2021年湖南省长沙市枫木桥中学高二数学理联考试题含解析

2021年湖南省长沙市枫木桥中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，q:m≥,则p是q的

（

）A,充分不必要条件

B，必要不充分条件

C，充分必要条件

D，既不充分也不必要条件参考答案：C略2.已知数列,3,,…,,那么9是数列的(

)A.第12项

B.第13项

C.第14项 D.第15项参考答案：C3.阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（

）A.20 B.3 C.2 D.60参考答案：A略4.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=6，a3+a5=0，则S6=（）A．6 B．5 C．3 D．0参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列和通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S6．【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a1=6，a3+a5=0，∴，解得a1=6，d=﹣2，∴S6==6×6+=6．故选：A．5.已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于P．Q两点．F为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由题意PQ=2=4，设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，利用弦长公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意PQ=2=4，设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，∴|PQ|=?2=4，∴5c2=4a2+20b2，∴e==，故选：A．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查双曲线的离心率，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；四种命题的真假关系；不等关系与不等式．【分析】先看原命题，∵若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可．【解答】解：原命题：，∵若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2，不正确，∵a＞b，∴关键是c是否为0，∴逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，∴命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题．故选B7.两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C北偏东300，B在C南偏东600，则A、B之间相距：A、akm

B、akm

C、akm

D、2akm参考答案：C略8.如图，是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．84,4.84

B．84,1.6

C．85,4

D．85,1.6参考答案：D9.对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”： 给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则； ②在中，； ③在中，若，则． 其中错误的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C略10.有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】82：数列的函数特性．【分析】由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，即可得出．【解答】解：，，，，（），，，，，…，由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算定积分（+3x）dx=． 参考答案：【考点】定积分． 【专题】计算题；转化思想；导数的概念及应用． 【分析】根据定积分的运算法则以及几何意义求定积分． 【解答】解：（+3x）dx=（dx+3xdx=+=； 故答案为：． 【点评】本题考查了定积分的计算；计算定积分有的利用微积分基本定理，有的利用几何意义． 12.给出下列命题：①函数的零点有2个②展开式的项数是6项③函数图象与轴围成的图形的面积是④若，且，则其中真命题的序号是

（写出所有正确命题的编号）。参考答案：④略13.已知偶函数的图像关于直线x=1对称，且则时，函数的解析式为

参考答案：略14.直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．参考答案：15.当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：

16.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________。参考答案：1/3

略17.若关于x的方程仅有唯一解，则实数k的取值范围是___

____

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x﹣b，求a，b的值；（2）若函数g（x）=f（x）+x2有两个极值点，且h（x）=ax﹣ex在（1，+∞）有最大值，求a的取值范围；（3）讨论方程f（x）=0解的个数，并证明你的结论．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导数，由题意可得f′（2）=1，f（2）=2﹣b，解方程可得a，b；（2）求出g（x）的导数，由题意可得x2﹣ax+1=0有两个正根，则△=a2﹣4＞0，且a＞0，解得a＞2，求得h（x）的导数，对a讨论，若2＜a≤e，若a＞e，判断h（x）的单调性，即可得到a的范围；（3）方程f（x）=0即为a=，令m（x）=（x＞0），求得导数，求出单调区间和最值，作出图象，通过图象对a讨论，即可得到解的个数．解答： 解：（1）函数f（x）=lnx﹣ax的导数f′（x）=﹣a，由函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x﹣b，可得f′（2）=1，f（2）=2﹣b，即为﹣a=1，ln2﹣2a=2﹣b，解得a=﹣，b=1﹣ln2；（2）g（x）=lnx﹣ax+x2的导数为g′（x）=﹣a+x=g（x）有两个极值点，即有x2﹣ax+1=0有两个正根，则△=a2﹣4＞0，且a＞0，解得a＞2，h（x）=ax﹣ex的导数为h′（x）=a﹣ex，若2＜a≤e，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）单调递减，无最大值；若a＞e，则当1＜x＜lna，h′（x）＞0，h（x）递增，当x＞lna时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x=lna处取得最大值h（lna），则有a＞e成立；（3）方程f（x）=0即为a=，由m（x）=（x＞0）的导数为m′（x）=，当x∈（0，e）时，m′（x）＞0，m（x）递增，当x∈（e，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）递减．即有m（x）的最大值为m（e）=，y=m（x）的图象如右．则当a＞时，y=a和y=m（x）无交点，即方程解的个数为0；当0＜a＜，y=a和y=m（x）有两个交点，即方程解的个数为2；当a≤0时，y=a和y=m（x）有一个交点，即方程解的个数为1．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．19.（本题满分10分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当

时，求实数t的取值范围．参考答案：解：（1）设所求的椭圆方程为由题意知，所以．即．··································································································································1分又因为，所以，．-----2分故椭圆的方程为．----------3分（2）由题意知直线的斜率存在，否则直线与椭圆不可能相交.设直线的方程为，，，，由消去y,整理得，.，.········································5分，.∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴.———————————————————7分∵＜即，由弦长公式得：，∴，∴，∴，∴.∴，-9分∵，∴，∴或，∴实数取值范围为

10分(注意：可设直线方程为，但需要讨论或两种情况)20.（12分）.如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．（1）求的表达式；

（2）当为何值时，取得最大值？参考答案：（1）=（2）（1），

∴PE⊥平面ABC，

即PE为四棱锥P-ACFE的高，

由高线CD及EF⊥AB得EF∥CD，

21.给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由ax2+ax+1＞0恒成立可得，可求P的范围；由a2+8a﹣20＜0解不等式可求Q的范围，然后由P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，可知P，Q为一真一假，可求【解答】（本小题满分12分）解：命题P：ax2+ax+1＞0恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a≠0时，，解得0＜a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴0≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣命题Q：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵P∨Q为真命题，P∧Q为假命题∴P，Q有且只有一个为真，﹣﹣﹣