2024年四川省苍溪中学数学高三上期末学业质量监测试题含解析

2024年四川省苍溪中学数学高三上期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}2．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128 B．65 C．64 D．633．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．45．已知集合,则（）A． B． C． D．6．设，，，则（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了8．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）A． B．3 C． D．19．已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．410．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（）A． B． C．2或 D．2或11．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（）A． B． C． D．12．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（）A．0 B．1 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.14．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.15．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.16．已知等差数列的各项均为正数，，且，若，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”为假命题，求的取值范围.18．（12分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.19．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，证明.20．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程，其中，.768381252621．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，E，F分别是棱AB，PC的中点.求证：（1）EF//平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD．22．（10分）已知函数在上的最大值为3.（1）求的值及函数的单调递增区间;（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可．【题目详解】解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故选：C．【题目点拨】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．2、D【解题分析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【题目详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【题目点拨】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3、D【解题分析】

由试验结果知对0～1之间的均匀随机数，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．【题目详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，对应区域为边长为的正方形，其面积为，若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，其面积；则有，解得故选：．【题目点拨】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.4、A【解题分析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.【题目详解】解：设双曲线的半个焦距为，由题意又，则，，，所以离心率，故选：A.【题目点拨】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题5、B【解题分析】

计算，再计算交集得到答案【题目详解】,表示偶数，故.故选：.【题目点拨】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.6、A【解题分析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.【题目详解】，，，因此，故选：A.【题目点拨】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.7、C【解题分析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【题目详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【题目点拨】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.8、B【解题分析】

过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【题目详解】由圆：配方为，，半径.∵过点的直线与圆：相切于点，∴；∴；故选：B.【题目点拨】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.9、C【解题分析】

根据对称性即可求出答案．【题目详解】解：∵点（5，f（5））与点（﹣1，f（﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故选：C．【题目点拨】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．10、C【解题分析】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果.【题目详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或.故选：C【题目点拨】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.11、A【解题分析】

由已知可得的单调性，再由可得对称性，可求出在单调性，即可求出结论.【题目详解】对于任意，函数满足，因为函数关于点对称，当时，是单调增函数，所以在定义域上是单调增函数.因为，所以，.故选:A.【题目点拨】本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..12、A【解题分析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【题目详解】输入，，因为，所以由程序框图知，输出的值为.故选：A【题目点拨】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【题目详解】由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则，故有，解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为.故答案为：.【题目点拨】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.14、{5}【解题分析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．15、【解题分析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.【题目详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在中，，，，如下图所示，底面圆的半径为，则所形成的几何体的表面积为.故答案为：.【题目点拨】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.16、【解题分析】

设等差数列的公差为，根据，且，可得，解得，进而得出结论.【题目详解】设公差为，因为，所以，所以，所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1））当时，将函数写成分段函数，即可求得不等式的解集.（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“，”为真命题，只需满足即可.【题目详解】解：（1）当时，由，得.故不等式的解集为.（2）因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以.因为，所以，则，所以，即，解得，即的取值范围为.【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.18、（1）（2）【解题分析】

（1）先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【题目详解】解:（1）因为,所以又,故,所以,所以（2）由（1）得,,,所以,所以,因为且,即,解得,因为,所以,所以,所以,所以【题目点拨】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.19、（1）单调递减区间为，，无单调递增区间（2）证明见解析【解题分析】

（1）求导，根据导数的正负判断单调性，（2）整理，化简为，令，求的单调性，以及，即证.【题目详解】解：（1）函数定义域为，则，令，，则，当，，单调递减；当，，单调递增；故，，，，故函数的单调递减区间为，，无单调递增区间.（2）证明，即为，因为，即证，令，则，令，则，当时，，所以在上单调递减，则，，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以要证原不等式成立，只需证当时，，令，，，可知对于恒成立，即，即，故，即证，故原不等式得证.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的最值问题，属于中档题．20、（1）不同的样本的个数为.（2）①分布列见解析，.②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.【解题分析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.（2）名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.【题目详解】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为名，故不同的样本的个数为.（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴的取值为0，1，2，3.∴，，，.∴的分布列为0123∴.②∵，.∴线性回归方程为.当时，.可预测该同学的物理成绩为96分.【题目点拨】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．21、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

（1）取的中点构造平行四边形，得到，从而证出平面；（2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面．【题目详解】证明：（1）如图，取的中点，连接，，是棱的中点，底面是矩形，，且，又，分别是棱，的中点，，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），点是棱的中点，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面．【题目点拨】本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题．22、（1）,函数的单调递增区间为；（2）.【解题分析】

（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质