计算机中的集合运算

计算机中的集合运算第一页，共二十页，编辑于2023年，星期五第一节集合的基本概念

1.1个体与集合之间的关系

1.2集合的表示法

1.3集合与集合之间的关系

1.4幂集第二节集合的基本运算

2.1集合的补运算

2.2集合的交运算和并运算

2.3集合的宏运算第二页，共二十页，编辑于2023年，星期五1.1个体与集合之间的关系什么是集合，关于集合的各种不同说法如下。1.莫斯科大学的那汤松教授说：凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。2.复旦大学的陈建功教授说：凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做物。具有某种条件的物，称它们的全部谓之一集。3.南开大学的杨宗磐教授说：集就是“乌合之众”。不考虑怎样“乌合”起来的，众可以具体，可以抽象。4.集合论之父G.Cantor（1845-1918）说：集是由总括某些个体成一个整体而成的。对于每个个体，只设其为可思考对象，辨别它的异同。个体之间并不需要有任何关系。第三页，共二十页，编辑于2023年，星期五综上所述集合的概念有三要素

1.个体（元素）

2.个体的可辨认性

3.集合（动词）通常用小写拉丁字母表示集合中的个体：a、b、c、d…通常用大写拉丁字母表示集合的名称：A、B、C、D…个体与集合之间的关系称为属于关系。对于某个个体a和某个集合A而言，a只有两种可能

1）a属于A，记为aA，称a是A中的元素。

2）a不属于A，记为aA，称a不是A中的元素。判断个体a属于A还是不属于A，必须使用个体的可辨认性，而且个体的可辨认性是无二义性的，即或者a属于A或者a不属于A，二者居其一且只居其一。关于个体的辨认有赖于各方面的公认的知识。集合（名词）第四页，共二十页，编辑于2023年，星期五1.2集合的表示法文字表示法用文字表示集合的元素，两端加上花括号。

{在座的同学}{高等数学中的积分公式}元素列举法将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。

{1，2，3，4，5}{风，马，牛}{2，4，6，8，10，…}谓词表示法

{x︱p(x)}p表示x所满足的性质。

{x︱x2=1}{y︱y是开区间(a,b)上的连续函数}{使x2=1的实数}{1，-1}{x︱x2=1}第五页，共二十页，编辑于2023年，星期五集合的特殊情况不含任何元素的集合称为空集，记为或{}。只含一个元素的集合称为单元素集，记为{a}。含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为X。常用集合的字母表示：自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集分别用大写字母N、Z、Q、R、C表示．有时还用Q＋表示正有理数集，用R－表示负实数集，等等．第六页，共二十页，编辑于2023年，星期五1.3集合与集合之间的关系定义1设A，B是两个集合

1）若对于A中的每个元素x，都有x属于B，则称A包含在B中，记为AB。同时称A是B的子集。

2）若A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，则称A等于B，记为A=B。子集的两种特殊情况（平凡子集）：

1）空集是任一集合的子集。

2）每个集合是它自己的子集。集合与集合之间的关系称为包含关系。第七页，共二十页，编辑于2023年，星期五真子集：

对于两个集合A与B，如果AB，并且AB，就说集合A是集合B的真子集，记作AB

（或BA）空集是任何非空集合的真子集．全集：

如果集体S含有所要研究各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示I表示．第八页，共二十页，编辑于2023年，星期五补集：

一般地，设S中一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作A

即A＝｛x│xS，且xA｝．第九页，共二十页，编辑于2023年，星期五1.4幂集定义2设A是集合，A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记为2A。

2A={xxA}

定理1设集合A是有限集合，A

=n，则2A

=2A。定理2设A,B是两个集合。那么A=B当且仅当2A=2B。第十页，共二十页，编辑于2023年，星期五第二节集合的基本运算2.1集合的补运算（一元运算）定义1

设X是集合，A是X的子集。

A={xxX∧xA}称A是A关于X的补集，称为补运算。定理1

设X是集合，A，B是X的子集。则

1）(A)=A；

2）若AB，则BA；

3）若A=

B，则A=

B；

4）X=，=X。第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期五2.2集合的交运算和并运算定义2设A，B是两个集合

1）A∩B={x︱xA∧xB}，称A∩B为A与B的交集，称∩为集合交运算。

2）A∪B={x︱xA∨xB}，称A∪B为A与B的并集，称∪为集合并运算。第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期五定理2设X是全集，A，B，C是X的三个子集合，则

1）A∩A=A，A∪A=A2）A∩A=，A∪A=X3）A∩X=A，A∪X=X4）A∩=，A∪=A5）A∩B=B∩A，A∪B=B∪A6）(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)7）A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期五定理3

设A，B，C为三个集合，则

1）AA∪B，A∩BA；

2）若AC且BC，则A∪BC；

3）若CA且CB，则CA∩B。定理4

设A，B为两个集合，则下面三式等价。

1）AB2）A∪B=B3)A∩B=A定理5

设A，B为两个集合，则

1）(A∪B)=A∩B2）(A∩B)=A∪B第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期五2.3集合的宏运算定义3设A,B是两个集合，A\B={x︱xA∧xB}，称A\B为A和B的差集，称\为集合差运算。由差运算、交运算、补运算的定义知A\B=A∩B。由于差运算可以由并、交、补运算线性表出，因此称差运算为宏运算。

第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期五定理6设X是全集，A,B,C是X的三个子集合，则

1)A\BA；

2)A\A=；

3)X\A=A；A\X=；

4)A\=A；\A=；

5)A∩(B\C)=(A∩B)\(A∩C)；

6)A\(B\C)=(A\B)∪(A∩C)7)(A\B)\C=A\(B∪C)；

8)A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)；

9)A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C)。

第十六页，共二十页，编辑于2023年，星期五例：如图，I为全集，集合M，N满足：

MN≠，那么图中红色阴影部分用集合表示，可表示为：第十七页，共二十页，编辑于2023年，星期五第十八页，共二十页，编辑于2023年，星期五例：如果集合M满足M{7，13，20}，且M中至多含有一个奇数，那么符合上述条件的集合M共有_______个．6个分析：集合M满足两个条件：①是