安徽省合肥市庐北中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析

安徽省合肥市庐北中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：=1，点A，B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从A点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最长路程是（）A．20 B．18 C．16 D．14参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的光学性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）；小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和4a，进而根据椭圆的定义可求得小球经过的最长路程．【解答】解：依题意可知=1中，a=4，b=3，c=，设A，B分别为左、右焦点，则当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）=2（2﹣）；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）=2（2+）；小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16，小球经过的最长路程16，故选C．2.设，则“”是“”的（

）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如图所示的茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[499,501]内的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题，分析茎叶图，找出质量在[499,501]的个数，再求其概率即可.【详解】这13个数据中位于个数为6，故所求概率为故选B【点睛】本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题.4.设函数的图象上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的图象大致为（

）参考答案：A略5.椭圆C：的左右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2,－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B设P点坐标为，则，，，于是，故.∵∴.故选B.【考点定位】直线与椭圆的位置关系6.已知M(sinα,cosα),N(cosα,sinα)，直线l:xcosα+ysinα+p=0(p<–1)，若M,N到l的距离分别为m,n，则(

)

A.m≥n

B.m≤n

C.m≠n

D.以上都不对参考答案：A7.复数（i为虚数单位）的虚部是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用复数的除法可得后，从而可得其虚部.【详解】，所以复数的虚部是.故选A.【点睛】本题考查复数的除法及其复数的概念，注意复数的虚部是，不是，这是复数概念中的易错题.8.在中，角A、B、C的对应边分别为、、，若满足，的恰有两解，则的取值范围是

（）A．

B． C． D．参考答案：C略9.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A． B． C. D．参考答案：C【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．【分析】利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可．【解答】解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为．故选C．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．10.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为(

) A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinα﹣cosα+3 C．3sinα﹣cosα+1 D．2sinα﹣cosα+1参考答案：A考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：利用余弦定理求得正方形的边长，则正方形的面积可求得．利用正弦定理分别求得小等腰三角形的面积，最后相加即可．解答： 解：正方形的边长为=，∴正方形的面积为2﹣2cosα，等腰三角形的面积为?1?1?sinα=sinα，∴八边形的面积为4?sinα+2﹣2cosα=2sinα﹣2cosα+2，故选：A．点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．解题的关键是把八边形拆分成三角形和正方形来解决．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的导函数的图像如右图所示，则_______.参考答案：12.（5分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ=．参考答案：【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先利用抛物线的定义，求出P的坐标，进而可求PQ的方程，代入抛物线方程，可求Q的坐标，从而可求S△OPQ．解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1．∵抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为3，∴P的横坐标为2，代入抛物线方程，可得P的纵坐标为±2，不妨设P（2，2），可得直线PQ的斜率为2，∴直线PQ的方程为y=2（x﹣1），代入抛物线，整理可得8（x﹣1）2=4x，即2x2﹣5x+2=0，∴x=2或，将x=代入抛物线可得y=，∴S△OPQ==．故答案为：．【点评】：本题考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，确定P，Q的坐标是关键．13.双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为．参考答案：y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线=1的渐近线方程为y=x，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由双曲线=1的渐近线方程为y=x，则双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．14.已知（﹣）n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．参考答案：15【考点】二项式系数的性质．【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．【解答】解：（﹣）n的展开式中只有第四项的二项式系数最大所以n=6．其通项公式Tr+1=C6r?（﹣1）r?x，令﹣6=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为C64?（﹣1）4=15，故答案为：15．15.原命题：“设复数（为虚数单位），若为纯虚数，则”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有________个.参考答案：1

16.抛物线的焦点坐标为

．参考答案：17.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的系数为

（用数字作答）.参考答案：－126三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在处取得极值2.⑴求函数的解析式；⑵若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；参考答案：(1) (2)a=4,b=1(1)∵ 2分且f(x)在x=1处取得极值2∴即

∴a=4,b=1即 6分(2)∵

∴由得-1<x<1∴f(x)在【-1,1】上单调递增，在（-∞，1）与（1，+∞）单调递减 8分①当f(x)在区间（m,2m+1）上单调递增，则有 ∴-1<m≤0②当f(x)在区间（m,2m+1）上单调递减，则有

∴ 即m≥1∴综上知，-1<m≤0或m≥1 12分略19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是PA，PB的中点，（垂足为H），平面FEH与侧棱PC交于点G.（Ⅰ）求证：CD∥平面FEH;（Ⅱ）求证：平面FEH⊥平面PCD（Ⅲ）若，计算六面体EFGH-ABCD的体积.

参考答案：（Ⅰ）∵EF∥AB,AB∥CD,∴CD∥EF故CD∥平面EFH.

………………4分（Ⅱ）平面

…………6分

…………7分又平面

…………8分故平面平面

…………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD∥平面EFH而GH是过CD的平面PCD平面EFH的交线CD∥GH

………………10分设四棱锥P-ABCD，P-EFGH的体积分别为则

………………11分由知直角梯形EFGH的面积为……………13分显然平面所以

…………14分六面体EFGH-ABCD的体积

…………15分20.函数（1）若函数在内有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：（1）或．（2）【分析】（1）先对函数求导、然后因式分解，根据函数在在内有两个极值点列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）先对函数求导并因式分解.对分成三种情况，利用的单调性，结合不等式在上恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）由题意知，．有得：或．（2）．①当时，，符合题意．②当时，令，得或，此时函数的增区间为，减区间为．此时只需：解得：或，故．③当时，令，得或，此时函数的增区间为，，减区间为，此时只需：解得：，故，由上知实数a的取值范围为．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.21.已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）求出命题p，q成立时的x的范围，利用充分条件列出不等式求解即可．（2）利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可．【解答】解：（1）对于p：A=[﹣1，5]，对于q：B=[1﹣m，1+m]，p是q的充分条件，可得A?B，∴，∴m∈[4，+∞）．（2）m=5，如果p真：A=[﹣1，5]，如果q