2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解

2022学年静安区高三第一学期期末数学学科练习卷考生注意：1.试卷共4页，另有答题纸2页．2.所有作答必须在答题纸上与试卷题号对应的区域完成，不得错位，在试卷或者草稿纸上作答一律无效．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果．π4ytan3x的定义域是____________．1.函数12iazaii（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是__________a2.已知复数．x2y302xmy1003.若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．4.16-17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）．P1P5P10P2551.5P50P75P90P95P9980.495.5756男40.145.147.956.763.772.4女38.341.243.146.550.555.361.165.4.表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158-）2010小王同学今年17岁，她的体重50kg，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有________女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）万fxecosxex22fxfx5.已知函数6.现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是__________7.有一种空心钢球，质量为140.2g，测得球的外直径等于5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为____________．，则函数的导数．__________cm．（钢的密度是7.9g/cm3，结果保留一位小数）．ABABB、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是A8.____________．（填写所有成立的等式序号）PABPAPB①PABPAPB②PAB1PA1PB③PABPAPB④9.2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、

路线垃圾回收组4个组，每组至少分配R，集合1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）1Mx|21622562xx|log(x4)x1，N=MN10.已知全集为实数集11.在空间直角坐标系=____________．5，则P7,4,6关于坐标平面OxyzxOyP在第_______卦限；若点Q中，点的对称点的坐标8,1,5，则向量PPPQ为与向量夹角的余弦值是____________．32fxax-3x+2fx只有一个零点xa的取值范围为12.已知函数，若函数，则实数________.0二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑．aaa48a3aa，，则13.已知数列A.120n是等差数列，（）1153813B.96C.72D.48x24yxy3，则（214.若实数xy满足,）成立．xy1x4y4B.22A.x2y2D.x2y2.C.n的二项展开式中，325rC3xn称为二项展开式的第3xx15.在r1项，其中r=0，1，2，3，……，n．下rnr3n3xx列关于n3的命题中，不正确的一项是（2）14C3x．A.若n8，则二项展开式中系数最大的项是26383453n9，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x的取值范围是B.已知x0，若0x．C3的常数项是44．x的幂指数是负数的项一共有C.若D.若n10，则二项展开式中10n27，则二项展开式中12项．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古16.“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（5尺，高为8尺，问它的体积是多少？别为7尺和平方尺.）

142140138128D.A.B.C.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．1a满足：aa1a4a5ann成立．17.已知数列，，，对一切正整数n12n12n2aa}是等比数列；n（1）证明：数列（2）求数列{n1an的前项之和．nm(3sinx,cosx),n(cosx,3)，函数3yf(x)mn218.平面向量（1）求函数.2y=f(x)的最小正周期；x[0,]（2）若，求y=f(x)的值域；2ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(B)3a2,b7，求△，ABC的面积（3）在△.AB4AD2，E是CD的中点，，VADE19.如图所示，在矩形向上折起，使ABCD中，P点，且O为AE的中点，以AE为折痕将D点折到PCPB．（1）求证：PO面ABCE；（2）求AC与面PAB所成角的正弦值．x2y23，它的上顶点为3Fc,0，Γ：1ab0）的离心率为（20.已知椭圆A，左、右焦点分别为ab221Fc,0（常数AFΓ于点CO为坐标原点．．c0），直线AF，1分别交椭圆，B22（1）求证：直线（2）如图，设椭圆BO平分线段AC；mma），过P的动直线（Γ外一点P在直线BO上，点P横坐标为常数的Γ交于两l与椭圆MPMQPNQN2mx2my6c0上．2N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q在直线个不同点M、

22f(x)＝－2alnx－，g(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，其中a∈R.21.已知函数xx2是函数f(x)的驻点，（1）若x＝求实数a的值；（2）当a>0时，求函数g(x)的单调区间；1e]（e为自然对数的底），使得不等式f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围．（3）若存在x[，e2

2022学年静安区高三第一学期期末数学学科练习卷考生注意：1.试卷共4页，另有答题纸2页．2.所有作答必须在答题纸上与试卷题号对应的区域完成，不得错位，在试卷或者草稿纸上作答一律无效．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果．π4ytan3x的定义域是____________．1.函数πkπ【答案】xx，kZ43ππ【分析】由3xkπ，kZ可得答案.42ππ【详解】3xkπ，kZ，则x，kZ.4243πkππkπ故答案为：xx，kZ4312iaz2.已知复数ai（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是__________．ai2,2【答案】【分析】先由复数的除法运算计算出z，再由复数的几何意义得出相应点的坐标，列方程组求解即可.a2a1i2ia212iaai12aizai23a2a12i【详解】，a1a122aiaia123a2a12,a1a1z∴复数在复平面内对应的点为，223a2a12,由已知，a1a1在第二象限，223a0a12∴2a2.，解得2a120a122,a综上所述，实数的取值范围是2.

2,.故答案为：2x2y30与直线2xmy100平行，则这两条直线间的距离是____________．3.若直线【答案】225##555m【分析】由两直线平行，可求得的值，再利用平行线间距离公式求解.x2y30与直线2xmy100平行，m220m4，【详解】由直线可知，即2x4y100，故直线为直线x2y30变形得2x4y60，6102552d故，24225.5故答案为：4.16-岁17未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）．P1P5P10P25P50P75P90P95P99男女40.145.147.951.556.763.772.480.495.538.341.243.146.550.555.361.165.475.6表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158-）2010小王同学今年17岁，她的体重50kg，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有________万女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）2.1【答案】50百分位数，由百分位数的定义计算可得答案.【分析】根据题意，由图表可知，该城市女性同龄人高于小王的【详解】根据题意，小王同学今年17岁，她的体重50kg，50，由图表可知，小王体重的百分位数是所以体重一定高于她的体重的人数有504.22.1(万)1002.1故答案为：____________2fxecosxe2，则函数fxfx5.已知函数x的导数．ecos2x2esin2xxx【答案】【分析】根据求导公式和四则运算法则计算即可.fxexxexcos22sin2.x【详解】ecos2x2esin2x.故答案为：xx6.现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是__________．

3【答案】0.3##10【分析】根据古典概型，先求出样本空间，再求出条件空间即可.3,5,7,3,7,9,5,7,93种，CC10种，符合条件有3525【详解】从5根木棍中任取3个共有310；P能搭成一个三角形的概率3.故答案为：107.有一种空心钢球，质量为140.2g，测得球的外直径等于5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为__________cm．（钢的密度是7.9g/cm，结果保留一位小数）．3【答案】4.52rr，表示空心钢球的体积，由条件列方程求即可.【分析】设空心钢球的内直径为4543ππrcm33，2cmr，则空心钢球的体积为【详解】设空心钢球的内直径为323因为空心钢球的质量为140.2g，钢的密度是7.9g/cm，345435140.233，ππr7.9140.2r3，所以3所以32327.94π解得r2.25，所以2r4.5，4.5.故答案为：8.AB、分别是事件A、的对立事件，如果A、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是BB____________．（填写所有成立的等式序号）PABPAPB①②③④PABPAPBPAB1PA1PBPABPAPB【答案】②③【分析】根据事件的独立性定义判断即可.PABPAPBPAB，故①不一定成立；【详解】①PABPAPB义可得与，与相互独立，所以，AAB②③由事件的独立性定BPABPAPB1PA1PB，故②③正确；PABPAPBPAB，故④不一定成立.④故答案为：②③.9.2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、

路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）【答案】240【分析】先将5名志愿者分成四组，然后再分配到四个地方即可.【详解】将5名志愿者分成四组，且每组至少1名志愿者有2C种情况，所以不同的分配方法有CA24024.545故答案为：240.110.已知全集为实数集R，集合，则MN=__________．2Mx|2256x|log(x4)1x52x，N=16,25,【答案】MN【分析】根据指数函数和对数函数的单调性解不等式得到M，，，然后求交集即可.1【详解】不等式162x25622242x82x4，解得，所以2可整理为，所以42x8Mx2x4Mxx2x4，或，不等式logx4x1logx4xlog522可整理为，所以x4x5x5x10x12，即，解得或555x5Nxx1MN,25,x5或，，所以.故答案为：,25,.P7,4,6Oxyz11.在空间直角坐标系中，点xOy关于坐标平面的对称点在第_______PQ卦限；若点的坐标为，则向量PQ与向量夹角的余弦值是____________．8,1,5PP3【答案】①.五②.9P的坐标，根据卦限在空间中的位置可以得出结果；【分析】根据坐标平面对称先求出利用空间坐标直接求出夹角的余弦值即可得出答案.P7,4,6xOyP(7,4,6)P为，根据卦限在空间中的位置，所以点在第五卦【详解】点关于坐标平面的对称点限.cos,PQPPPQ(1,5,1)PP(0,0,12)，所以123由已知可得，271293故答案为：五；912.已知函数fxax-3x+2fxa只有一个零点，则实数x的取值范围为________.32，若函数0,22,【答案】aa0a00【分析】对分类讨论：，和a<，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解.【详解】函数fxax-3x+2fx3ax-6x.322的导函数为6fx0xfx时，令，解得：，所以函数有两个零点，不符合题意.3a0当

fx的极大值小于fx的极小值大于fx只有一个零点a0时，要使函数x，只需0或0.当令02或a2fx3ax-6x0，解得：x0x0.列表：x22a2a,00,,0afx+0-0+fx单增极大值单减极小值单增3f0a0-30+20不符合题意.2所以极大值所以极小值222-a4+22032fa3a2；，解得：aaa2fx只有一个零点fx极大值小于fx的极小值大于0当a<时，要使函数x，只需0或0.0.2x0x或a2fx3ax-6x0，解得：0令.列表：x22a2a0,,,00afx-0+0-fx单减极小值单增极大值单减3f0a0-30+20不符合题意.2所以极大值所以极小值22232320+2-4faa2.，解得：aaaa2,22,a的取值范围为.综上所述：实数故答案为：,22,.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑．a是等差数列，13.已知数列aa48，，则a3aa（）n1153813A.120【答案】B.96C.72D.48A

【分析】根据等差数列的下标性质计算可得结果.aaa48，115是等差数列，【详解】因为n2a48，即a24，8所以8a3aa2a3a5a524120.3所以813888故选：Ax24yxy3，则（214.若实数x,y满足）成立．xy1x24y42A.C.B.x2y2x2y2.D.【答案】B【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解.x24yxy3和基本不等式2x24y2x4y4xy222x24y2时等号成立）（当，【详解】由3x24y2xy34xyxy，当xy0时，有xy1，当xy0时，x,yxy，A错误；5xyxy由（当同号时等号成立）得：x4y2234x4y22，4xy4xyx4y,xy2,x4yxy32224x24y42，B正确；xyx2y5xy3x2y35xy358（当x24y2x24y22，2时等号成立），22x2y22，C，D错误；故选：B.n的二项展开式中，235rC3xn称为二项展开式的第3xx15.在r1项，其中r=0，1，2，3，……，n．下rnr3n3xx列关于n的命题中，不正确的一项是（2）314C3x．A.若n8，则二项展开式中系数最大的项是2638345n9，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x的取值范围是B.已知x0，若0x．3C34．410C.若D.若n10，则二项展开式中的常数项是n27，则二项展开式中x的幂指数是负数的项一共有12项．【答案】【分析】D0x1x1两和A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分510r0，解方程即可；35r0327D选项：令种情况解不等式即可；C选项：令，解不等式即可.

C3C3r8rr17r5494rr2，所以8C3r8r8C3r19r，所以A正确；【详解】A选项：令，解得88345435x22C3xC3x，整理可得317x1时，解得0x1时，不等式恒成立；当B选项：，当1x，3198273393540x所以，故B正确；3510r0，解得3C选项：令r6，所以常数项为C63106C434，故C正确；10105r270381r，解得17,18,27，共11项，故D错.D选项：令故选：，所以r可取5D.16.“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（5尺，高为8尺，问它的体积是多少？）别为7尺和平方尺.142140138128D.A.B.C.【答案】C【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可.【详解】758213822R如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为，外接球22S4R1382.的表面积故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

a12aa1a，24a5a，对一切正整数nn1n成立．17.已知数列满足：，n1n2aa}是等比数列；{（1）证明：数列（2）求数列n1nan的前项之和．n【答案】（1）证明见解析4n1nS（2）18318n【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式求解出数列的通项公式，再利用分组求和即可得到结果.【小问1详解】1，21证明：∵a，a，∴aa121221a4a5ann成立，∴aa4aan，N*，n1∵即，对一切正整数n2n1n2n1naa4．∴数列aa12n2an1{}是以n为首项，4为公比的等比数列．an1n1n【小问2详解】142aa由(1)知，n-12n3，2n1na(aa)(an1a)(aa)+a2∴2222212n52n72n91nnn1n2111411(233n11)2n3,61a(21)12当n=1时，1满足上式，31121nN2n3*.an综上所述，3114n144n1an的前nnnS，则nn36=．31818318设数列项之和为Sn14n3m(3sinx,cos),xn(cos,x3)，函数yf(x)mn.18.平面向量22（1）求函数y=f(x)的最小正周期；x[0,]（2）若，求y=f(x)的值域；2ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(B)3a2,b7，求△ABC的面积.，（3）在△π【答案】（1）32,3（2）

33（3）23sin2x，然后求最小正周期即可；6fx【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；c（3）利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即可.【小问1详解】333cos2x33sin2x62，mn3sinxcosx3cosxsin2x2222fx3sin2x所以，6.最小正周期为【小问2详解】5x0,x2设，，6，6265151sinsin1sin上严格增，在上严格减，，，所以f()x6223sin,62,26y=在，623,3的值域为．2【小问3详解】1，f()3BB6sin2，即B因为为三角形内角，所以．B34c712cosBc2c302，解得.c3，即22c21333ABCacsin3B所以的面积为2.△22AB4AD2AE为折痕将VADEO为AE的19.如图所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，中点，以使D点折到PCPB．P点，且向上折起，（1）求证：PO面ABCE；（2）求AC与面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；

30（2）．15面，从而证明BCPO，BCPOF，得到BC【分析】（1）取的中点，连FPFOFBCBCPF，OF，，证明POABCE然后可得面；OG//BCG交于，则OGOFO，然后以点为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.AB（2）作【小问1详解】PAPEOAOEPOAE，由题意，可得，，则PF取BC的中点F，连OF，，可得OF∥ABOFBC，，所以BCPOFPBPCBCPFPFOFF，所以平面，因为，，且POPOFBCPO．又因为平面，所以POABCEBC与又由AE为相交直线，所以平面．【小问2详解】作OG//BCG交于，则OGOFAB如图建立空间直角坐标系，P(0,02),AC(2,4,0),(1,1,AP2),AB(0,4,0)A(1,1,0),B(1,3,0),C(1,3,0),则，nAPxy2z0n(,,)xyzn(2,0,1)，所以可取，PAB设平面的法向量为，则nAB4y0sincos,nAC2230.ACPAB所以与面所成角的正弦值25315xy23）的离心率为，它的上顶点为2、右焦点分Γ1Fc,0120.已知椭圆：ab0（A，左别为，ab232Fc,0（常数c0），直线AF2ΓCO别交椭圆于点，．为坐标原点．BAF，分21

BOAC（1）求证：直线平分线段；mmaP的横坐标为常数（），过Γ（2）如图，设椭圆外一点BOP在直线上，点Γl与椭圆交于两P的动直线MPMQ2mx2my6c0上．Q，试证明点在直线2NMN，在线段上取点，满足Q个不同点M、PNQN【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析c31）由离心率，将，均用表示，求出直线eabcAF的方程，与椭圆方程联立求得点坐标，1【分析】（Ba3BOCAC即可得到直线的方程，根据椭圆的对称性，求出点的坐标，再证出中点在直线上即可；BOMPMQMx,yNx,y2（2）设，用线段定比分点坐标公式将QP，坐标表示出来，并代入，2和PNQN11mP的横坐标为2mx2my6c02，结合N和M，在椭圆上，进行运算证明即可.【小问1详解】a3cbac3cc2cA0,2c，，∴c3e由题意，，则，2222a3x2y212x3y6c，2Γ∴椭圆方程为，即223c2c222c0，kAF12y2xcAF的斜率AF的方程为∴直线1，直线10c2x3y6c,2联立223xxc，0，2ABy2x3cx0消去，化简得2，解得y2xc,3xc32c,cAF的方程，得，22B，代入直线1即点的横坐标为B2B2c023223BOyx，，直线的方程为3kBO∴直线的斜率OBc023232Cc,cBc,c∵，∴由椭圆的对称性知，2222

A0,2c，∴线段AC的中点坐标为又∵32c,c，4432c,c232cc2BOyx上，在直线，∴线段AC的中点：∵443443BOAC.平分线段即直线【小问2详解】Γ设过点P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为Mx,yNx,y，2，112NΓ2x3y6c，2x3y6c2∵M，在椭圆上，∴212122222MPMQMPMQ0，且1，∵PNQN，∴设PNQN，易知MPPN则由已知，有，MQQN，xxyyxxyy2，P,Q,211∴由线段定比分点坐标公式，有112112，11mma），∵点P的横坐标为常数（xxm，∴1213yy2m2BOyxyy2m，∴又∵点P在直线：上