江苏省镇江市宝堰中学2021年高三数学理联考试题含解析

江苏省镇江市宝堰中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在二项式的展开式中,当且仅当第项系数最大,第项系数最小,则的值可以是(

).

A. B.

C.

D.参考答案：答案:D2.若集合A=｛x∈R|ax2+ax+1｝其中只有一个元素，则a=A.4

B.2

C.0

D.0或4参考答案：A3.若数列的前n项和为，则下列命题： （1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列； （2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数； （3）若是等差数列（公差），则的充要条件是 （4）若是等比数列，则的充要条件是 其中，正确命题的个数是（

） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：B4.已知集合，，则集合中元素的个数为A．3

B．5

C．7

D．9参考答案：B5.是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（

）A．

B．C．

D．参考答案：答案：A6.已知等比数列{am}的前m项和为Sm，若S=4（a1+a3+a5+…+a2m-1）,a1a2a3=27,则a6=（

）A.27

B.81

C.243

D.729参考答案：C略7.条件，条件；若p是q的充分而不必要条件，则的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：B略8.已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，，接着下一项是2，接着三项是，，，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前n项和为Sn，则满足的最小的正整数n的值为（

）A.65 B.67 C.75 D.77参考答案：C【分析】由题将数列分组，得每组的和，推理的n的大致范围再求解即可【详解】由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，则第t组的和为，数列共有项，当时，,随增大而增大，时，，，时，，，第65项后的项依次为，，，…，，11，，，…，又，，，，，∴满足条件的最小的值为.故选C【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题9.若空间三条直线a、b、c满足，则直线（

） A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直参考答案：D10.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方”，则在五边形AGFID内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方，其面积为9，五边形的面积为，所以此点取自朱方的概率为.故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围是_____________．参考答案：略12.已知椭圆C:，点为其长轴的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆C于，则直线这10条直线的斜率乘积为

．参考答案：13.在△ABC中，点O是BC的三等分点，，过点O的直线分别交AB，AC或其延长线于不同的两点E，F，且，若的最小值为，则正数t的值为________.参考答案：2【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.【详解】因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，则，，当且仅当时，等号成立，即的最小值为,则有,解可得或(舍），故，故答案为2.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14.运行如图所示的程序后，输出的结果为

▲

.参考答案：42。此题的答案容易错为22。15.如图，在平面四边形中，分别为线段的两个三等分点，分别为线段的两个三等分点，且，则的值为

．参考答案：5

16.设处的切线与直线垂直，则实数a的值为_________.参考答案：-117.已知奇函数的图像关于直线x=3对称，当时，，则__________．参考答案：2依题意知的最小正周期是12，故，即

故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，c的对边分别为a，b，c，，a=5，△ABC的面积为10．

(1)求b，c的值；

(2)求cos(B-)的值．参考答案：(1)b=8,c=7(2)【知识点】解三角形C8(1)由已知得C=，a=5,S=,即10=b.5sin,解得b=8，由余弦定理得=64-25-80cos=49,所以c=7.

(2)由（1）知cosB=,由于B是三角形的内角，知sinB==所以cos（B-）=cosBcos+sinBsin==【思路点拨】根据正弦余弦定理得。19.已知函数，其中，，是自然对数的底数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设函数，证明：.参考答案：（Ⅰ）（1）当时，，当，；当，；所以在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，令，得，由得，由得或，所以在，上单调递增，在上单调递减.（3）当时，令，，故在上递增.（4）当时，令，得，由得，由得或，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增.当时，在，上单调递增，在上单调递减.当时，在上递增.当时，在，上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）①且②先证①：令，则，当，，单调递减；当，，单调递增；所以，故①成立！再证②：由（Ⅰ），当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，故②成立！综上，恒成立.20.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：网购金额（单位:千元）频数频率合计若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为．（1）试确定，，，的值，并补全频率分布直方图（如图（2））．（2）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查．设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望．参考答案：（1）根据题意，有解得

…2分，．补全频率分布直方图如图所示．………4分（2）用分层抽样的方法，从中选取人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人．…6分故的可能取值为0，1，2，3；，，，．…………10分所以的分布列为：

．

……12分21.如图所示，多面体EF﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝BC＝CF＝1，AC⊥BC，∠ADC＝120°

（1）求证：BC⊥AF

（2）求平面BDF与平面CDF所成夹角的余弦值．参考答案：（1）证明：∵平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD＝AC又∵BC⊥AC

∴BC⊥平面ACFE又∵AF平面ACFE

∴BC⊥AF方法二：建系后用向量证之（略）（2）解：由已知，以C为坐标原点，CA，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，连接BD交AC于O点，连接OF，要使AM∥平面BDF，易得AM∥OF∵AD＝DC＝BC＝CF＝1，∠ADC＝120°∴AC＝BD＝，OC＝，即B（0，1，0），D（，，0），F（0，0，1）∴＝（，，－1），＝（0，1，－1），＝（0，0，－1）设平面BDF的法向量为＝（x，y，z）令z＝1，则y＝1，x＝，∴＝（，1，1）设平面CDF的法向量为＝（x，y，z）令x＝1，则y＝，z＝0，∴＝（1，，0）设平面BDF与平面CDF的夹角为α22.（本小题满分14分）已知函数的最小值为2，（为常数），函数（为常数）.（1）当时，证明：存在使得的图象在点处的切线和的图象在点处的切线平行；（2）若对任意不等式恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）当时，，

当时，在R上递增，无最小值.不合题意.

所以

……….2分依题意可知存在使得且即满足且令因为，所以区间内存在，使得，又当时，且，