星形线与力学

星形线与力学谢建华（西南交通大学应用力学与工程系，成都，610031）摘要：星形线的几何性质用运动学的方法证明比较直观，这些性质在力学和日常生活中有非常有趣的应用。关键词：星形线；几何；运动学；应用1.星形线如图1,一个小圆J在一个固定的大圆K内部作纯滚动，如果大圆半径是小圆半径的四倍，那么小圆圆周上任一点M的轨迹称为星形线M[2]。KM'一图1星形线E49AoHKM'一图1星形线E49AoH讣「'9MB图2星形线的性质设开始时，M点与大圆的A点相重合，由于弧长AD等于弧长DM，及r/R二1/4,有TOC\o"1-5"\h\zZDO'M=4ZHOB=49,ZDHB=29 （1）建立直角坐标系Oxy，M点的坐标为：x=oo'cos9+oMcos39,y=oo'sin9一o'Msin39,或\o"CurrentDocument"1 3 1x=Rcos9+—Rcos39,y=Rsin9一一Rsin39\o"CurrentDocument"4 4 4利用三角公式，上式简化为：(2)x二RCOS30,y二Rsin30(2)在(2)中消去0，得x2/3+y2/3二R2/3 (3)(2)和(3)即为星形线的方程。如图2,作大圆半径OHD，其中D是两圆的接触点，HD是小圆的直径。过M与H点作直线，分别交x轴和y轴于B点和E点。由(1)可知兀ZHBO二ZHOB二0 ZHOE二ZHEO二一02所以AHOB与AEHO都是等腰三角形，故有EB=EH+HB=2OH=R (4)及p=OB=Rcos0,q=OE=Rsin0 (5)由于D点是小圆的速度瞬心，其上M点的速度垂直于DM，即指向H点，于是BE是星形线的切线。我们得到如下结论：(A)星形线任一切线被x轴和y轴所截长度为R的线段，切线方程为(6)X+(6)Rcos0Rsin0(B)如长度为R的线段两端点分别限制在两相互垂直的直线上移动，其包络线是星形线。随意平衡问题在一堵光滑铅直的墙面与光滑曲面S之间搁置一根长度为21的均匀杆，光滑曲面S应为什么形状，使杆在任何位置都能平衡？[3]因为杆在任一位置可保持平衡其重心高度为一常值，即重心C在同一水平线上，另外杆的端点A始终在铅直线上，因此S应为星形线，如果坐标系如图3所示，则其方程为：(7)x2/3+y2/3=l2/3(7)图3随意平衡问题3.通过问题如图4所示，有一直角过道两边各宽a和b，问能容许多长的梯子通过?图3随意平衡问题3.通过问题如图4所示，有一直角过道两边各宽a和b，问能容许多长的梯子通过?图4通过问题解法一：梯子AB如图放置时其长度为L=L(申)=ab+

sin申cos申(8)(9)(10)显然容许通过梯子的长度应小于上述函数的最小值，令dL_-acos申bsin申_od申 sin2申cos2申解出-(a)1/3tan申——Ib丿._ a1/3 _ b1/3sin申— ，cos申—(a2/3+b2/3)1/2 (a2/3+b2/3)1/2容易计算出：TOC\o"1-5"\h\zd2L 3(bsin卩+acos卩) 小=>0(11)dp2 sinpcosp故L 二L(p)二(a2/3+b2/3)3/2 (12)max解法二：星形线方程为F(x,y)二x2/3+y2/3—L2/3二0 (13)墙角的坐标为(x。％)=(a，b)恰好在星形线(7)上，由此条件得到L=L(p)=(a2/3+b2/3)3/2max这时梯子的斜率为如果搬动一张桌子通过一墙角，如果桌子的宽为d，如图5(a)所示，那么桌子的长度最大不能超过多少？我们考虑星形线(13)的一个重要性质。令x，=ax,y，=ay,L，=aL (15)方程(13)是不变的，即星形线簇(13)中的曲线(L为参数)是关于坐标原点仿射对称的。如果

r是过坐标原点的射线，与(13)中两条不同的星形线分别交于点1和点2，那么这两条的星

形线在点1和点2的切线是平行的，并保持不变的距离。根据这些性质，就可以利用前述关于梯子最大长度的结果来导出桌子的最大长度。具体做法：设厶 和p分别由(12)和(14)确max定，过角点(a,b)作一条斜角为p直线H，然后作H的平行线H，两者距离为d。H2211被x轴和y轴所截线段的长度即为桌子的最大长度。不难算出

L' =L-dcot©—dtan©(15)max max(15)=(a2/3+b2/3)(a2/3+b2/3-d(ab)-1/3)特别地，如果a=b=h，那么L=2(\.2h-d) (16)max这与［4］中结果是相同的。4.公共汽车门开启问题：yyEaCMNaaaSBeexxoQP(a)(b)yyEaCMNaaaSBeexxoQP(a)(b)40S2ac图5公共汽车门开启问题(a)开启时间问题图5(a)所示的是公共汽车的折叠式门(俯视)，我们来比较其与传统的门6(c)开启时间的快慢问题。设折叠式门的每扇门宽为a，质量m；而传统的门宽为2a，质量为m。两种门上作用同样的常力矩M。对叠式门，c点坐标为：31x=acose,y=asine 仃4)c2 c2 '丿叠式门系统的动能：

11 11 11T=(ma2)02+(ma2)02+m11 11 11T=(ma2)02+(ma2)02+m(X2+y2)=ma2(1+3sin20)0223 212 2 cc3由动能定理：1ma23由(16)(1+3sin20)02=M0T1=气3Mcc(15)(16):m/2 +3sin20d00(17)传统的门图5(c),门的动能为:11 4T=2[3(2m)(2a)2]02=3ma202(18)动能定理4ma2O2=M03(19)由(19)(20)由(17)JmL/2,i1+3sin20 imL/2l~4讥.im兀=T'V6M2(21)T1=气丽」；L心J0d0=4a—=T'V6M2(21)所以叠式门完全开启的时间要比传统的门要少。设参数为：a=0.8m,M=250Nm,m=20kg。计算得:沁0.65s「=4x0.8j!°Hl卫沁0.65s\6M 6x250(b)开启所占空间问题我们来讨论公共汽车们开启过程所占空间问题⑷。如图5(a)，在折叠门在开门过程中,直线簇BE的包络线是星形线，其方程为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x=2acos30,y=2asin30 (21)由直线簇形成包络线的过程，可知门在空间所占的位置如图中曲线CNP，x轴和y轴正向所包围的区域(图5(b))，其中NP星形线的一段(0<0<k/4)，N点的坐标为\o"CurrentDocument"■<2 <2、 c(a a)。将S分成S，S和S，其中的面积为：2 2 1 2 31——na28—f2-ydx=f0■2 兀a242asin39(6acos9)2(-sin9)d0—12a2fonsin49cos29d9—3na216S—S+S+S1235S—S+S+S1235—na216——na2+a2+ a2—a28 4 16 4如果用普通的门(图5(c)),则1S，—n(2a)2—na24S /S，-—16折叠门所需的空间只是普通门的0.312倍［4］。参考文献V.C.Boltyanskii.Envelopes.PergamonPress,1964施坦豪斯。数学万花筒。湖南教育出版社，1999H.L.Lamb.Statics.1912朱志平。星形线的性质在两个极值问题中的应用。邯郸师专学报(综合版)，