2024学年辽宁省大连市海湾高级中学数学高三上期末预测试题含解析

2024学年辽宁省大连市海湾高级中学数学高三上期末预测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A． B． C． D．2．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（）A． B． C． D．3．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4326．（）A． B． C． D．7．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180 B．90 C．45 D．3608．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有()A．18种 B．20种 C．22种 D．24种9．点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．140 D．12011．设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若，则（）.A．9 B．6 C． D．12．已知条件，条件直线与直线平行，则是的()A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、、满足，则实数的值为_______．14．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．15．曲线在点处的切线方程为__．16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论函数单调性；（2）当时，求证：.18．（12分）已知.（1）解不等式；（2）若均为正数，且，求的最小值.19．（12分）已知数列满足，等差数列满足，（1）分别求出，的通项公式；（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：．20．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，且.（1）证明：；（2）若的面积，，求角.21．（12分）已知x∈R，设，，记函数.（1）求函数取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值.22．（10分）在四棱锥的底面是菱形，底面，，分别是的中点，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【题目详解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.故选：C【题目点拨】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.2、A【解题分析】

依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。【题目详解】因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。由有，，解得，所以，，故选A。【题目点拨】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。3、C【解题分析】

根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题目详解】点不在直线、上，若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立，若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下：若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件，故选：．【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．4、C【解题分析】

化简得到，得到答案.【题目详解】，故，对应点在第三象限.故选：.【题目点拨】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.5、C【解题分析】

四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类．【题目详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数为．故选：C．【题目点拨】本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．6、B【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】．故选B．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7、A【解题分析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.8、B【解题分析】

分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.【题目详解】根据医院A的情况分两类：第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，共有种不同分配方案；第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，共有种不同分配方案；共有20种不同分配方案.故选：B【题目点拨】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.9、B【解题分析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可得到结论．【题目详解】不等式组作出可行域如图：，，，的几何意义是动点到的斜率，由图象可知的斜率为1，的斜率为：，则的取值范围是：，，．故选：．【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键．10、C【解题分析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．11、C【解题分析】

设，，，由可得，利用定义将用表示即可.【题目详解】设，，，由及，得，故，所以.故选：C.【题目点拨】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.12、C【解题分析】

先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果.【题目详解】因为直线与直线平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要条件.故选C【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据图示分析出、、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.【题目详解】由图可知：，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知，若，则有.14、【解题分析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则∵∠APB的大小恒为定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案为点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．15、【解题分析】

对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【题目详解】因为，所以，从而切线的斜率，所以切线方程为，即.故答案为：【题目点拨】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.16、【解题分析】

分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.【题目详解】首先，第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率.故答案为：.【题目点拨】本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）根据的导函数进行分类讨论单调性（2）欲证，只需证，构造函数，证明，这时需研究的单调性，求其最大值即可【题目详解】解：（1）的定义域为，，①当时，由得，由，得，所以在上单调递增，在单调递减；②当时，由得，由，得，或，所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增；③当时，，所以在上单调递增；④当时，由，得，由，得，或，所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增.（2）当时，欲证，只需证，令，，则，因存在，使得成立，即有，使得成立.当变化时，，的变化如下：0单调递增单调递减所以.因为，所以，所以.即，所以当时，成立.【题目点拨】考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求的最小值.【题目详解】（1），由得或或，解得.（2），所以，由柯西不等式得：所以，即（当且仅当时取“=”）.所以的最小值为.【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.19、(1)（2）证明见解析【解题分析】

（1）因为，所以，所以，即，又因为，所以数列为等差数列，且公差为1，首项为1，则，即.设的公差为，则，所以（），则（），所以，因此，综上，．（2）设数列的前n项和为，则两式相减得，所以，设则，所以.20、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角.【题目详解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【题目点拨】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.21、（1）；（2）【解题分析】

(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出，根据三角形的