2021年湖南省岳阳市昆山中学高三数学文联考试题含解析

2021年湖南省岳阳市昆山中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（

）A.假设三内角都不大于60度；

B.假设三内角都大于60度；C.假设三内角至多有一个大于60度；

D.假设三内角至多有两个大于60度。参考答案：B略2.函数内A.没有零点 B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点参考答案：B略3.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．

B．

C．

D．

参考答案：C由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.4.设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：C5.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A.点到平面的距离B.直线与平面所成的角C.三棱锥的体积D.△的面积参考答案：B试题分析：将平面延展到平面如下图所示，由图可知，到平面的距离为定值.由于四边形为矩形，故三角形的面积为定值，进而三棱锥的体积为定值.故A，C，D选项为真命题，B为假命题.考点：空间点线面位置关系.7.如图，正六边形ABCDEF中，A. B. C. D.参考答案：D因为,所以,选D.8.已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点

在抛物线上，且，则的最小值为

（

）

A.6

B.

C.

D.参考答案：C9.若，则的大小关系为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.直线与轴的交点为，点把圆的直径分为两段，则其长度之比为

（

）

A．或

B．或

C．或

D．或参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列四个结论：①命题“的否定是“”；②“若则”的逆命题为真；③已知空间直线，则的一个必要非充分条件是与所成角相等；④已知函数，则的最大值为。其中正确结论的序号是______________________________。参考答案：①③④12.等差数列的通项公式为，下列四个命题：：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列．其中真命题的是

．参考答案：，13.已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则

．参考答案：

14.设常数展开式中的系数为，则

。参考答案：115.在极坐标系中，直线与曲线相交于、两点，若，则实数的值为

.参考答案：-1或-516.某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为

120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成

两条长度均为原来的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为

120°；；依次规律得到级分形图.则（1）级分形图中共有

条线段.（2）级分形图中所有线段长度之和为

.参考答案：（1）；（2），依题意，（1）记级分形图中共有条线段，则有，，，由累加法得（2）级分形图中所有线段的长度和等于17.函数，的最小值为，则的值为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.（1）求函数的极值；（2）设，对于任意，，总有成立，求实数a的取值范围.参考答案：(1)的极小值为：，极大值为：(2)试题分析:(1)先求函数的定义域,然后对函数求导,利用导数求得函数的单调区间,进而求得极值.(2)由(1)得到函数的最大值为,则只需.求出函数的导数,对分成两类,讨论函数的单调区间和最小值,由此求得的取值范围.试题解析:(1)所以的极小值为：，极大值为：；(2)由(1)可知当时，函数的最大值为对于任意，总有成立，等价于恒成立，①时，因为，所以，即在上单调递增，恒成立，符合题意.

②当时，设，，所以在上单调递增，且，则存在，使得所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以不恒成立，不合题意.综合①②可知，所求实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查利用导数求解恒成立问题.求极值的步骤：

①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.19.己知椭圆C：=1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（λ＞1，λ是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ．（I）求曲线Cλ的轨迹方程；（II）直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为（，），由点P在椭圆C上得曲线Cλ的轨迹方程为．（Ⅱ）由△=0，得过点A（x1，y1）的切线方程为，设切点A（x2，y2），B（x3，y3）联立，结合得4x2﹣8x1x+16﹣16=0，可得|AB|=×|x3﹣x4|，原点O到直线AB的距离d=，△OAB的面积s=|AB|×d=×=2（定值）【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为（，）由于点P在椭圆C上，得，即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为．（Ⅱ）①当过点P（x1，y1）切线的斜率存在时，设该切线的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+（y1﹣kx1）联立y=kx+（y1﹣kx1）、椭圆C：=1得（）x2+2k（y1﹣kx1）x+=0，由△=0，得1+4k2=[（y1﹣kx1）2，的k=﹣．此时过点A（x1，y1）的切线方程为过点P切线的斜率不存在时，切点为（±2，0），方程为x=±2，符合方程为．∴过点P的切线方程为．设切点A（x2，y2），B（x3，y3）联立，结合得4x2﹣8x1x+16﹣16=0∴|AB|=×|x3﹣x4|=．原点O到直线AB的距离d=∴△OAB的面积s=|AB|×d=×=2（定值）故△OAB的面积是定值220.（本小题满分12分）在中，角A,B,C的对边分别为,b,c,且满足，．（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）若，求边与的值．

参考答案：【解】：（Ⅰ）由正弦定理得，……2分，，，……6分由得，的面积为．……8分（Ⅱ）因，故，……10分由余弦定理得……12分

略21.已知函数．（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时，．参考答案：（1）①时，无交点，②时，有1个交点，③时，无交点（2）详见解析

试题解析：（1）定义域为，的零点个数与的交点个数，①时，无交点，②时，有1个交点，③时，无交点．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）时，存在唯一，使，即，且时，单调递减，时，单调递增，∴，∴当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数零点，利用导数证不等式【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.22.已知函数，在点处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴①

，∴②

①②联立，解得∴

（Ⅱ），∴在上恒成立；即在恒成立；

设，，∴只需证对任意有