2023年上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析

2023年上海市奉贤区高考数学一模试卷

一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.集合A={-2,-1},B={-1,2,3},那么ACB=.

2.复数z满足z・1-i)=2,其中i为虚数单位，那么z=.

3.方程lg(x-3)+lgx=l的解x=.

4.fix)=logax(a>0,aWl),且f)(-1)=2,那么f"(x)=.

5.假设对任意正实数a,不等式x2Wl+a恒成立，那么实数x的最小值为.

26

6.假设抛物线y2=2px的焦点与椭圆工+丫2=1的右焦点重合，那么p=.

5

7.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2023,那么该数列的首项

为.

8.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,

如果直角三角形的直角边成为1,那么这个几何体的外表积是.

9.互异复数mnWO,集合{m,n}={m2,n2},那么m+n=.

10.等比数列{aj的公比q,前n项的和工，对任意的ndN*,Sn>0恒成立，

那么公比q的取值范围是.

11.参数方程范fcos^l,ee[Of2兀)表示的曲线的普通方程是.

y=l+sin9

12.函数f(x)=sin(ox+coscox(co>O),xGR,假设函数f(x)在区间(-3,

(o)内单调递增，且函数y=f(x)的图象关于直线x=co对称，那么s的值为.

二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)

13.“mn<0”是方程"mx2+ny2=l表示双曲线”的()

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

14.假设方程f(x)-2=0在1-8,0)内有解，那么y=f(x)的图象是()

k

D.

-\o\12X

(Ji>o

15.函数f(x)=?x二;(ae[0,2兀))是奇函数，那么a=()

2x<0

l-x+cos(x+a)

A.0B.—C.KD.—

22

16.假设正方体AiA2A3A4-B1B2B3B4的棱长为1,那么集合{x[x=A]B；AB；

ie{1,2,3,4),jei,2,3,4}}中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)

17.圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中点，AB是底面

圆的直径，点C是弧AB的中点；

(1)求三棱锥P-ACO的体积；

(2)求异面直线MC与PO所成的角.

18.函数£3=1。82(&"+0'-2)(a>0),且f⑴=2；

(1)求a和f(x)的单调区间；

(2)f(x+1)-f(x)>2.

19.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并

与航线成角a(0°VaV90°),轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A

在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东p(00<p<90°)方向，0°Va+p<90°,求CB；

(结果用a,p,b表示〕

2

20.过双曲线*2誉=1的右支上的一点P作一直线1与两渐近线交于A、B两点,

其中P是AB的中点；

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)当P坐标为(xo,2)时，求直线1的方程；

(3)求证：[OA|・|OB|是一个定值.

21.设数列{即}的前n项和为Sn,假设看<王1<2(nGN*),那么称{aj是“紧

2an

密数列”；

⑴假设ai=l,a3=x,a4=4,求x的取值范围；

⑵假设{an}为等差数列,首项ai,公差d,且OVdWa”判断{aj是否为“紧

密数列”；

(3)设数列瓜力是公比为q的等比数列，假设数列瓜力与{SJ都是“紧密数列”，

求q的取值范围.

2023年上海市奉贤区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.集合A={-2,-1},B={-1,2,3},那么ACB={-1}.

【考点】交集及其运算.

【分析】利用交集的定义求解.

【解答】解：•••集合A={-2,-1},B={-1,2,3},

，AnB={-1}.

故答案为：{-1}.

2.复数z满足z・(1-i)=2,其中i为虚数单位，那么z=1+i.

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】复数方程两边同乘1-i的共貌复数，然后化简即可.

【解答】解:由z・(1-i)=2,可得z・(1-i)(1+i)=2(1+i),

所以2z=2(1+i),

z=l+i.

故答案为：1+i.

3.方程1g(x-3)+lgx=l的解x=5.

【考点】对数的运算性质.

【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对

数符号，求解一元二次方程得答案.

【解答】解：由lg(x-3)+lgx=l,得：

'x-3>0

x>3

-x>0,即、，解得：x=5.

x(x-3)=10

lgx(x-3)=l

故答案为：5.

4.f(x)=logax(a>0,aWl),且C(-1)=2,那么f"(x)=号)x.

【考点】对数函数图象与性质的综合应用.

【分析】由题意可得f⑵=loga2=-1；从而得到2=当再写反函数即可.

【解答】解:由题意，•••「(-1)=2,

Af⑵=loga2=-1；

故a=~

故「(x)=c1)x；

故答案为：g)x.

5.假设对任意正实数a,不等式x2Wl+a恒成立，那么实数x的最小值为-1.

【考点】二次函数的性质.

【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x

的取值范围.

【解答】解：•.•对任意正实数a,不等式x2Wl+a恒成立，

二等价于a^x2-1,

♦.aNmax

02(X~-1)max

-IWxWl

实数x的最小值为-1.

2门

6.假设抛物线y2=2px的焦点与椭圆—+y2=i的右焦点重合，那么p=4.

5

【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质.

【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可.

22

【解答］解:椭圆—+y2=i的右焦点⑵①，抛物线y2=2px的焦点与椭圆—+y2=i

55

的右焦点重合，

可得：1=2.

解得p=4.

故答案为:4.

7.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2023,那么该数列的首项

为5.

【考点】等差数列.

【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得.

【解答】解：设该等差数列的首项为a,

由题意和等差数列的性质可得2023+a=1010X2

解得a=5

故答案为：5

8.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,

如果直角三角形的直角边成为1,那么这个几何体的外表积是竺声.

【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积.

【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视

图的数据，求出三棱锥的外表积即可.

【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，

所以几何体的外表积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，

即：3x|xiXl+^.X（收2=苧・

故答案为：空叵.

2

9.互异复数mnWO,集合{m,n}={m2,n2},那么m+n=-1.

【考点】复数相等的充要条件.

【分析】互异复数mnWO,集合{m,n}={m2,n2},可得：m=m2,n=n2；n=m2,

m=n2,mnWO,mWn.解出即可得出.

【解答】解：互异复数mnWO,集合{m,n}={m2,n2},

/.m=m2,n=n2,或n=m2,m=n2,mnWO,m#n.

由m=m2,n=n2,mnWO,mWn,无解.

由n=m2,m=n2,mnWO,mWn.可得n-m=m2-n2,解得m+n=-l.

故答案为：-1.

10.等比数列｛an｝的公比q,前n项的和Sn,对任意的n£N*,Sn>0恒成立，

那么公比q的取值范围是（-1,0）U（0,+8）.

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】qWl时，由Sn>0,知ai>0,从而上3_>0恒成立，由此利用分类讨

1-Q

论思想能求出公比q的取值范围.

【解答】解：qWl时，有S—dl-a，,

1-q

VSn>0,.*.ai>0,

rn

那么上&_>0恒成立，

1-q

①当q>l时，l-qn〈0恒成立，即qn>l恒成立，由q>l,知qn>l成立；

②当q=l时，只要由>0,Sn>0就一定成立；

③当q<l时，需l-qn>0恒成立，

当OVqVl时，l-qn>0恒成立，

当-IVqVO时，1-q11〉。也恒成立，

当qV-1时，当n为偶数时，1-qn>0不成立，

当q=-l时，l-qn>0也不可能恒成立，

所以q的取值范围为（-1,0）U（0,+8）.

故答案为：（-1,0）U（0,+8）.

，|•8_0_1

11.参数方程范-I,2M表示的曲线的普通方程是x2=y

y=l+sin9

（OWxW后，0WyW2）.

【考点】参数方程化成普通方程.

【分析】把上面一个式子平方，得到x2=l+sin0,代入第二个参数方程得到x2=y,

根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程.

【解答】解：卜二归知花fcos彳|

vee[0,2无)，

|cos-^-+sin-|-=|V2sin[0,亚]

AA

l+sin0=(cos—+sin—)[0,2]

故答案为：x2=y(0WxW&,0WyW2)

12.函数f(x)=sincox+coscox(co>O),x£R,假设函数f(x)在区间(-3,

s)内单调递增，且函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称，那么3的值为叵.

【考点】由y=Asin(cox+(p)的局部图象确定其解析式.

【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f(x)=V2sin®x+子)，由

2k兀-半Wcox+?W2k7i+手，k©Z可解得函数f(x)的单调递增区间，结合可

3兀兀

得：-3》竺二^①，四:二“②，kez,从而解得k=0,又由

W(0

7T

kK+

wx+A=kn+A,可解得函数f(x)的对称轴为：x=T,kez,结合可得:

42-------

3

82=：,从而可求3的值.

4

TT

【解答】解:Vf(x)=sin(Dx+cossx=&sin(cox+—),

•.•函数f(x)在区间(-co,3)内单调递增，w>0

.-.2k7t--y^a)x+-y<2k7T+-y,kGZ可解得函数f(X)的单调递增区间为：

3兀JT

[竺二工，丝鱼],kez,

33

3兀兀

二可得：_322k兀一^~①,sw2k兀+丁②,kez,

CO(0

・•・解得：0Va)2<等_2k兀且0〈0?忘21<兀4，kez,

解得:-kEZ,

oo

・••可解得：k=0,

TT

又•；由sx+^kTi+l,可解得函数f(x)的对称轴为：x=k兀守，kez,

42—----

...由函数y=f（X）的图象关于直线X=3对称，可得：“2=看,可解得：3=吁.

故答案为：耳.

2

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.“mnVO”是方程"mx2+ny2=l表示双曲线”的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【考点】双曲线的简单性质；充要条件.

x2y21

【分析】先证明充分性，把方程化为丁+丁=1,由“mnVO”,可得!、工异号,

n

mn

可得方程表示双曲线，由此可得“mnV0〃是方程“mx2+ny2=l表示双曲线〃的充

X2y211

分条件；再证必要性，先把方程化为丁+丁=1,由双曲线方程的形式可得工、1

——inn

mn

异号，进而可得mnVO,由此可得“mn<0”是方程"mx2+ny2=l表示双曲线”的

必要条件；综合可得答案.

【解答】解：假设“mnVO”,那么m、n均不为0,方程mx2+ny2=h可化为

xi/

1+1=1，

mn

工、工异号，方程S++

假设“mnVO",=1中，两个分母异号，那么其表示双

inn——

in

曲线,

故"mn<0”是方程"mx2+ny2=l表示双曲线”的充分条件；

22

反之，假设mx2+ny2=l表示双曲线，那么其方程可化为亍++=1,

mn

此时有工、工异号，那么必有mnVO,

inn

故"mnVO”是方程"mx2+ny2=l表示双曲线”的必要条件；

综合可得：“mn<0〃是方程“mx2+ny2=l表示双曲线”的充要条件;

应选C.

14.假设方程f（x）-2=0在（-8,0）内有解，那么y=f（x）的图象是（）

【考点】函数的图象与图象变化.

【分析】根据方程f(X)-2=0在(-8,0)内有解，转化为函数f(x)的图

象和直线y=2在1-8,o)上有交点.

【解答】解：A：与直线y=2的交点是(0,2),不符合题意，故不正确；

B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；

C：与直线y=2的在区间(0,+8)上有交点，不符合题意，故不正确；

D：与直线y=2在(-8,0)上有交点，故正确.

应选D.

15.函数可(ae[0,2无))是奇函数，那么a=()

2x<0

l-x+cos(x+a)

A.0B.—C.7tD.—

22

【考点】函数奇偶性的性质.

【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解.

【解答】解：由题意可知，函数f(x)是奇函数，即f(-x)+f(x)=0,

不妨设xVO,那么-x>0.

那么有：f(x)=-x2+cos(x+a),

f(-x)=x2-sinx

那么：-x2+cos(x+a)+x2-sinx=O

解得：a=T+2k九(kwz)

Vae[O,2n)

._3几

,e亍

应选：D.

16.假设正方体AiA2A3A4-B1B2B3B4的棱长为1,那么集合{x|x=AiB；AB；,

i《{l,2,3,4),jei,2,3,4}}中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【考点】子集与真子集.

【分析】A”；i,jG{1,2,3,4),由此能求出集合

{x|x=A1BfAiBie{1,2,3,4},jei,2,3,4}}中元素的个数.

【解答】解：•••正方体AiA2A3A4-B1B2B3B4的棱长为1,

A1Bj±A1Byi，j£{l，2,3,4),

A】B「A”『A”「[A]Ai+A[B[+B[B?

...2..

=A1B1«AjA1+A1B1+A1B1-B1Bj=l.

集合{x|x=A[B；・AiB；,ie{1,2,3,4),jei,2,3,4}}中元素的个数为1.

应选：A.

三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)

17.圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中点，AB是底面

圆的直径，点C是弧AB的中点；

(1)求三棱锥P-ACO的体积；

(2)求异面直线MC与P0所成的角.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角.

【分析】(1)由得AB=8,0C=4,0C1AB,PO=3,由此能出三棱锥P-ACO

的体积.

(2)以。为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系,

利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角.

【解答】解：(1)•.•圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中

点，

AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点,

，AB=8,0C=4,OC±AB,

P0=Jp产-AOJA/25T6=3»

三棱锥P-ACO的体积VP.ACO=±XSAAOCXOP

J

=VX9X4X4X3=8-

OC

(2)以。为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系,

A[0,-4,0),P(0,0,3),M[0,-2,-|),C(4,0,0),O(0,0,0),

MC=(4,2,-y),PQ=(0,0,-3〕,

设异面直线MC与PO所成的角为e,

__1—

cosO-再现=三=婚,

IMCI-IP0I(89.389

故异面直线MC与PO所成的角为arccos汉瓯.

89

18.函数£6)=1082仁.+2*-2)(a>0),且f⑴=2；

(1)求a和f(x)的单调区间；

⑵f(x+1)-f(x)>2.

【考点】指数式与对数式的互化.

【分析】(1)代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义

域，

(2)根据函数的单调性得到关于x的不等式，解得即可.

【解答】解:⑴函数f(x)=l:g2(产+aX-2)(a>0),且f(1)=2,

Iog2(a2+a-2)=2=log2%

.a2+a-2>。

a2+a-2=4'

解得a=2,

2XX

：.f(x)=log2(2+2-2L

设t=22x+2x-2>0,解得x>0,

Af(x)的递增区间(0,+8);

(2)f(x+1)-f(x)>2,

2x+2x+12xx

.,.log2(2+2-2)-log2(2+2-2)>2=log24,

2V2X-I(22X+2X

A2+2_2>4-2),

.".2X<3,

/.X<log23,

Vx>0

/.0<x<log23

，不等式的解集为(0,<log23)

19.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并

与航线成角a(0°VaV90°),轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A

在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东p(00<p<90°)方向，0°Va+BV90°,求CB；

(结果用a,p,b表示)

【考点】解三角形的实际应用.

【分析】由题意，ZB=90°-(a+B),aPBC中，运用正弦定理可得结论.

【解答】解：由题意，ZB=90°-(a+p),

△PBC中，PC=b,由正弦定理可得CB=噜邛

costa+Q)

2

20.过双曲线*2誉=1的右支上的一点P作一直线1与两渐近线交于A、B两点,

其中P是AB的中点；

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)当P坐标为(xo,2)时，求直线1的方程；

(3)求证：|OA|・|OB|是一个定值.

【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质.

【分析】(1)求出双曲线的a,b,由双曲线的渐近线方程为y=±±x,即可得到

a

所求；

(2)令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A(m,

2m),B(n,-2n),可得A,B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线

方程；

(3)设P(xo,yo),A(m,2m),B(n,-2n),代入双曲线的方程，运用中

点坐标公式，求得m,n,运用两点的距离公式，即可得到定值.

2

【解答】解：11)双曲线乂2毛=1的a=l,b=2,

可得双曲线的渐近线方程为y=±-x,

a

即为y=±2x；

⑵令y=2可得蜡=1+*=2,

解得xo=J^,(负的舍去)，

设A(m,2m),B(n,-2n),

由P为AB的中点，可得m+n=2«,2m-2n=4,

解得m=V2+l，n=V2-1，

即有A(扬1,2料+2),

_2扬2-2=

可得PA的斜率为k2瓜

企+13

那么直线1的方程为y-2=2血

即为丫=2折-2；

2

(3)证明：设P(xo,yo),即有x02-也_=1,