初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)

初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)-PAGE1-方程与方程组中考考点分析方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；列方程和方程组解应用题三大类问题。本文以近几年中考中的典型试题为例对这三类问题进行分析，供同学们学习时参考。一、方程和方程组的解法（一）知识网络：（二）考点要求：1、理解方程的解、解方程及各种方程方程组的有关概念。2、掌握一元一次方程、一元二次方程、分式方程的解法，并能熟练地解以上各种方程。3、掌握二元一次方程组和二元二次方程组的解法，能熟练地解二元一次方程组和二元二次方程组。4、理解消元、降次换元解方程和方程组的思想方法，能熟练地运用它们解方程和方程组。（三）典例解析初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第1页。例1解方程：（2001年陕西省中考试题）初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第1页。解：原方程变形为方程两边都乘以，去分母并整理得，解这个方程得。经检验，是原方程的根，是原方程的增根。∴原方程的根是。说明：去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可。例2解下列方程（1）（2003年甘肃省中考试题）（2）（2003年陕西省中考试题）分析：（1）、（2）都是分式方程，可以通过去分母直接求；但通过观察发现（1）中两个分式互为倒数；（2）可以看成是关于的二次方程。所以（1）和（2）都可以用换元法求解。解（1）设，那么，原方程变形为，整理得，解这个方程得，。当时，即，去分母得，解得。当时，即，去分母得，解得。检验：把，分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根。（2）设，则原方程变形为，初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第2页。解这个方程得，，。初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第2页。当时，，解得；当时，，解得。经检验，都是原方程的根。说明：换元法是解分式方程常用的方法，使用此法要善于发现方程的特征，寻找系数之间的关系，使用换元法解题求得结果后仍需要验根。例3解方程组（1）、（2002年大连市中考题）（2）（2003年上海市中考题）分析：（1）是由一个二元二次方程和二元一次方程组成的方程组，可以由②得，并代入①消元即可。（2）是有两个二元二次方程组成的方程组，而由①可以得，这就把原方程组变为这两个方程组都是（1）的形式，与（1）方法相同，代入消元即可。解：（1）由②得，把③代入①得，整理得。解得，。将，分别代入③得，初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第3页。∴原方程组的解为初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第3页。（2）由①得，∴。它们与方程②分别组成两个方程组：解方程组可知，此方程组无解；解方程组得所以原方程组的解是说明：解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法。（四）练习：1、方程的解是（）A、1B、0C、1或0D、无解（2003年兰州市中考题）2、方程的解为_________。（2003年太原市中考题）3、二元一次方程组的解是（）A、B、C、D、（2003年南宁市中考题）4、解方程（2003年黄冈市中考题）初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第4页。5、解方程组（2003年南京市中考题）初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第4页。6、用换元法解方程（2003年北京市中考题）答案：1、C；2、x=30；3、B；4、x=-3；5、6、二、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（一）知识网络（二）考点要求1、理解一元二次根的判别式，会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。2、掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们由已知一元二次方程的一根求另一根与未知数的系数，会求与一元二次方程两个根有关的代数式的值，已知两根会利用根与系数的关系求出方程。3、会利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解有关的一元二次方程的综合题。（三）典例解析例1关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第5页。（2）是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。（2003年黑龙江省中考题）初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第5页。解：（1）由题意可知，。（2）不存在。设方程的两根是。，。。，。∴满足条件的实数k不存在。说明：（1）判断一元二次方程根的情况，须根据一元二次方程根的判别式，同时要注意对二次项系数不为零的条件不能忽略，（2）与两根有关的代数式，设法转化成有关两根和、两根积的式子即可。例2设是关于x的方程的两个根，且满足，求m的值。（2003年陕西省中考题）解：。∴对于任意实数m，方程恒有两个实数根。又。。说明：有关一元二次方程两根和、两根积的计算，需在方程有实数根的前提下方可进行。因此，不能忽略判别式大于等于零的条件。例3已知是关于x的一元二次方程的两个非零实数根，问能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。（2001年四川省中考题）解：∵关于x的一元二次方程有两个非零实数根，则有初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第6页。又是关于x的一元二次方程的两个实数根，。假设同号，则有两种可能：初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第6页。①若即此时m的取值范围是。②若即而时方程才有实数根，∴此种情况不可能。综上所述，当时，方程的两实根同号。说明：此题为“探索型”试题，这类问题需要在解题过程中探索出结论，这类问题的结论不明确，但与条件有着密切的联系，解题时需灵活思考，探索出条件可能产生的结论。（四）练习：1、下列一元方程中，没有实数根的是（）A、B、C、D、（2003年重庆市中考题）2、如果关于x的一元二此方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A、k<1B、k≠0C、k<1且k≠0D、k>1（2003北京市中考题）3、设的两根，那么的值为（）A、3B、-3C、6D、-6（2023年青海省中考题）4、已知关于x的方程。（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；（2）若是方程的两个实数根，且，求k的值。初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第7页。（2023年河南省中考题）初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第7页。答案：1、C；2、C；3、C；4、（1），，所以此方程有两个不相等的实数根；（2）k=－1。三、列方程和方程组解应用题（一）知识网络（二）考点要求1、掌握列方程和方程组解应用题的方法，能够熟练运用列方程和方程组解应用题。2、通过列方程和方程组解应用题，提高分析问题和解决问题的能力。（三）典例解析例1近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作24天可以完成，需费用120万元，若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？（2001年河南省中考题）解：（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天，y天。根据题意得解这个方程组得x=30,y=120.经检验x=30,y=120是方程组的解。初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第8页。（2）设单独完成此项工程，甲需费用m万元，乙需费用n万元，根据题意，得解这个方程组得m=135,n=60.初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第8页。答：甲单独完成此项工程需要30天，乙单独完成此项工程需要120天。甲、乙两队单独完成此项工程，分别需要费用135万元、60万元。说明：此题是工程问题，这类问题涉及到工作时间、工作效率、工作总量之间的关系，基本关系式是。在问题中，当工作总量不知道时，即只给出单位时间内完成总工作量的几分之几时，通常把总工作量看成“1”。例2某省重视治理水土流失问题，2001年治理了水土流失面积400平方公里，计划今、明两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2003年底使这三年治理的水土流失面积达到1324平方公里，求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数。（2002年北京市西城区中考题）解：设每年增长的百分数是x，根据题意得解这个方程得，（不合题意舍去）。答：每年增长的百分数是10%。说明：此题是增长率问题，要理解题意，这里给出的是三年治理水土流失面积的总和，而不是第三年治理的水土流失面积。例3某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。（2003年重庆市中考题）初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第9页。（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第9页。（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。

解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生，由题意得：解得：答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生。（2）这栋楼最多有学生4×8×45＝1440（名）拥挤时5分钟4道门能通过：＝1600（名）∵1600＞1440∴建造的4道门符合安全规定。说明：运用数学知识解决社会热点问题和实际生活中的问题，是中考命题的一大热点。解题的关键是理解题意，将实际问题转化为数学问题。（四）练习：1、在防治“SARS”的战役中，为了防止疫情扩散，某制药厂接到了生产240箱过氧乙酸消毒液的任务。生产了60箱后因为任务紧急，需要加快生产，每天比原来多生产15箱，如果6天就完成了任务，求加快速度后每天生产多少箱消毒液。（2003年河南省中考题）2、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合作6周完成，需工钱5.2万元，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱408万元。若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司，还是选乙公司？请说明理由。初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第10页。初中数学专题复习方程与方程组中考考点分析(含解答)全文共11页，当前为第10页。3、“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由抽奖折扣。某顾客买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元。问这两种商品原销售价分别为多少元？（2003年长沙市中考题）4、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。小明家到王老师家的路程为3千米，王老师家到