2022-2023学年福建省福州市福清侨中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年福建省福州市福清侨中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略2.已知命题p：“x∈[1,2]，x2－a≥0”,命题q：“x∈R，x2+2ax+2－a=0”,若命题“pq”是真命题,则实数a的取值范围是(

)A.

(－∞,－2]∪{1}

B.(－∞,－2]∪[1,2]

C.

[1,+∞)

D.[－2,1]参考答案：A3.设命题p：?x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1．命题q：若m＞1，则方程x2+my2=1表示焦点在x轴上的椭圆．那么，下列命题为真命题的是（）A．￢q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q）参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假的关系进行判断即可．【解答】解：当x0=时，lnx0=﹣1即：?x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1，故命题p是真命题，方程x2+my2=1的标准方程为x2+=1，当m＞1，则0＜＜1，则方程表示焦点在x轴上的椭圆，故命题q是真命题，则p∧q为真命题，故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．4.中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体ABCD为一个鳖擩，已知AB⊥平面BCD，，若该鳖擩的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（

）A．6π

B．7π

C.8π

D．9π参考答案：B5.（5分）（2015?文登市二模）设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A． B． C．y=sin2x D．参考答案：C【考点】简单线性规划；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，∵m＞0，∴平移直线，则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即B（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．6.若条件则为的（）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件参考答案：A7.已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的弦AB过点（1，1），则AB的最短长度为（）A．1 B．2 C． D．参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】把圆方程化为标准方程，找出圆心M坐标与半径r，当MC⊥AB时，AB的长最短，如图所示，连接AM，根据M与C坐标求出直线MC的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，进而确定出直线AB的解析式，与圆方程联立求出A与B的坐标，进而求出AB的长，即为最短长度．【解答】解：将圆方程化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，即圆心M（2，2），半径r=2，当MC⊥AB时，AB的长最短，如图所示，连接AM，∵C（1，1），M（2，2），即直线CM斜率为=1，∴直线AB斜率为﹣1，∴直线AB方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0，与圆方程联立得：，解得：或，即A（0，2），B（2，0），∴AB==2，故选：D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，直线的斜率，两直线垂直时斜率满足的关系，勾股定理，以及直线圆相交的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．9.已知两条曲线与在点处的切线平行，则的值为（

）

（A）0

(B)

(C)0或

(D)

0或1参考答案：C略10.如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4参考答案：C【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】利用平均数和方差的公式分别计算即可．【解答】解：去掉一个最高分93和一个最低分79后的数据为84，84，86，84，87，共5个数据．所以平均数为．方差为．故选C．【点评】本题主要考查茎叶图是应用以及平均数和方差的公式，要求熟练掌握相应的公式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为______．参考答案：【分析】根据拐点的定义，令，解得，则，由拐点的性质可得结果.【详解】∵函数，∴，∴．令，解得，且，所以函数对称中心为，故答案为．【点睛】本题主要考查导数的运算，以及新定义问题，属于中档题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.12.棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为

参考答案：13.设函数，对任意成立，则的大小关系是

参考答案：14.过椭圆＋=1的焦点F1作直线l交椭圆于A、B两点，F2是此椭圆的另一个焦点，则△ABF2的周长为

▲

。参考答案：24略15.从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是______________．参考答案：略16.已知数列{an}的前n项和,则an=__________.参考答案：

17.复数（i为虚数单位）的虚部为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等比数列的公比，是和的一个等比中项，和的等差中项为，若数列满足（）．（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．参考答案：解：（Ⅰ）因为是和的一个等比中项，所以．由题意可得因为，所以．解得所以．故数列的通项公式．（Ⅱ）由于（），所以．

．

①．

②①-②得．所以略19.在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点O，过点，其焦点F在x轴上．（1）求抛物线C的标准方程；（2）斜率为1且与点F的距离为的直线与x轴交于点M，且点M的横坐标大于1，求点M的坐标；（3）是否存在过点M的直线l，使l与C交于P、Q两点，且．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案：（1）设的方程为

-------------------1分则

-------------------2分的方程为

------------------3分（2）点的坐标为

------------------4分设的方程为

------------------5分则

-----------------6分与轴的交点为，又>点的坐标为

-----------------7分（3）设的方程为，，Q

---------------8分由得，

----------------10分要，则要，即不成立不存在满足条件的直线.

----------------12分20.（本小题满分12分）设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小;（2）若,求的周长的取值范围.参考答案：(Ⅰ)由得

…………1分又

…………3分又 …………4分(Ⅱ)由正弦定理得:,…………8分,…………10分

故的周长的取值范围为.…………12分21.在三棱柱中，侧面,已知（1）求证：平面（2）试在棱（不包含端点）上确定一点的位置，使得（3）在（2）的条件下，若,求二面角的平面角的正弦值。参考答案：证明：（1）∵BC=1

BB1=2

∠BCC1=60o∴BC12=1+4-2·1·2cos60o=3∴BC1=∴BC2+BC12=CC12∴C1B⊥BC∵AB⊥而BB1C1CABBC1BC1⊥而ABC（2）∵AB⊥而BCC1B1BC1⊥BC建立如图所示空间直角坐标系∴B（0，0，0），C（1，0，0），C1（0，，0），B1（-1，，0），A（0，0，z）设E（a，b，0）∴∴（a-1，b，0）=（-1，，0）∴E（1-，，0）∴∴（-1，-，z）·（-2+，-，0）∴（1+）（2+）+（-）（-）=02-3+2+32-=042-6+2=0=1（舍）或=∴∴E是CC1中点（3）设面AEB1的法向量A1（-1，，），A（0，0，），E（）∴

∴∴设面A1B1E的法向量

∴∴∴∴22.已知函数f（x）=，若数列{an}（n∈N*）满足：a1=1，an+1=f（an）（1）证明数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设数列{cn}满足：cn=，求数列{cn}的前n项的和Sn．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）an+1=f（an）=，两边取倒数可得；﹣=2，即可证明．（2）cn==（2n﹣1）?3n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵an+1=f（an）=，两边取倒数可得；=+2，即﹣=2，∴数列为等差数列，首项为1，公差为2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴an=．（2）解：