2024学年甘肃省白银市会宁县第一中学数学高三上期末考试试题含解析

2024学年甘肃省白银市会宁县第一中学数学高三上期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种2．已知全集，集合，则=（）A． B．C． D．3．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A． B．C． D．5．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为()A．1 B．2 C． D．7．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A．16 B．12 C．8 D．68．已知函数，下列结论不正确的是（）A．的图像关于点中心对称 B．既是奇函数，又是周期函数C．的图像关于直线对称 D．的最大值是9．若，则，，，的大小关系为（）A． B．C． D．10．点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为()A．3 B．3.4 C．3.8 D．412．若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.14．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________.15．若、满足约束条件，则的最小值为______.16．已知向量，，若，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面ABCD满足AD∥BC，，，E为AD的中点，AC与BE的交点为O.（1）设H是线段BE上的动点，证明：三棱锥的体积是定值；（2）求四棱锥的体积；（3）求直线BC与平面PBD所成角的余弦值．18．（12分）已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，其短半轴长为1，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上，且．（1）证明：直线与圆相切；（2）设与椭圆的另一个交点为，当的面积最小时，求的长．20．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．21．（12分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.（1）求证：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点.（Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（Ⅱ）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【题目详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；若一名学生物理和历史都选，则有种组合；因此共有种组合.故选C【题目点拨】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.2、D【解题分析】

先计算集合，再计算，最后计算．【题目详解】解：，，．故选：．【题目点拨】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．3、A【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【题目详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，故选：A.【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题4、C【解题分析】

根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【题目详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【题目点拨】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.5、C【解题分析】

转化有1个零点为与的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.【题目详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点．记，则过原点作的切线，设切点为，则切线方程为，又切线过原点，即，将，代入解得．所以切线斜率为，所以或．故选：C【题目点拨】本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.6、D【解题分析】

按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出.【题目详解】，，.故选：D【题目点拨】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.7、B【解题分析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【题目详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为故选：B【题目点拨】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.8、D【解题分析】

通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果．【题目详解】解：，正确；，为奇函数，周期函数，正确；，正确；D：，令，则，，，，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减；且，，，故D错误．故选：．【题目点拨】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．9、D【解题分析】因为，所以，因为，，所以,.综上；故选D.10、B【解题分析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可得到结论．【题目详解】不等式组作出可行域如图：，，，的几何意义是动点到的斜率，由图象可知的斜率为1，的斜率为：，则的取值范围是：，，．故选：．【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键．11、D【解题分析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.【题目详解】由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为和一个底面半径为，高为的圆柱组合而成.该几何体的表面积为，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.12、B【解题分析】

求得的导函数，由此构造函数，根据题意可知在上有变号零点.由此令，利用分离常数法结合换元法，求得的取值范围.【题目详解】，设，要使在区间上不是单调函数，即在上有变号零点，令，则，令，则问题即在上有零点，由于在上递增，所以的取值范围是.故选：B【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【题目详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题．14、【解题分析】试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件为“取出球的编号互不相同”，则事件包含了个基本事件，所以.考点：1.计数原理；1．古典概型.15、【解题分析】

作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【题目详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.【题目点拨】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.16、10【解题分析】

根据垂直得到，代入计算得到答案.【题目详解】，则，解得，故，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）（3）【解题分析】

（1）因为底面ABCD为梯形，且，所以四边形BCDE为平行四边形，则BE∥CD，又平面，平面，所以平面，又因为H为线段BE上的动点，的面积是定值，从而三棱锥的体积是定值.（2）因为平面，所以，结合BE∥CD，所以，又因为，，且E为AD的中点，所以四边形ABCE为正方形，所以，结合，则平面，连接，则，因为平面，所以，因为，所以是等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，所以，且，所以平面，所以PO是四棱锥的高，又因为梯形ABCD的面积为，在中，，所以.（3）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则B（，0，0），C（0，，0），D（，，0），P（0，0，），则，设平面PBD的法向量为，则即则，令，得到，设BC与平面PBD所成的角为，则，所以，所以直线BC与平面PBD所成角的余弦值为．18、【解题分析】试题分析：先将问题“存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.试题解析：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“”，故常数的取值范围是．考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.19、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设的方程为，可求解得到，，可得到的距离为1，即得证；（2）表示的面积为，利用均值不等式，即得解.【题目详解】（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且，所以．所以椭圆的方程为．由点在直线上，且知的斜率必定存在，当的斜率为0时，，，于是，到的距离为1，直线与圆相切．当的斜率不为0时，设的方程为，与联立得，所以，，从而．而，故的方程为，而在上，故，从而，于是．此时，到的距离为1，直线与圆相切．综上，直线与圆相切．（2）由（1）知，的面积为，上式中，当且仅当等号成立，所以面积的最小值为1．此时，点在椭圆的长轴端点，为．不妨设为长轴左端点，则直线的方程为，代入椭圆的方程解得，即，，所以．【题目点拨】本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.20、．【解题分析】试题分析：，所以．试题解析：B．因为，所以．21、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）先证明EF平面，即可求证；（2）根据二面角的余弦值，可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.【题目详解】（1）连接，交于点，连结.则，故面.又面，因此.（2）由（1）知即为二面角的平面角，且.在中应用余弦定理，得，于是有，即，从而有平面.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则，于是，，设平面的法向量为，则，即，解得于是平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，因此.【题目点拨】本