

(3)设半径为3dm的圆与A8相切，并与抛物线小脚，设交点为M求出交点N的坐标，并计算点N是，M

与抛物线在y轴右侧的切点即可.

【详解】(D由题目可知A(-4,0),B(4,0),C(0,8)

设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,

•对称轴为y轴，

将A、C代入得，4=-；，。=8

则二次函数解析式为y=-g/+8,

如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m,

则P点坐标可以表示为(m,2M

代入二次函数解析式得，

——w-+8=2m,解得“％=26-2,电=-2石-2(舍去)，

.,.2/”=46-4,(2/T?)2=(4V5-4)：=96-32方

则正方形的面积为(96-326)加2；

(2)如下如所示矩形。EFG,设OE=2〃，则E(〃，0)

将广〃代入二次函数解析式，得

1，。

y=-—+8,

贝ljEF=-^n2+8,

矩形。EFG的周长为：2(DE+EF)=2(2n+-^r+8)=-«2+4n+16=-(«-2)2+20,

当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm:

理由如下:

如图，N为（M上一点，也是抛物线上一点，过点N作，M的切线交y轴于点Q,连接MN,过点N作NP±y

轴于P,

由勾股定理得：PM-+PN2=MN2,

22

・2-1/n4-8-3^=3

..???+

解得：町=2夜，1nl=-2叵（舍去）,

二N（20,4）,

・・・PM=4-3=1

八iPMMN_1

cosNNMP=-----

MN2M-3

，QM=3MN=9

2(0)12)

设QN的解析式为:y-kx+b

b=l2

\242k+b=4

A=-2&

..v

b=n

.♦.QN的解析式为:y=-2A/2X+12

向+

与抛物线联立为:-L?+8=-212

2

-X2-2Y/2X+4=0

2

A=(-2V2)2-4xlx4=0

所以此时N为\M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点,

所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆.

5.(2022•江苏宿迁•统考中考真题)如图，二次函数y=；/+6x+c与x轴交于。(0,。)，A(4,0)两点,

顶点为C,连接OC、AC,若点8是线段上一动点，连接BC,将沿8c折叠后，点A落在点4的

位置,

(1)求二次函数的表达式;

(2)①求证：△OCMMBD；

②求变的最小值；

BA

(3)当SAX”=8%A加时，求直线A'B与二次函数的交点横坐标.

［答案］⑴y=#_2x

(2)①证明见解析，②也

2

,_x2+2Vi9t2-2719

33

【分析】(1)二次函数y=；/+bx+c与x轴交于。(0,0),4(4,0)两点，代入求得江c的值，即可得到

二次函数的表达式；

(2)①由y=gf-2x=g(x-2)2-2,得到顶点C的坐标是(2,-2),抛物线和对称轴为直线x=2,由

抛物线的对称性可知OC=AC,得到NCAB=NC。。，由折叠的性质得到△ABC2△4BC,得NCAB=NW,

AB^A'B,进一步得到NC0£>=/4,由对顶角相等得NOOC=NBQA,证得结论；

②由△OCZJsAA'B。，得到等=等=空，设点。的坐标为"，0),DC=

DADACU

____________________

J(d-2)2+(0+2)2=J(d-2)2+4,在o<"<4的范围内，当d=2时，DC有最小值为衣=2，得到七万的

最小值，进一步得到萼的最小值；

BA

(3)山％口>=850皿和△08-八4,8。得到喘=通=2后，求得A8=A8=1,进一步得到点8的坐

AB

标是(3,0),设直线BC的解析式为把点8(3,0),C(2,-2)代人求出直线8C的解析

式为)，=2%—6,设点A的坐标是(p,q),则线段4/的中点为(粤，1),由折叠的性质知点(等，

£)在直线BC上，求得g=2p—4,由两点间距离公式得AB=1,解得夕=2或p=£,求得点A的坐标,

4

设直线的解析式为尸k2x+b2,由待定系数法求得直线A:B的解析式为尸-铲+%联立直线和

抛物线y=gx2-2x,解方程组即可得到答案.

【详解】(1)解：：二次函数y=gx2+bx+c与X轴交于。(0,0),A(4,0)两点，

fc=0

・・・代入O(0,0),A(4,0)得，Q八八，

［8+4/?+c=0

...二次函数的表达式为y=；/-2x；

(2)①证明：•••y=gf-2x=；(x-2)2-2,

...顶点C的坐标是(2,-2),抛物线y=的对称轴为直线尤=2,

•••二次函数y=g/+bx+c/x轴交于。(()，0),A(4,0)两点，

/.由抛物线的对称性可知OC=AC,

:.NCAB=NCOD,

ABC沿BC折叠后，点A落在点H的位置，线段A'C与x轴交于点

/.^ABC^/\A'BC,

：.ZCAB=ZA',AB=A'B,

：.ZCOD=ZA',

'：ZODC^ZBDA',

：.△OCD^AA'M；

②：△OCAXNBD,

.DBDBDC

・,诙一丽―而‘

设点D的坐标为(d,0),

DC=J(d-2)2+(0+2)2=""-2)2+4,

：点£)与。、A点不重合，

，0<d<4,

对于。C2=(d-2>+4来说，

,:a=l>0,

抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d=2时，OC?的最小值是4,

.•.当d=2时，DC有最小值为4=2，

OC=>/(2-0)2+(-2-0)2=272,

••考有最小值为岩==冬

co2V22

普的最小值为也；

BA2

解：：S&口A

(3)0c=8s△，W),

.S^OCD_o

'：/\OCD^/\A'BD,

.，・℃=a=2^2,

A!B

♦：0C=2叵,

••AfB=AB=1,

・••点8的坐标是(3,0),

设直线BC的解析式为y=&x+",

3占+4=0

把点8(3,0),C(2,-2)代人得

2k1+4=—2

k、二2

解得

4=一6

・,・直线BC的解析式为y=2x—6,

设点A的坐标是（p,q）,

二线段4A的中点为（勺，鼻）,

22

由折叠的性质知点（修土在直线BC上，

j"—6,

22

解得q=2p—4,

J（p-3j+（4-0）2=J（p_3j+（2p_4）2=1,

整理得（p-3>+（2p-4）2=l,

12

解得〃=2或〃=（，

当p=2时，夕=2p—4=0,此时点A（2,0）,很显然不符合题意,

124124

当时，,=2p—4=二，此时点A（不，二），符合题意，

设直线A8的解析式为y=k2x+b2,

1243k2+b2=0

把点8（3,0）,Ar（—,—）代人得，〈124,

551—^+^=-

\k」

解得23,

仇=4

,4

，直线AB的解析式为y=-铲+4,

y=——x+4

联立直线A'B和抛物线y=^x2-2x得到,3

y=-x2-2x

2

2+27192-2M

寸——

解得

28-8719'28+8炳’

M=~

二直线A'B与二次函数的交点横坐标为2+2晒或2-2炳

33

在模拟检测

■

L（2。22.江苏无锡.无锡市天一实验学校校考模拟）如图，抛物线…"+〜，与，轴的一个交点为

A（-2,0）,与y轴的交点为8（0,4）,对称轴与X轴交于点P.

备用图

（1）求抛物线的解析式;

（2）点/为y轴正半轴上的一个动点，连接AM,过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N,连

接AN.

①若.AMN与AOB相似，求点M的坐标:

②若点M在旷轴正半轴上运动到某一位置时，40N有一边与线段AP相等，并且此时有一边与线段AP具

有对称性，我们把这样的点〃称为“对称点”，请直接写出“对称点”〃的坐标.

［3

［答案］⑴,=_才+a+4

42

（2）①M点的坐标为（0,6）或（0,|；②例点的坐标为（0,⑨）或（0,"）或0,|

【分析】（I）利用待定系数法去求抛物线解析式;

（2）①先求出抛物线的对称轴为x=3,作何£＞，直线x=3于点。，作。于E,根据相似三角形的判

定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当老=翳时，⑵当箸=嘿时进行求解即可;

②先确定AP=5进行如卜的分类讨论即可：⑴当AAf=AP=5时,（2）当AN=AP=5时，（3）当MN=5

时进行求解即可.

【详解】（1）将点A（-2,0）,矶0,4）分别代入丫=-；/+法+。得

,,3

h=­

解得《2，

：.抛物线的解析式为y=-%2+|x+4；

（2）①抛物线的对称轴为直线》=一

作MD_L直线x=3于点，作于E,

•；ZAMN=ZAOB,

.业AMMNmAMOB4„

OBOAMNOA2

・・・AAM7VsXBOk，如图1,

VZEAM+ZEMA=90°,4DMN+/EMA=90。,

：./EAM=4DMN,

,/NAEM=NMDV=90。，

J/XAEMs/\MDN,

.AEAM.

.…=2,

MDMN

而MO=3,

，AE=6,

此时M点的坐标为（0,6）,

・wAMMNAMOA2\

••,n［、n|J===

OAOBMNOB42

：.^AMN^AOB,如图2,

同理可得△AEMs/\MDN，

,AEAM1

MDMN2

而MD=3，

此时M点的坐标为QB

综上所述，M点的坐标为（0,6）或1）,|）

②•.•A（-2,0）,P（3,0）,

,AP=5,

当AM=AP=5时，OM=752-22=y/2i，此时点M的坐标为（0，®卜

当AN=AP=5时，点N与点尸重合，则0w2=。4.0尸，

OM=12x3=R,此时M点的坐标为（。,«）；

当MN=5时，在RtMND中,DN=R守=4,

,//\AEMs/\MDN,

.AEEMAE2

.・---=----,艮HJn—=—,

MDDN34

解得AE=|,此时点M的坐标为（0，|）,

2.（2022•江苏泰州•校考三模）如图，在平面直角坐标系中，有函数H=』（x>0）,必=K（k<0,x>0）,

XX

%=区+6.

备用图

⑴若丫2与以相交于点A(2,m),

①求人与机的值；

②结合图像，直接写出必<为时X的取值范围;

(2)在x轴上有一点尸(a,0)且a>0,过点户作》轴平行线，分别交％、%、%于点8、C、D,经计算发现,

不论々取何值，8c的值均为定值，请求出此定值和点B的坐标.

【答案】⑴①切的值为-2,女的值为T：②0<x<2

(2)①若从上到下为B、£>、C时，此定值为6,点B的坐标为(1,3)；②若从上到下为氏C。时，此定值为

6,点8的坐标为(1,3)；③若C与。重合时，此定值为0,点B的坐标为(a，)其中“>0且。工1

【分析】(1)①将点A分别代入必=A和%=履+6,建立二元一次方程组，求解即可得〃?，%的值.②由

X

①可得以=-4jy、=Tx+6,A(2,-2),则根据图像即可得出必<〉3时x的取值范围；

X

(2)由已知条件，分别表示出点B,C,。的坐标，作出图形，根据图形可得出BC-9，进而可列方程

求得。的值，即可得出答案.

【详解】(1)解：①*%与％图像相交于点42,机)，

k伏二2mftn=—2

.•.把A(2,⑼分别代入%=*和*=履+6,得°,<，解得，〃，

x[2k+6=m[女=-4

的值为-2,%的值为-4.

4

②%=-一，％=-4X+6,A(2,—2),根据图像可知，y2Vx时，0<x<2；

X

(2)解：由题意，分三种情况，作图如下：

二.,C(a,—),D(a,ak+6),

aa

3k3

若从上到下为。、B、C时，如图①所示：BC=——，BD=ak+6——,

aaa

BC-BD=----(ak+6-^]

aaya)

=—ak---1---6

二-Aa+—H---1-6,

\a)a

不论％取何值，8C-8O的值均为定值,

.•.«+-=0,该方程无解，故此种情况不成立；

a

3k3

若从上到下为3、D、C时，如图②所示：BC=---,BD=--ak-6,

aaa

BC-BD=----(--ak-6)

aaa

3k3

=----------\-ak+6

aaa

.k,

=ak---1-6

a

=k(a--)+6,

a

不论左取何值，的值均为定值,

=0,解得a=l或。=-1(由。＞0,故舍去)，

a

••・此定值为6,点8的坐标为0,3)；

3k3

若从上到下为3、G。时，如图③所示：BC=——,BD=一一ak—6,

aaa

3〃3

・••BC-BD=--------(——ak-6)

aaa

3k3，,

=--------+6

aaa

,k/

=ak—+o

a

=k(a—)+6,

,・不论左取何值，5C-的值均为定值，

=0,解得4=1或。=一1(由。〉0,故舍去),

a

••.此定值为6,点8的坐标为(1,3)；

33〃3

若3与。重合，则一=。左+6,BC=-------,BD=ak-6=0,

aaaa

3k

•-BC-BD=——,随着人的变化，8。一如不可能为定值，故此种情况不成'匚

aa

k3k3

若C与。重合，则—=。％+6,BC---------,BD=—ak-6,

aaaa

BC-BD=O,随着左的变化，BC-3。必为定值，即关于k的方程K=成+6有解，

a

.-.k=a2k+6a,即(1一/快=6a,当「苏片。时，解得女=^^,

\-a

.二。/±1,

.a>0,

二当C与。重合时，此定值为0,点B的坐标为(a,：),其中a>0且"1；

综上所述，不论％取何值，5C-BD的值均为定值，有①若从上到下为B、£>、C时，此定值为6,点B的坐

标为(L3)；②若从上到下为艮G。时;此定值为6,点B的坐标为(1,3)；③若C与。电合时，此定值为0,

点5的坐标为(a,：),其中a>0且a*l.

3.(2022.江苏无锡•统考一模)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y=/+法-3a(a<0)

的图象与x轴交于A、8(点A在点B左侧)两点，与y轴交于点C,已知点3(3,0),P点为抛物线的顶点，

连接PC,作直线BC.

⑴点A的坐标为

(2)若射线C8平分NPC。，求二次函数的表达式;

(3)在(2)的条件下，如果点。(以0)是线段A8(含A、B)上一个动点，过点。作x轴的垂线，分别交直

线3c和抛物线于E、F两点,当，”为何值时，△曲为直角三角形？

【答案】⑴(TO)

⑵y=-,x?+竿x+«

(3)当%=2或-1时，△CEF为直角三角形

【分析】(1)把3(3,0)代入丫=加+析-34(。<0),得出。与人的关系，然后令，=0解方程即可;

(2)先求出直线BC的解析式，再根据PC=PG列方程求出a的值即可；

(3)分ACFE=90°和NECF=90°两种情况求解即可.

【详解】(1)解：把8(3,0)代入y=ar2+fo¥-3a(a<0),得0=9a+3/?-3a,

h=-2。,

/.y=ax2—lax-3a,

当y=o时,

ax2-2ax-3a=0，

••x2-2x—3=0,解得玉=-1,々=3.

・・・A(-1,O),

故答案为：(—LO)；

(2)解：由(1)知I,b=-2a,

・・・对称轴为直线％=1.

y=ax2+hx-3a=ax2-2ax-3a=a(x-\)1-4a,

・・・,

当x=0时，，y=ax2+bx-3a--3a,

：.C(0,-3a),

设宜线BC的解析式为y=tvx+n,

3m+〃=0m-a

公，解得

n=-3an=-3a'

/.y=ax-3a,

当x=］时，y=ax-3a=-2a,

・♦・G(l,-2a).

■:CB平分"CO,

：.4PCG=/OCG,

*：CO//PG,

：./OCG=/CGP,

：./PCG=/CGP,

：.PC=PG,

,/P(1,-4a),C(0,-3a),G(l,-2a),

/.PC2=PG2,即1+〃2=4々2,

..V3

••a=±—,

3

Va<0,

••(X-,

3

.…旦2+殛KG；

33

(3)・・・£>EJLx轴，

AZEDB=90°,ZDEfi<90°,

■:/CEF=ZDEB,

：./CEFw90。,

①当NCF£=90。时，CF//OB.

;对称轴为直线x=l，

此时"7=2;

综上，当机=2或-1时，△CM为宜角三角形.

4.（2022.江苏泰州•校联考三模）如图，已知直线/经过点A（2,2）,与x轴负半轴交于点B,且tanNA8O=；；

（1）求直线/的解析式.

（2）直线/上有一点C（，%〃）（相>（）,〃>2）

①在x轴上仅存在一点P,使得的外心在线段AC上，求点C的坐标.

②若"=8,过A、C的抛物线顶点在x的正半轴上.点Q是线段AC下方抛物线上的一个动点，且以点。为

圆心的圆与直线/相切，求圆的最大半径.

【答案】(l)y=；x+l

⑵①C(4+26,3+6)；②用

【分析】（1）过点A作轴于M,由题意易得朝0=4,然后可得3（-2,0）,进而代入点4、B的坐标

进行求解即可；

Aj\4PM

（2）①过点C作CN_Lx轴于N,如（1）图，山题意得：NAPC=90。，则可证_4WPs_PNC,则有工="，

PNCN

设P（x,O）,然后根据相似三角形的性质及一元二次方程根的判别式可进行求解；②由题意易得C（14,8）,然

后可得求出抛物线解析式为y=：（x-6）2,过。作QHLAC于H,由题意可知圆。的半径最大且与AC相

切，则只要Q"最大.过。作QG，x轴交ACTG,然后根据铅锤法及:次函数的性质可求解.

【详解】（1）解：过点A作轴于

AAf1

在RLAflW中，ZABM=90°,tanZABO=——=-.

BM2

：A（2,2）,

AM=2,OM=2,

/.BA/=4,

，BO=2,

：.B（-2,0）,

设直线/的解析式为y=Q+"则有:

2k+b=2k=-

◎+『’解得：2,

b=l

.♦•直线/的解析式为y=；x+l.

(2.)解：①过点C作。V_Lx轴于N,如(1)图，由题意得：ZAPC=90°.

：.ZAMP=/PNC=90°,ZAPM+ZMAP=/NPC+ZAPM=90°,

:.ZMAP=/NPC,

:一AMPs.PNC,

.AMPM

^~PN~~CN'

设P（x,0）,

.2x-2

・・-----=-------，

m-xn

/.x2-（/n+2）x+3/n+2=0,

令△=（/n+2『一4（3m+2）=0,w?2一8〃2—4=0,

解得：=4±2y[5.

Vm>0,

=4+2>/5,

••n=3+5/5,

・・.C（4+2逐,3+6）.

②当〃=8时，代入直线/的解析式得：〃?二14,

C（14,8）,

设抛物线的解析式为y=a（xT）2,代入A（2,2）,C（14,8）,得:

a(2-r)2=2

，解得:

«(14-r)2=8

尸"(if,

过Q作。于H,由题意可知圆Q的半径最大且与AC相切，则只要。”最大.

过。作QGJ_x轴交4c于G,

设点014（5-6）］,则G卜,gs+1

-

**.S&AOC=SAAOG9COG=I——+2s—12=—($—8)~+27.

：2<s<14,.♦.当s=8时，的最大值为27,此时Q”最大.

VAC=6>/5,

•••最大半径Q”=竽.

5.（2022•江苏连云港•统考二模）如图，抛物线>=-；/+云+。过点A（4,0）,8（0,2）.M（m,0）为线段

0A上一个动点（点例与点A不重合），过点何作垂直于x轴的直线与直线A8和抛物线分别交于点。、N.

(1)求直线AB的表达式和抛物线的表达式；

⑵若DN=3DM,求此时点N的坐标：

(3)若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当