江苏省扬州市赞化中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

江苏省扬州市赞化中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题正确的个数是①已知复数，在复平面内对应的点位于第四象限；②若是实数，则“”的充要条件是“”；③命题P：“”的否定P：“”；A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：C2.是两个定点，点为平面内的动点，且（且），点的轨迹围成的平面区域的面积为，设（且）则以下判断正确的是（

）A．在上是增函数，在上是减函数B．在上是减函数，在上是减函数C．在上是增函数，在上是增函数D．在上是减函数，在上是增函数参考答案：A略3.已知是函数f(x)=2x+的一个零点.若∈（1，），∈（，+），则（A）f()＜0，f()＜0

（B）f()＜0，f()＞0（C）f()＞0，f()＜0

（D）f()＞0，f()＞0参考答案：B略4.已知在同一坐标系中，函数的图象是下图中的参考答案：C略5.设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，故选：C．6.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{an}的第100项等于A．25050

B．24950

C．2100

D．299参考答案：A8.函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，1） C．（2，0） D．（2，2）参考答案：D【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据a0=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=ax﹣2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标．【解答】解：∵当X=2时y=ax﹣2+1=2恒成立故函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2）故选D9.，则

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D10.设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数为ai（i=1，2，…n）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为(

)A．48 B．120 C．144 D．192参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据8和7的特点得到8和7的位置，题目转换为数列123456保证5的顺序数是3就可以，分两种情况讨论，6在5前面，此时5一定在第5位，除6外前面有3个数，6在5后面，此时5一定在第4位上，6在后面两个数字上，根据分类原理得到结果．【解答】解：由题意知8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大，7一定在第五位，因为前面除了8以外所有数都比他小现在对其他数的顺序数没有影响，∵在8后面又比其他数小∴这两个可以不管可以把题转换为数列123456保证5的顺序数是3就可以了，∴分两种情况6在5前面，此时5一定在第7位，除6外前面有3个数，故有4×4×3×2×1=96种6在5后面，此时5一定在第6位上，6在后面两个数字上，故有2×4×3×2×1=48∴共有96+48=144种结果，故选C．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则f（4）=

．参考答案：【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象，可得==3﹣1，∴ω=，再根据五点法作图可得ω?1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣），∴f（4）=sin（3π﹣）=sin（π﹣）=，故答案为：．12.函数的反函数_____________．参考答案：13.函数的定义域为____________.参考答案：14.二项式的展开式中常数项为，则=

．参考答案：-84略15.已知A,B,P是双曲线(a>0,b>0)上不同的三个点，且A，B的连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率的乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为

。参考答案：16.设.（1）求实数a；（2）求数列{xn}的通项公式；（3）若，求证：b1+b2+…+bn<n＋1.

参考答案：(1)(2)(3)略解析：解：由，得，当且仅当时，有唯一的解，此时(2)由得，所以是以为首项为公差的等差数列，由，得（3）

略17.复数的虚部是．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数==，它的虚部为：，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面PCD⊥平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点．（Ⅰ）求证：平面平面PBC；（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；（Ⅱ）先证明，，两两垂直，再以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，用表示出平面的法向量，进而表示出，由，即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）四边形是正方形，∴.∵平面平面平面平面，∴平面.∵平面，∴.∵，点为线段的中点，∴.又∵，∴平面.又∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.在平面内过作交于点，∴，故，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.因为，，∴.∵平面，则，，又为的中点，，假设在线段上存在这样的点，使得,设，，，设平面的法向量为，则∴，令，则，则平面，平面的一个法向量,,则∴.，解得，∴【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟记面面垂直的判定定理即可证明结论成立；对于空间角的处理，常用空间向量的方法，属于常考题型.19.设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点.（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p=2，l1、l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线交于点A、B，l2与抛物线Γ交于点C、D，若点G满足，求点G的轨迹方程.参考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】（1）当时，代入抛物线方程，求得，可得弦长，解方程可得；（2）求得的坐标，设出过的直线为，，联立抛物线方程，若要使取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（3）求得，设，，，，，，，，，设，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程【详解】（1）由可得，可得，解得；（2）是点，关于顶点的对称点，可得，，设过的直线为，，联立抛物线方程可得，由直线和抛物线相切可得△，解得，可取，可得切线的倾斜角为，由抛物线的定义可得，而的最小值为，的最大值为；（3）由，可得，设，，，，，，，，，设，联立抛物线，可得，即有，，由两直线垂直的条件，可将换为，可得，，点满足，可得，，，即为①，②，联立①②式消元可得，则的轨迹方程为【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题20.如图，设椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，，的面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使得圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由。参考答案：（Ⅰ）设F1（-c,0），F2（c,0），其中c2=a2－b2由得，从而，故c=1从而，由DF1⊥F1F2得，因此.所以，故，b2=a2－c2=1，因此所求椭圆的标准方程为.（Ⅱ）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是两个交点，y1＞0,y2＞0,F1P1,F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知，x2=－x1，y1=y2.由（Ⅰ）知F1(-1,0)，F2(1,0)，所以，，再由F1P1⊥F2P2得，由椭圆方程得，即，解得或.当时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在.当时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线交点即为圆心C，设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1得，而，故.圆C的半径.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为.【点评】：第一问运用椭圆的几何性质求标准方程，比较简单；第二问把椭圆和圆结合起来，查考了椭圆的对称性，圆的切线与半径垂直等性质，计算出圆心坐标，计算要仔细，难度与去年相比比较平稳。21.已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，全集U＝R.(1)若A∩B＝?，求实数a的取值范围；(2)若?UBA，求实数a的取值范围．参考答案：略22.（2017?深圳一模）已知函数f（x）=（ax+1）lnx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数．（1）讨论g（x）的单调性；（2）当a＞e时，证明：g（e﹣a）＞0；（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得g（x）的单调区间；（2）由g（e﹣a）=﹣a2+ea，构造函数h（x）=﹣x2+ex，求导，当x＞e时，h′（x）＞0，函数单调递增，即可求得h（x）=﹣x2+ex＞﹣e2+ee＞0，（3）由（1）可知，函数最小值为g（）=0，故g（x）恰有两个零点x1，x2，则可判断x1，x2是函数的极大值和极小值，由函数零点的存在定理，求得函数f（x）只有一个零点．【解答】解：（1）对函数f（x），求导得g（x）=f′（x）=alnx+，g′（x）=﹣=，①当a≤0时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上为减函数；②当a＞0时，′（x）＞0，可得x＞，故g（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；（2）证明：g（e﹣a）=﹣a2+ea，设h（x）=﹣x2+ex，则h′（x）=ex﹣2x，易知当x＞e时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，h（x）=﹣x2+ex＞﹣e2+ee＞0，∴g（e﹣a）＞0；（3）由（1）可知，当a＞e时，g（x）是先减再增的函数，其最小值为g（）=aln+a=a（ln+1）＜0，而此时g（）=1+，g（e﹣a）＞0，且e﹣a＜＜，故g（x）恰有两个零点x1，x2，∵当x∈（0，x1）时，f′（x）=g（x）＞0；当x∈