教程高数课件

定理设(1当xfia时,函数fx)及Fx)都趋于零(2)a点的某领域内(a本身可以除外),f及Fx)都存在且Fx)(3)limfx)存在(或为无穷大xfiaF(那末limfx)limfx)xfiaF( xfiaF(定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再当xfi

时未定式,以及xfiaxfi¥时未定式该法则仍然成立0¥ 0¥:证由limfx)与函数fxFx)在a:xfiaF(又有limfx)＝0＝limF(xfi xfi

f(x)=f(

x„ F(x)

F( x„, x= x= f(x)=f1(x)-f1(a)=f1'(x)=fx

Fx当xfia时,xfi

Qlimf(x)= \limfx)=xfiaF(\limf(x)=limfx)=

xfiaFxxfiaF( xfiaFx

例1xfi

tanxx

(00解原式

(tan

=

sec2==例2

xfi3

(-3x+2

xfi.

！(0！xfi1解原式

- -x+3x2-2

= 6

=3xfi13

-2x-

xfi16x- 例3求limlnx (¥xfi+¥xn 1原式=limn'=lim =1lim1 xfi+¥n例4求limlnsinaxxfi0lnsin

xfi+¥nxn- nxfi+¥xn(¥¥解原式limacosaxsinbxlimcosaxaxsinbxxfi0bcosbxsin

xfi0cosbxbxsin例5limtanxxfiptan32 sec2

(¥¥ cos23原式= = xfip 3 3xfip =1lim-6cos3xsin3x=limsin63xfi2

-2cosxsin

xfipsin22=lim6cos6x=xfip2cos22 例6求limtanxxxfi

x2tantanx-

sec2x- 原式=xfi x3

=xfi

3x2=

2sec2xtan 1

tanx=1=xfi 6 3xfi =0¥,¥¥,001¥,¥0 的类型(0),(¥) 10¥ 0¥ ¥,¥

0¥010例7求limx-2ex (0¥xfix原式=limx

=lim

xxfi+¥2x

2¥¥步骤:¥¥1100 0例8求

-1

(¥-¥xfi

sin 解原式limxsin

=limx-sinxfi

xsin

xfi x=xfi

-cos2

=xfi

sinx

=

0ln1¥

¥

0¥.¥0

ln¥例9求limxx (00xfi

limln解lim

xln

xln=exfi

xfi0+ xfi0+lim xfi0+-=

= =

求limx1-x (1¥xfi 1解原式lime1xfi

ln1

limln=exfi11-

lim=exfi1-

lim(cotx)lnxxfi

(¥0 ln(cotx(cotx)ln

=eln - Q ln(cotx)=

cot sin2xfi0+ln= -

xfi x

0或¥型未定式使用 e -cos2例12求 2xfi exe错解:xfi

-cosxx2

=xfi

ex＋sin2

e=xfi

+cosx=1没注意到xfi

ex＋sinx

洛 原式xfi

ex＋sin2

=¥故每次使 法则之前都应检查是否为未定型。2 只有limf'(x)存在或¥，才

f(x)＝

fxxfi

F'(x

xfi

F(x

xfi

F'(x若limf'(x)不存 ¥时，并不代

fx)xfi

F'(x

xfi

F(x

求limxcosxxfi 解原式lim1sinxlim(1sinxfi

xfi原式lim(11cosx)xfi 法则是求极限的补充，并不是所有未定式的极限 法则求解，还需与其他方法结合，使导函数2e例：求limxeexfi2解：若limxex＝lim

＝lim

2- -

2xfi xfi x

xfi

xfi

案：lim ＝lim

2＝lim

1xfi12sinx+x2

xfi¥e xfi¥2xe例：求lim xfi0cos (31-x-

解：原式＝

2sinx+x2cosx

＝- lim2sinx+xcos1-xfi0cos

xfi

1-x3

xfi0 x例：求

tg2x-xxfi

解：原式＝xfi

tg2x-xx

xfi

tgxxx

tgxtgxxfi＝2

xc2x-

＝2

tg2x＝xfi

3x

xfi

3x :对于数列的极限，

n为离散变量，不能对 n求导，则。可将n换成x，再考虑例：求limnparctannfi 解：先求limxparctanxxfi

(p-arctanx

-1(2 =lim

= 1+

= =xfi x

xfi -x

xfi+¥1+x故limnparctannfi 0001¥¥0¥¥

令yf0 0f-g=1g-1 1g1 ¥

0¥ g=11（34f( f(设 是不定型极限，如 的极g( g(f(

g(

例f(x)=x+sin g(x)=limfx)lim1cos

xfi¥g( xfi limfx)limxsinx1xfi¥g(

xfi

1

类型的未定式的极限外，也可通过变换解决 xfi xfi0lntan2 lnsin

1、

xxfip(p-2x)2

xfi+¥arctan

-1xfi

sin

xfi