2023年鲁、鄂部分重点高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项:

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

ー、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4=レy=lgsinx+，9ーデ）,则/（x）=cos2x+2sinx,xeん的值域为（）

2.已知复数z=（l+i）（3—i）（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.2B.2lC.4D.4;

3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）

俯视图

4.已知函数/（x）=g,g（x）=xe-*.若存在ee（O收），”マ使得〃玉）=g（M=碎＜0）成立,则エ?

xIメ丿

的最大值为（）

A./B.e

5.已知平面々和直线a,b,则下列命题正确的是（）

A.若a〃b,b//a,则。〃aB.若ス丄）,bla,贝リa〃a

C.若。〃。，わ丄a,则a丄。D.若a丄わ,b//a,则a丄タ

6.ー场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）

A乃R71「2"

A.-B.C・

333

7.设i为虚数单位,则复数z=——在复平面内对应的点位于（

1-1

A.第一象限B,第二象限C,第三象限

8.若集合A={x|sin2x=l},3={y卜=?+際,左eZ,,则（5

A.=AB.CRB^CRAC.Ap\B=0D.CRAcCRB

9.若函数，（九）=ギ+の2+3x—9在x=—3时取得极值,则。=（）

A.2B.3C.4D.5

10.已知双曲线C：—_2T=l（a>0,8>0）的右焦点为F,过原点0作斜率为;的直线交C的右支于点A,若|Q4|=|OF|,

ab'3

则双曲线的离心率为（）

A.73B.75C.2D.6+1

11.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度

相同），用回归直线¥=匹+》近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是（）

y供语成绩）

,M语文成绩）

01---------------------------------►

A.线性相关关系较强,ム的值为1.25

B.线性相关关系较强,わ的值为0.83

C.线性相关关系较强,わ的值为ー0.87

D.线性相关关系太弱,无研究价值

12.某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的

用水量（单位:m3）的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15mS的住户的户数为（）

0.10

0S16U■-20

A.10B.50C.60D.140

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.设。、”为互不重合的平面,，”,〃是互不重合的直线,给出下列四个命题:

①若，"〃",则，"〃%

②若，"ua,«ca,m///i,n//p,贝!|a〃ん

③若a〃Z?,，"Ua,nep,则,"〃"；

④若a丄p,aC\p=m,nca,，"丄"，则"丄Z?；

其中正确命题的序号为.

14.为激发学生团结协作,敢于拼搏,不言放弃的精神,某校高三5个班进行班级间的拔河比赛.每两班之间只比赛

1场,目前（一）班已赛了4场,（二）班已赛了3场,（三）班已赛了2场,（四）班已赛了1场.则目前（五）班已

经参加比赛的场次为

15.如图AABC是由3个全等的三角形与中间的ー个小等边三角形拼成的ー个大等边三角形,设のF=2A尸,

AB=A,则△£»ド的面积为.

16.（1+J7）"展开式中的系数的和大于8而小于32,则れ=.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设函数/（x）=|x+a|+|xーa,

（1）当。=1,6=2,求不等式/（x）»6的解集;

（2）已知。>0,b>0,/"（尤）的最小值为1,求证:-----+------>-.

2a+12b+l4

18.（12分）设函数ア（x）=|x+l|+|x-2a|+l.

(1)当a=l时,解不等式，(X)W6；

(2)设a<—g,且当2aWx<—1时,不等式/(x)W2x+6有解,求实数く，的取值范围.

19.(12分)已知曲线C的极坐标方程是/?=4cos6.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面

竝

x=mH---1

2

直角坐标系,直线1的参数方程是:｛la是参数).

及.

(1)若直线1与曲线C相交于A、B两点,且|A3|=ノほ,试求实数m值.

(2)设〃(xj)为曲线。上任意一点,求x+2)，的取值范围.

20.(12分)已知/(x)=|ax+2|.

(1)当a=2时,求不等式れガ>3ス的解集;

(2)若7⑴,，M,/(2)„M,证明:

21.(12分)已知数列｛ム｝满足:ルm=居2_6,〃eN*,且对任意的〃eN・都有七,<立舁,

(I)证明:对任意〃eN*,都有一34ム4上巫;

(II)证明:对任意〃eN*,都有ル用+2は2k“+2|；

(ID)证明;ム=一2.

22.(10分)数列｛4｝满足4+24+3%+…+〃ム=2---.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设或］")“％),7:为也｝的前"项和，求证:Tn<~.

参考答案

ー、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

先求出集合A=(O,3],化简/(x)=—2sin2x+2sinr+l,令sinx=r¢(0,1],得g(り=-2/+2「+1由二次函数的性

质即可得值域.

【详解】

[sinx＞0/i/ヽ/n

由(92＞〇つ〇くス＜3,得A=(0,3],〃ス)=cos2x+2sinx=-2sin2え+2sinx+l,令sinx=Z,vxe(0,3],

.".re(0,1],所以得g(り=一2尸+2/+1,g(リ在上递增,在(提"上递减,g(l)=l,gf|U1,所以

g(りG1,-,即/(X)的值域为1,-

故选A

【点睛】

本题考査了二次不等式的解法、二次函数最值的求法,换元法要注意新变量的范围,属于中档题

2.A

【解析】

对复数二进行乘法运算,并计算得到z=4+2i,从而得到虚部为2.

【详解】

因为z=(l+i)(3—i)=4+2i,所以z的虚部为2.

【点睛】

本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意『=-1.

3.A

【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.

【详解】

几何体的三视图的直观图如图所示,

则该几何体的体积为:-xlxlx2=-.

33

故选:A.

【点睛】

本题考査三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.

4.C

【解析】

由题意可知,g（x）=/（e*）,由/（xj=g（ち）=%（左＜0）可得出。"＜1,ち＜0,利用导数可得出函数y=/（x）

在区间（0,1）上单调递增,函数y=g（x）在区间（9,0）上单调递增,进而可得出玉=/2,由此可得出

二=弋=8（ち）=%,可得出立ek=k2ek,构造函数〃仏）=公ザ,利用导数求出函数ソ=人（左）在丘（f,o）

%，1%丿

上的最大值即可得解.

【详解】

...〃カ”,g（x）=セ乎=/（グ），

L

由于/（%）=一ー=ん＜°,贝リ足玉＜0=＞0＜内＜1,同理可知，x2＜0,

x\

函数y=/（x）的定义域为（0,+8）,r（x）=ニアー〉〇对ぬ€（0,1）恒成立,所以,函数y=/（x）在区间（0,1）上

单调递增,同理可知,函数y=g（x）在区间（F,o）上单调递增,

xx（Y

・・・/（xj=g（ち）=/（*），则X=*,ユ亠=ポ=8（ち）=ん,贝リとek=k2ek,

あeIホ丿

构造函数〃（左）=公ザ,其中k＜0,贝リ〃’（ん）=（ガ+2ん）ゼ=ん（ん+2）び.

当ん＜—2时,〃’（左）＞0,此时函数y=〃（攵）单调递增;当ー2〈と＜0时,〃'（ん）＜0,此时函数,y=〃（ん）单调递减.

所以,Mん）皿=シ（-2）=ズ・

故选:c.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算,涉及指对同构思想的应用,考查化归与转化思想的应用,有一定的难度.

5.C

【解析】

根据线面的位置关系,结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.

【详解】

A：当aua时,也可以满足。〃わ,b//a,故本命题不正确;

B!当aua时,也可以满足ー丄・,。丄a,故本命题不正确;

C:根据平行线的性质可知:当々〃わ,わ丄タ,时,能得到“丄a,故本命题是正确的;

D:当auc时,也可以满足3丄う,b//a,故本命题不正确.

故选:C

【点睛】

本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.

6.B

【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的ユ，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.

【详解】

因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2〃,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧

度数为ー丄x2%=ー丄だ.

63

故选:B

【点睛】

本题主要考查正负角的定义以及弧度制,属于基础题.

7.A

【解析】

利用复数的除法运算化简二,求得z对应的坐标,由此判断对应点所在象限.

【详解】

-：z=—=v7=1+/,.•.对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限•

故选:A.

【点睛】

本小题主要考査复数除法运算,考査复数对应点所在象限,属于基础题.

8.B

【解析】

根据正弦函数的性质可得集合A,由集合性质表示形式即可求得AuB,进而可知满足CR8=CRA.

【详解】

依题意,A={x|sin2尤=1}x-——卜k九,keZ

4

而B=J*y=]+なメGZj

,nInn7T.n(2n+l)zr

=<xIx=—H------,nGZgJu=——b-----------,neZ>

4242

,TCワペ兀(2〃+1)ア

=<xIx=——I-員兀,neZ取x=——F----------ノeZ>,

442

故AqB,

则C«8=CRA.

故选:B.

【点睛】

本题考査了集合关系的判断与应用,集合的包含关系与补集关系的应用,属于中档题.

9.D

【解析】

对函数求导，根据函数在x=-3时取得极值,得到了'(-3)=0,即可求出结果.

【详解】

因为y(%)=ピ+加+3x—9,所以・/''(X)=3ギ+2or+3,

又函数/(力=ピ+渡+3Xー9在ス=-3时取得极值，

所以/'(—3)=27-6a+3=0,解得a=5.

故选D

【点睛】

本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题,属于常考题型.

10.B

【解析】

x+y=c一.山-/。ル2+パボ］

以。为圆心,以|。冃为半径的圆的方程为づ+ザ=。2,联立尤2y2,可求出点厶----------，则

[/ー戸』lyCCノ

b2

—C整理计算可得离心率.

a旧3

【详解】

解:以。为圆心,以|。目为半径的圆的方程为・?+ブ=°2

x=c,2

联立,取第一象限的解得<c

%y2

.ポー戸1b

)'=一

c

b2

a&+わ-IT—C1

即A,则=

aいビ3'

整理得（9。2_5/乂c?—5a2）=0,

c25c2

则ユ=3<1（舍去），±-=5,

a29cr

:.e亠布.

a

故选:B.

【点睛】

本题考査双曲线离心率的求解,考査学生的计算能力，是中档题.

11.B

【解析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系,且斜率小于1.

【详解】

散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,

故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系,

且直线斜率小于1,故选B.

【点睛】

本题主要考查散点图的理解,侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.

12.C

【解析】

从频率分布直方图可知,用水量超过15m3的住户的频率为(0.05+001)x5=0.3,即分层抽样的50户中有0.3x50=15

户住户的用水量超过15立方米

所以小区内用水量超过!5立方米的住户户数为、x200=60,故选C

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.④

【解析】

根据直线和平面,平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

【详解】

对于①,当机〃”时，由直线与平面平行的定义和判定定理,不能得出机〃ゐ①错误;

对于②,当机ua,nc.a,且,〃〃ク,〃〃“时，由两平面平行的判定定理,不能得出a〃ク，②错误;

对于③，当a〃ん且,〃ua,时，由两平面平行的性质定理，不能得出,〃〃〃,③错误:

对于④，当a丄”,且aQff=,〃,〃ua,山丄〃时，由两平面垂直的性质定理，能够得出〃丄”,④正确;

综上知,正确命题的序号是④.

故答案为:④.

【点睛】

本题考査了直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考査学生的空间想象能力和推断能力.

14.2

【解析】

根据比赛场次,分析,画出图象,计算结果.

【详解】

画图所示,可知目前(五)班已经赛了2场.

故答案为:2

【点睛】

本题考查推理,计数原理的图形表示,意在考查数形结合分析问题的能力,属于基础题型.

15.6

【解析】

根据3个全等的三角形，得到AE=DB,设Aド=x=OB,求得AO=3x,利用余弦定理求得x,再利用三角形的

面积公式,求得三角形EL*的面积.

【详解】

由于三角形ABC是由3个全等的三角形与中间的ー个小等边三角形拼成的ー个大等边三角形,所以AF=0B.在三角

形ABD中,ZADB=180-60=120.设Aド=x=08,则AO=3%.由余弦定理得13=ぺ+9づー6ギcos120"，

解得x=l.所以三角形ド边长为2,面积为丄x2x2xsin60=6.

2

故答案为:石

【点睛】

本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质,考査了推理能力与计算能力,属于中档题.

16.4

【解析】

由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组,求得结果.

【详解】

观察式子可知

•.•8<C"+y=2"<32,.”=4，

故答案为:4.

【点睛】

该题考査的是有关二项式定理的问题,涉及到的知识点有展开式中项的系数和,属于基础题目.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(2)证明见解析

【解析】

(1)将，(%)化简,分类讨论即可;

141(14ゝ

(2)由(1)得a+わ=1,-~~-+=--~~-+——1(2。+1)+(2。+1)],展开后再利用基本不等式即可.

2。+12。+1412。+12わ+1丿

【详解】

—2尢+1,1<—1

(D当。=1时,/(x)=|x-2|+|x+l|=<3,-1<x<2,

2x-l,x>2

%<-1—1<x<2[x>2

所以人x)260或,或、1X

—2x+l>63>62x-l>6

57

解得一ツ或xN—，

22

因此不等式/(X)と6的解集的はけ4—ラ或x?]}

(2)/(x)=1X+4I+IX—人巳I(X+。)一(X—〃)1=Q+〃=1

根据(加+l)+(2b+l)=4

141(14ゝ

—!—+-------=-—^―+---------[(2。+1)+(2わ+1)]

2«+128+14(2。+12/7+1丿

1(5128+1।4(2a+l)]

4し2a+120+1)

>-(5+2>/4)=-,当且仅当。=丄め=ユ时,等式成立.

4466

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题,考查学生基本的计算能力,是一道基础题.

18.(1)[—2,31；(2)卜2,—3).

【解析】

(1)通过分类讨论去掉绝对值符号,进而解不等式组求得结果;

(2)将不等式整理为-4-3〈X,根据能成立思想可知ー。ー34%ax,由此构造不等式求得结果.

【详解】

(1)当“=1时,/(x)W6可化为|尤+1|+トー2|45,

2x-l,x>2

IJC+11+|JC一2|—"3,—1<JC<2

1—2x,x<—1

x>2f-l<x<2x<-1_

，由,，解得2<xW3；由《解得—1WXW2;由〈,へ»解得一2Wx<—1.

2x-l<53<5l-2x<5

综上所述:所以原不等式的解集为[-2,3].

(2)•/2。<xv—1,/(x)<2x+6,•-x-1+x—2Q+1〈2X+6,-a—3x,

・・・ア(%)<2x+6有解,.,.一々一3<—1,即。>一2,

又2。<—1,ci<—,

2

实数。的取值范围是1-2,-3).

【点睛】

本题考査绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题;关键是明确对于不等式能成立的问题,通过分

离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.

19.(1)m=l或m=3;(2)[2-2逐,2+2石].

【解析】

(1)将曲线。的极坐标方程タ=4cos8化为直角坐标方程,在直角坐标条件下求出曲线。的圆心坐标和半径,将直

线的参数方程化为普通方程,由勾股定理列出等式可求m的值;(2)将圆。化为参数方程形式,代入x+ダ由三角公

式化简可求其取值范围.

【详解】

(1)曲线C的极坐标方程是タ=4cos。化为直角坐标方程为:

工2+ダ2-4イ=0直线1的直角坐标方程为:y=x-m

---圆心到直线I的距离(弦心距)

圆心(2,0)到直线ざ=ブーm的距离为:巴匕叫=立=

|m-2|=l

也2

二m=1或m=3

(2)曲线C的方程可化为(1)”』,其参数方程为:皿(。为参数)

•••”(x,>)为曲线。上任意一点,x+2y=2+2けsin(6+a)

・"+2)，的取值范围是［2-2百,2+2也］

20.⑴(-a),2)⑵见证明

【解析】

(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解;

(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.

【详解】

(1)解:当a=2时,不等式/(x)<x可化为|2x+2|>3x.

当スエー1时,一2スー2>3ス,x<-j,所以スエー1；

当ス>—1时,2x+2>3x,-l<x<2.

所以不等式,f(x)>