2021年山西省忻州市青石学校高三数学理月考试卷含解析

2021年山西省忻州市青石学校高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（多选题）设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件,,下列结论正确的是(

)A.S2019<S2020 B.C.T2020是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值参考答案：AB【分析】计算排除和的情况得到，故，得到答案.【详解】当时，，不成立；当时，，不成立；故，且，故，正确；，故正确；是数列中的最大值，错误；故选：【点睛】本题考查了数列知识的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.2.已知向量，，，若，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像A．向右平移个长度单位

B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位

D．向左平移个长度单位

参考答案：4.半径为1的球面上有四个点A、B、C、D，O为球心，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A-BCD的体积为A． B．C． D．参考答案：A5.已知函数

则“”是“在上单调递增”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：B略6.已知向量，，，则“”是“”的（A）充要条件

（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B7.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11π B．7π C． D．参考答案：D考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．8.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为A.6种 B.12种 C.18种 D.24种参考答案：A9.（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：向量在几何中的应用；相等向量与相反向量．【专题】：计算题．【分析】：根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值解：由题意，∵，∴，即，∴，即故选A．【点评】：本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．10.若复数=（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．﹣2 B． C． D．2参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．【解答】解：∵===，∴，解得：b=．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是

（结果用分数表示）．参考答案：12.复数满足=，则=

参考答案：513.已知点，点A，B是圆x2+y2=2上的两个点，则∠APB的最大值为．参考答案：【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意知点P在不等式表示的平面区域内（包含边界）运动，当P位于圆x2+y2=2外时，若∠APB最大，则PA，PB所在直线与圆相切，且点P位于离圆心最近的H处；由此求出∠APB的最大值．【解答】解：由已知可得点P在不等式组表示的平面如图所示（包含边界）运动，易知点P位于圆x2+y2=2外时，∠APB最大时，当PA，PB所在直线与圆相切，且点P位于离圆心最近的H处；此时，圆心到直线x+y﹣4=0的距离为，所以在Rt△OAP中|OP|=2|OA|，所以，同理，此时．故答案为：．14.定义运算=，函数图象的顶点是，且k、m、n、r成等差数列，则k+r=

.参考答案：15.下面有4个命题：①当时，的最小值为2；②若双曲线的一条渐近线方程为，且其一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象；④在中，，则的外接圆半径；类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径．其中错误命题的序号为_______（把你认为错误命题的序号都填上）．参考答案：①③16.如图，如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=

．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由题设条件推导出OC=CA=1，OB=2，BC=，由相交弦定理得（2+1）?（2﹣1）=BC?CD，由此能求出CD．解答：解：如图，∵A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，∴OC=CA=1，OB=2，∴BC==，∴由相交弦定理得（2+1）?（2﹣1）=BC?CD，∴CD==．故答案为：．点评：本题考查与圆相关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理和相交弦定理的合理运用．17.若，则_______．参考答案：0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点F为抛物线C：x2=4y的焦点，A，B，D为抛物线C上三点，且点A在第一象限，直线AB经过点F，BD与抛物线C在在点A处的切线平行，点M为BD的中点（Ⅰ）求证：AM与y轴平行；（Ⅱ）求△ABD面积S的最小值．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设出A，B，D三点坐标，根据kBD=y′|列方程．根据根与系数的关系求出M的横坐标即可；（II）求出直线BD的方程，求出AM和B到直线AM的距离，则S△ABD=2S△ABM，求出S关于xA的函数，利用基本不等式求出函数的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x0，），B（x1，），D（x2，）．（x0＞0）由x2=4y得y=，∴y′=，∴kBD=，又kBD==，∴=，∴=x0，即xM=x0．∴AM与y轴平行．解：（Ⅱ）F（0，1），∴kAF==，kBF==．∵A，B，F三点共线，∴kAF=kBF，∴=，整理得（x0x1+4）（x0﹣x1）=0，∵x0﹣x1≠0，∴x0x1=﹣4，即x1=﹣．直线BD的方程为y=（x﹣x1）+，∴yM=（x0﹣x1）+=++2=++2．由（Ⅰ）得S△ABD=2S△ABM=|++2﹣|×|x1﹣x0|=|++2|×|x0+|=（x0+）3≥16，当且仅当x0=即x0=2时等号成立，∴S的最小值为16．19.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．参考答案：解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD所以PQ⊥平面DCQ.

………………6分

（II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，所以棱锥P—DCQ的体积为故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分20.(本小题满分12分)已知函数．(1)将写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；(2)如果△ABC的三边a、b、c依次成等比数列，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数的值域．参考答案：解：

…3分

由得：

即对称中心的横坐标为．

……6分(2)解：由已知，∴

∴

…………………9分

，∴

即的值域为．

…………

12分21.（本题12分）如图抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),,均在抛物线上.（1）求该抛物线方程；（2）若AB的中点坐标为，求直线AB方程参考答案：22.(本题满分12分)

衡阳市八中对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核,因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次.若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列及数学期望．参考答案：【知识点】离散型随机变量及其分布列K6（1）（2）（1）记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核