2023年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）及答案解析

2023年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.己知复数Z满足加=苧+如则Z2=（）

A."争B.»争C.-A争D.-1+：

2.已知集合4=卜氏20},8={用）/=1110—3},则（（：/1）。8=（）

A.(—1,0)B.(―8,0)C.(-2,-1)D.(-00,-1)

rx4-2y>1

3.已知实数％,y满足条件卜一yWl，贝收=3%-4y的最大值为()

ly-1<0

A.-7B.1C.2D.3

4.已知命题p：3x67?,/+2工+2-。＜0,若p为假命题，则实数a的取值范围为（）

A.(l,+oo)B.[1,4-00)c.(-oo/l)D.(-8,1]

5.已知sing-cos?=印9E则cos。=()

A.竽B.—竽C.|D.

6.执行下边的程序框图，如果输入的是n=l,S=0,输出

的结果为踪则判断框中“”应填入的是（）

A.n<13

B.n>12

C.n<12

D.n<11

/输出s/

(W)

7.已知变量的关系可以用模型y=kem拟合，设2="丫，其变换后得到一组数据如下曲表

可得线性回归方程z=3x+a,贝।味=（）

X12345

Z2451014

A.e~3B.e-2C.e2D.e3

8.如图，正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为2,M是面BC^Bi

内一动点，且。M1&C,则DM+MC的最小值为（）

A.V2+2

B.2V2+2

C.V2+V6

D.2

9.青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工

艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷,一只

内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为

1cm,瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落

一根质地均匀、粗细相同长度为22cm的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁.若筷子的中点离桌

面的最小距离为7cm,则该抛物线的通径长为（）

A.16B.18C.20D.22

10.在△ABC中，三内角4B,C所对的边分别是a,b,c,已知目+—三=々，a=VI当

cosAcosCcosB

B取最小值时，AABC的面积为（）

A.：B.1C.V2D.2V2

11.已知双曲线C：★一，=l（a,b>0）的左右焦点分别为Fi，F2,M双曲线C左支上一点,

且4E“尸2=30。，点Fi关于直线MF2对称的点在y轴上，则C的离心率为（）

A萼B.耳+1C.V3+1D.V3

12.设。=sin。，6=Ve-1,c=ln1则a,b,c的大小关系为（）

44

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.©+^T的展开式中，常数项是.

14.已知非零向量优百满足|五|二2|旬，且（3—35）.石=五?，则窗方的夹角为_.

15.函数/'（x）=4sin^x-\x-1|的所有零点之和为_.

16.根据祖胞原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面

所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图1所示，一个容器是半径

为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，

这两个容器的容积相等.若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同

.如图2,一个圆柱形容器的底面半径为4cm,高为lOczn,里面注入高为1cm的水，将一个半

径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为_cm.(注：V2«

1.26)

rai»2

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

己知公差不为零的等差数列｛%｝中，%+。5=8,S.a2,a5,成等比数列，记“=

1\n+l2n+3

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)求｛bn｝前n项和的最值.

18.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC—a/iCi中，ACJ■平面^ABBr=AB=1,AC=AAA=2,

。为棱的中点.

(1)求证：平面&GD；

(2)在棱BC上是否存在异于点8的一点E,使得DE与平面46。所成的角为言若存在，求出需

的值若存在，请说明理由.

19.(本小题12.0分)

现有编号为2至5号的黑色、红色卡片各一张.从这8张卡片中随机抽取三张，若抽取的三张卡

片的编号和等于10且颜色均相同，得2分；若抽取的三张卡片的编号和等于10但颜色不全相

同，得1分；若抽取的三张卡片的编号和不等于10,得0分.

Q)求随机抽取三张卡片得0分的概率；

(2)现有甲、乙两人从中各抽取三张卡片，且甲抽到了红色3号卡片和红色5号卡片，乙抽到了

黑色2号卡片，求两人的得分和X的分布列和数学期望.

20.(本小题12.0分)

如图，已知椭圆C：蚤+，=l(a>b>0)的离心率为多直线［与圆J/+、2=炉相切于

第一象限，与椭圆C相交于4B两点，与圆G：x2+y2=a?相交于M,N两点，|MN|=26.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当4OAB的面积取最大值时(0为坐标原点)，求直线［的方程.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=ex-ax2(a6/?),g(x)=x-1.

(1)若直线y=g(%)与曲线y=/(%)相切，求a的值；

(2)用6){m,n}表示九中的最小值，讨论函数/i(%)=小){/(久),。(%)}的零点个数.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系%Oy中，己知直线］的方程为企工+后y+1=0,曲线C的参数方程为

卜=£(a为参数).以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(y=tana

(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；

ill

(2)设直线y=/cx(/c>0)与曲线。相交于点4B,与直线［相交于点C,求;不的

］UD\\UCI

最大值.

23.(本小题12.0分)

己知函数/(x)=2\x-1|+|x—a|(aeR).

(1)若/(x)的最小值为1,求a的值；

(2)若/(x)<a|x|4-6恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：=3—浮3

213Vs.1V3.

一=厂[2i="一彳"

故选：C.

在匕=苧+夕两边乘以T即可求出Z，进而求出z2即可.

本题考查了复数的乘法运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：A={x\x>0},B={x\y=ln(x—：)}=[x\x-^>0]={x|—1<x<。或久>1},

(Cu^)nB=[x\x<0}n{x|-1<x<0或x>1}=(0,1).

故选：A.

求解函数定义域化简8,再由补集与交集运算得答案.

本题考查交、并、补集的混合运算，考查函数定义域的求法，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由约束条件可得可行域的区域，如图所示，

'Iy=XJ^"

T彳、^0.5

因为z=3%-4y,可转化为y='x-"z,平移直线by=-"z,

结合图像可得，当直线/过点A时，z取得最大值，

且{工解得:::即点4。。)，

所以Zmax=3x1-0=3.

故选：D.

根据题意，作出可行域，结合图像可知，当匕y=,x—经过点4时，z最大，即可得到结果.

,44

本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为命题p：3xeR,x2+2x+2-a<0,

所以->p：VxGR,x2+2%+2—a>0,

又因为p为假命题，所以「p为真命题，

即VxGR,x2+2x+2-a>。恒成立，

所以4WO,即22-4(2-a)WO,

解得a<1.

故选：D.

先由p为假命题，得出rp为真命题，即VxeR,/+2》+2-£120恒成立，由ASO,即可求出

实数a的取值范围.

本题主要考查了符合命题真假关系的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：「sin,—cos、=苧>0,且06(0,兀)，

(sincos|)2=6e

.1

:.stnun-

„2V2

cosd=——•

故选：B.

根据题意，将原式两边平方结合二倍角公式即可求得s讥仇再求出cos。.

本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：根据程序框图，输入几=1,5=0,则S=9,满足循环条件，几=2,九=2,S=本

满足循环条件，n=3,..，九=12,5=黑^,

不满足循环条件，输出结果.故4B,。错误.

故选：C.

利用程序框图的循环结构，不断循环直到满足为止.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是

基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由表格数据知或=3,z=7,即样本中心点为(3,7),

由z=3x+a,得a=7—3x3=-2,

即z=3x—2,

所以z=Iny=bik+mx=3x—2,即mk=—2,可得k=e*

故选；B.

根据样本中心点在回归方程上可得a=-2,再利用对数运算法则即可得Enk+=2,所以

k—e~2.

本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归

方程中最常考的知识点.属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：如图，连接BD,BQ,DG，易知&CJ•平面BOG，

•••DM1A1C,•••DMu平面BOG，即M在线段上，

将△BCG沿着展开，使得D，B,C,G四点共面，如图，

又因为正方体的棱长为2,故此时BQ=2V2,OM=®MC=V2,

由平面内二点间的直线距离最短得DM+MC2CD=&+历，

故选：C.

先由DM14C确定M在线段SC1上，再将ABDCi沿着BG展开，使得D,B,C,C1四点共面，由

平面内二点间的直线距离最短求解即可.

本题考查了空间中两点间距离的最值问题，属于中档题.

9.【答案】C

【解析】解：建立平面直角坐标系，如图，

设抛物线的方程为x2=2py(p>0),焦点F(0,我,

设4Q1，%),8(*2,”)，

设线段48中点为M,

•­\AB\=22,\AB\<\AF\+\BF\,y1+y2+p>22,

可得2yM+p>22,

由题意瓷碗底座高为lcm,筷子的中点离桌面的最小距离为7cm,

可知，y”的最小值为6，；♦12+p=22,p=10,

该抛物线的通径长为2P=20,

故选：C.

设出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合图形，转化求解p，然后求解抛物线的通径长.

本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题.

10.【答案】C

【解析】解：由正弦定理得鬻+襄=鬻,^anA+tanC=tanB,

tanA+tanC=—tan(A+C),即tan/+tanC=—tanA+tanC

1—tanAtanC1

vtanA+tanCH0,

tanAtanC=2,A,C为锐角，

又tanB=tanA+tanC>2>JtanAtanC=2&,仅当=tanC=四时等号成立,

二三角形内角8最小时，tanB取最小值2&，止匕时tan4=tcmC=a，

；.△4BC为等腰三角形，c=a=6,sinB=

S&ABC=\acsinB=xV3xV3x苧=V2.

故选：C.

由正弦边角关系、三角形内角性质、正切和角公式可得tam4tme=2,即4C为锐角，利用基本

不等式得B最小时tanB最小值2vL即知AABC为等腰三角形，应用三角形面积公式求面积即可.

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】解：设点Fi关于直线MF?对称的点为P,连接PB，

则42岂尸2为正三角形，；.NMF2F1=30°,

又NFIMF?=30。，二|MFJ=2c,\MF2\=2>/3c>

二由双曲线的定义知2a=2V3c-2c，

解得e=£=羡=粤，

ay/3-12

故选：A.

根据题意，由双曲线的定义结合离心率的计算公式，即可得到结果.

本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题.

12.【答案】B

【解析】解：将］用变量x替代，则a=sinx,b=ex-1,c=ln(x+1),其中％6(0,1),易证e*-1>

x>sinx,

b>a.令f(%)=sinx-In(%+1),则/'(x)=cosx-/"(%)=-sinx+；2,

H

3x0G(0,1),使得/'''(g)=0,当％6(0,/)时，/(x)>0,1(%)单调递增；当xe(xo")时,

f"(x)<0,/'(*)单调递减,

又/'(0)=0,r(1)=cosl-1>0,f\x)>0,在(0,1)上单调递增，

f(x)>/(0)=0,EPsinx>In(%+1),:.a>c,

综上，b>a>c.

故选：B.

可将;用变量％替代，从而得出Q=sinx,b=ex-1,c=ln(x+1),其中％G(0,1),可看出e"-1>

x>sinx,从而得出b>a.令/(%)=sinx-ln(x+1),则得出f'(x)=cosx—/"(%)=—sinx+

$7,可得出m&e(0,l),使得/'"(Xo)=0,再根据((0)=0,r(l)=cosl—J>0即可得出

1%十1Jz

f'(x)>0在(0,1)上恒成立，从而得出/(x)在(0,1)上单调递增，从而得出/(x)>0,进而得出a>c,

从而得出a,b,c的大小关系.

本题考查了基本初等函数的求导公式，根据导数符合判断函数单调性的方法，增函数和减函数的

定义，考查了计算能力，属于难题.

13.【答案】60

【解析】解：([+6)6的展开式中，通项公式为7^+1=Cg-26-r-%T-6'令手—6=0,求得r=4,

可得展开式中常数项为C凯22=60,

故答案为：60.

在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于0,求出r的值，即可求得常数项.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14.【答案】:

【解析】解：设向量五，方的夹角为0,

v(K-3a)-K=K—3a-K=a2>-S-|a|=2\b\>

■.\b\2—6\b\2cos6=4|h|2>即cos。=—

27r

又。G[0,n]9.%S=—,

故答案为：y.

可设为I的夹角为0,进行数量积的运算可得出13|2-6|K[2COS0=4|b|2.从而可求出cos。的值,

进而求出。的值.

本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题.

15.【答案】6

【解析】解：令/(x)=0,得4sin]x=-1|,

令。(％)=4sin]x,/i(x)-|x-1|,

27r

可知g(x)的周期r=•=4,对称轴x=i+4k,fcez,

2

且九(x)的对称轴X=1,

作出g(x)=4sin]x和/i(x)=\x-1|的图象如图所示：

显然，f(x)在(0,1)和(1,2)上各存在一个零点，

•••9(乃=45讥与工在(5,4)处的切线为刀轴，.,./Q)在(4,5)上存在零点，

同理/(x)在(-3,-2)上存在零点，所以/(x)在［-3,5］上存在6个零点，

因为g(x)和/i(x)的函数图象关于x=1对称，则八式)零点关于x=1对称，

所以/(x)的所有零点之和为6x1=6.

故答案为：6.

将零点问题转换成gQ)=4s讥凯依)=设―1|两个函数的交点问题，作图即可求出零点，且

g(x)和九。)的函数图象关于％=1对称，零点也关于x=1对称，即可求出所有零点之和.

本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】1.48

【解析】解：设铁球沉到容器底端时，水面高度为八，

由图2可知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，

由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积，

故容器内水的体积等于相应圆台的体积,

••・容器内水的体积为v次=7TX42x1=16兀,

相应圆台的体积为gX7rx42x4—1x7rx（4—/i）x（4—h）=—让?

167T=竽—（4f）%,解得九=4-V16=4-2V2«4-2x1.26=1.48cm.

33

故答案为：1.48.

利用祖晒原理，可得16兀=等-日汕，求解即可.

33

本题考查空间几何体的体积，考查转化能力，属中档题.

17.【答案】解：（1）・.・%+劭=8,.•・%+2d=4,

va2,a5,由1成等比数列，•,・磅=g,

即（%+4dy=（%+d）•（%+10d）,

化简得Qid—2d2=0,

瞰汇君0,解得｛汇；，或｛汇。4,（舍去）,

・•・Qn=2+（九—1）X1=九+1.

（2）由。„=n+1,

可知以=（一1尸+】篙-

anan+l

=（一1产1——

I）（n+l）（n+2）

=（T）Ex岛++），

设｛%｝的前几项和为％,

••Sn=（那）-0+}+G+》-…+（T）听+启+（-1严扁++）

1（-l）n+1—

=2+Tl771+2

当n为偶数时，Sn="-击，｛Sn｝单调递增，[S2<Sn<i,

当n为奇数时，Sn=1+~,｛Sn｝单调递减，.・[<SnWS],

5111

S=-1

•••｛%｝前n项和的最大值为Si-6222+24

【解析】(1)求出数列的首项与公差，然后求解通项公式即可.

(2)化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，推出数列前n项和的最值即可.

本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法，数列的应用，是中档题.

18.【答案】解：(1)证明：vACL^AA^B,ADu平面

AC1AD,

,:AC11A\C”

•••AD1AG

由己知得力B=BD=1,^ABD=p

^ADB=l，同理可得乙&DB1=£

DO

TT

••Z-ADAX=7T—(/.ADB+Z.A1DB1)=即AD1AXD,

又&DnA©=&,A1D,u平面4传1。，

AD1平面4GD,

(2)连接A%44BB1冶，AB=1,BB1=2,

•••A1AB,

•••AC，平面

.--ACLAB,AC1ABX

以4为原点，AB,AC,AB1所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系,

设加=4市,则E(1—；1,240),

・•・DE=（1—X,2A,—争，

由（1）知平面&Ci。的一个法向量为而=90,当,

1

•・・尔溷协=唇悬事21

化简得4万一32=0,解得;I=:或；I=0（舍去），

故在棱BC上存在异于点B的一点E,使得DE与平面4GD所成的角为会且患=4

【解析】（1）根据题意，分别证明4D_L&Ci，ADLA.D,结合线面垂直的判定定理即可证明；

（2）根据题意，连接4名，以4为原点，AB,AC,AB1所在的直线分别为％,y,z轴，建立空间直

角坐标系，根据空间向量的坐标运算结合线面角的求法即可得到结果.

本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力,

属于中档题.

19.【答案】解：（1）三张卡片编号和等于10有3种可能，分别为：2+3+5,3+3+4,2+4+4,

其中，三张卡片编号均不同的情况共有：M=23=8种，

有两张卡片编号相同的情况共有：限=2X2=4种，

设“随机抽取三张卡片得分为0分”为事件4

n/八《n/二、d8+4.12311

即随机抽取三张卡片得0分的概率为意；

14

（2）得分和X的可能值为0,1,2,3,4,

①若X=4,则甲乙各得2分，

即甲为2（红）+3（红）+5（红）,乙为2（黑）+3（黑）+5（黑），有1种情况,

-4）=会4

②若X=3,则甲得2分乙得1分，

即甲为2（红）+3（红）+5（红），乙为2（黑）+4（红）+4（黑）有1种情况，

11

•"（X=3）=函』

③若X=2,则甲得2分乙得0分或乙得2分甲得0分，

若甲得2分乙得0分，则甲为2（红）+3（红）+5（红），对应乙有4种情况：2（黑）+3（黑）+4（黑），2（

黑）+3（黑）+4（红），2（黑）+4（黑）+5（黑）,2（黑）+4（红）+5（黑）,

若乙得2分甲得0分，则乙为2（黑）+3（黑）+5（黑），对应甲有2种情况:3（红）+4（红）+5（红）,3（

红）+4（黑）+5（红），

'Pn(/Xv=”2)=瑞4+2=正6=彳1

④若X=l,则乙得1分甲得0分，

即乙为2（黑）+4（红）+4（黑），对应甲有2种情况：3（红）+3（黑）+5（红），3（红）+5（黑）+5（红）,

..221

=瑞=%二元;

⑤若x=o,则甲和乙均得o分,

n/u八、〃11112

・・・得分和X的分布列为:

X01234

21111

P

31553030

【解析】（1）先研究三张卡片编号和等于10的情况，然后根据对立事件之间的概率关系得出所求概

率；

（2）得分和X的可能值为0,1,2,3,4.①若X=4,则甲乙各得2分；②若X=3,则甲得2分乙

得1分；③若X=2,则甲得2分乙得0分或乙得2分甲得0分；④若X=l,则乙得1分甲得0分；⑤

若X=0,则甲和乙均得0分.根据以上分析求出对应概率，进而得到X的分布列及数学期望.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

20.【答案】解：⑴依题意得|MN|=2Va2-b2=2次，［a2-b2=3,

又a?=炉+二c?=3,c=V3>

e=?=^二。=2,b=l,

2

，椭圆C的标准方程为a+y2=i；

依题意可设直线/的方程为

(2)y=fcc+m(k<0,7n>0),B(x2,y2),

=i即血？=1+k2,

•••直线，与圆C相切,Jl+k2

-

fcx+m,

联立方程组•+消去y整理得(1+4fc2)x2+8kmx+4m2—4=0,

y2=1,

,3km4m2-4

'/=一百'与不=

222

•••S〉OAB=IX1x\AB\=1V1+fc|%i-x2\=1V1+k-J(%1+%2)2-4%1孙=^V14-k-

22

E8kmy2~A~4m2_4_2Jl+k'J—二+1+47_2^3k(l+k)

1+4/)1+4/-l+4k2-1+4/c2

2

••-3k2+(1+fc)>2j3k2(1+H),...0<2执2(i+/)<],即0<SWAB<1；

1+4/c2一

当且仅当3k2=i+卜2即卜=一争寸取等号，此时巾==苧，

二直线，的方程为y=—亨％+B，即x+&y-百=0.

【解析】(1)根据|MN|=27a2一b2和离心率的定义求出a、b,即可求解；

(2)设直线[的方程为y=A%+m(kV0,m>0),A(xlty^,B(x2,y2)，根据直线与圆的位置关系

可得？712=1+々2.将直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示与+不、/％2,结合弦长公式化

简计算可得“048=2j3k2(1：必),由基本不等式计算可得0<SAOAB<1,当且仅当k=-苧时取

等号-，求出m即可求解.

本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的运算求解能

力，属于中档题.

21.【答案】解:(1)设切点为(沏40),

v/(%)=ex-ax2,••/'(%)=ex-2a%,得/'Qo)=ex0-2ax0,

•・•直线y=g(x)与曲线y=/(%)相切,

XQ

(e-2axQ=1

x得(e*。+l)(x0-2)=0,x0=2,

le°-axl=x0—1

e2-l

Aa=~~4~

(2)当％G(-8,1)时，g(x)<0,h(x)=min(f(x)fg(x))<g(x)<0,・・・左(%)在(-8,1)上无零点;

当％=1时，a(l)=0,f(l)=e—a.

若aWe,/(l)>0,此时/i(x)=g(l)=0,%=1是M>)的一个零点,

若a>e9/(l)<0,此时九。)=/(l)<0,%=1不是九(%)的零点；

当口W(l,+8)时,g(x)>0,此时左(%)的零点即为/(%)的零点.

令/(%)=e"-a/=o,得。=■，令乎(%)=,，则口口)=("：?，,

当1VXV2时，^(%)<0,9(%)在(1,2)上单调递减;

当%>2时，"(%)>0,伊(%)在(2,+8)上单调递增，且当％->+8时，9(X)->+8,

2

若Q<0(2),即av?时，f(%)在(1,+8)上无零点，即h(x)在(1,+8)上无零点；

2

若a=9(2),即a=—时，/(乃在(1,+8)上有一个零点，即九(%)在(1,+8)上有一个零点；

若火2)<a<,⑴，即3<a<e时，/'㈤在(1,+8)上有两个零点，即九㈤在(1,+8)上有两个零

点；

若a20(1),即QNe时，f(%)在(1,+8)上有一个零点,即九(%)在(1,+8)上有一个零点.

综上所述，当a<9或a>e时，h(x)在R上有唯一零点；

当a=梳或a=e时，h(x)在R上有两个零点；

当3<a<e时，h(x)在R上有三个零点.

【解析】(1)设切点为(g，%)，由题意列关于a与g的方程组，求解得答案；

(2)当%G(-co,1)时,h(x)=m讥{/(%),g(%)}<g(x)<0,九(x)在(-8,1)上无零点；当％=1时,

g(l)=0,/(I)=e-a,然后根据a与e的大小分析；当工€(1,+8)时，g(x)>0,此时/i(x)的零

点即为“X)的零点.令/。)=1一aM=0,得a=0令0。)=利用导数求最值，再对a分

类分析得答案

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值,考查分类讨论思想，

属难题.

22.【答案】解：⑴由极坐标与直角坐标的关系：O需，代入缶+何+1=0,

11

可得V^pcosO+V2Psin9+1=0,即有P=一衣记而丽=-2sin(6+9；

曲线C的参数方程为卜=■(a为参数)，可得/_2=_>一斗=呼=1，

(y=tanacoszacoszacosza

即曲线C的普通方程为/-y2=1；

(2)解法一：直线y=kx(k>0)的极坐标方程为。=a(0<a</

设力(Pi，a),则B(p2,7r+a),C(p3，a)(0<a<勺，

由/一y2=i,极坐标与直角坐标的关系：匕二？鬻

U=psin(7

可得曲线C的极坐标方程为p2=

COS"

所以pg滋=毒，

则自+添引+专

又P3=荻磊丽，即有备=A2(s讥a+cosa)2=2+2s讥2a,

所以一H——H——=2+2cos2a+2s讥2a=2+2V2sin(2a+?),

/|0川2|0即2|OC『'4八

则++卷+记》的最大值为2+2V2.

fx2=

解法二：联立方程组『2=