结构稳定与极限

结构稳定与极限第一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五1.两类稳定问题的基本概念薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产生部件或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课程只讨论静力稳定问题。例如图示刚架，当荷载达到临界值时，受微小干扰将失稳第二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五又如下图所示园拱和窄条梁也存在失稳问题第三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五刚性小球平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态第四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五结构平衡状态的分类根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢复初始平衡状态，可对平衡状态作如下分类：

稳定的平衡状态——外界干扰消除后结构能完全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定的。

不稳定平衡状态——外界干扰消除后结构不能恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定的。经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位置保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。第五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五根据受力状态稳定问题分类：1.完善体系：理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将变化，也即随荷载变大有分叉点，称分支点稳定。第六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五分支点失稳失稳前后平衡状态的变形性质发生变化第七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五第八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五结构2.非完善体系

受压杆有初曲率或受偏心荷载，为压弯联合受力状态FP(a)非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。但随着荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷载反而减少），这类稳定现象称极值点稳定。第九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五极值点失稳失稳前后变形性质没有变化第十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五第十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五FPcrcr突跳失稳FPcrcr由受压变成受拉，系统产生翻转第十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五突跳失稳的力-位移关系示意图突跳失稳第十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五稳定问题的分析方法在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论：线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时的实验结果有较大偏差。非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响，其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复杂。第十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正比，叠加原理适用。2.简单结构稳定分析

1)稳定问题分析基本方法一：静力法通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类稳定问题的特征，确定临界荷载的方法——静力法。在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时叠加原理不再适用。第十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五2-1-1)分析步骤

设定约束所允许的可能失稳状态

建立平衡方程用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡）建立特征方程，也称稳定方程

求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。2-1)分支点稳定静力法第十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五2-1-2）例一试用静力法分析图示结构，求临界荷载。第十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五稳定方程第十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五非零解稳定方程第十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五按静力法，线性与非线性理论所得分支点临界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。小结非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使AB杆继续偏转（角增大），必须施加更大的荷载（增加）。而线性理论结果表明，不管转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚假的现象。第二十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五例二完善体系如图所示，试按线性理论求临界荷载FPcr。已知：k1=k,k2=3k。设体系发生如下的变形第二十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五取B’C’为隔离体，由MB’=0,得或再由整体平衡MA=0,得因为y1、y2不能全部为零，因此稳定方程第二十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五将k1

、k2

代入（3）式，展开后得由上式可求得：因此代回式（1）或（2）的失稳形态为第二十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五2-1-3）材料力学中不同支承中心受压杆的FPcr为第二十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五求解的例子第二十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五EI，lFPFPcr如何转换成弹性支承中心受压柱？

k1=？2-1-4）简单结构中心受压杆FPcr的分析方法边界条件是什么？根据形常数第二十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五FPcrEI，l如何转换成弹性支承中心受压柱？

k1=？边界条件是什么？第二十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五FPcrEI，lEI，lEA=∞如何转换成弹性支承中心受压柱？

k=？边界条件是什么？第二十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五EI，lEI，lFPcr如何转换成弹性支承中心受压柱？

k1=？k2=？边界条件是什么？第二十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

可见简单结构中受压杆件的稳定分析，主要是要将杆件简化为相应的弹性支撑的单杆问题。实际工程结构的稳定性分析复杂得多，一般进行计算机分析。第三十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态能量取极小值2-2)分支点稳定能量法2-2-1)刚性小球的稳定能量准则能量取极大值能量取驻值第三十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支点失稳问题中，临界状态的能量特征为：首先引入两个定义。定义：应变能Vε加外力（外荷载）势能VP为体系的总势能，记作V。2-2-2)弹性结构的稳定能量准则定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称为外力势能，记作VP。体系总势能V取驻值。下面讨论由此特征确定临界荷载的方法——能量法。第三十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五2-2-3)能量法分析步骤(1)设定一种满足位移约束条件的可能失稳变形状态（也称失稳构(位)形）；(2)计算体系的应变能Vε、外力势能VP，从而获得总势能V=Vε+VP；(3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析的特征方程；(4)由特征方程解得临界荷载。第三十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五l例1.求图示有初偏离角体系的的临界荷载2-2-4)能量法举例可能失稳第三十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五分析受力FN如何求?第三十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五变形能V外力势能VP体系的总势能V=V+VP如何计算?

应变能等于外力功.

根据定义可得第三十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五由体系的总势能的驻值条件得：则：如果=0：第三十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五令：To41第三十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五令：得：因此为求极值第三十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五设：跳转1第四十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五当按线性理论计算时，是微量，线性理论计算结果比非线性理论计算结果大，因而是偏于危险的。To38第四十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是不利的。非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一结果与实际吻合。小结非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确定。在线性理论（微小）前提下，是单调增加的，不存在极值点。第四十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五lEIyx设：例2.求图示一端固定一端自由简支梁的临界荷载。满足位移约束条件第四十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五变形能V外力势能VP体系的总势能V=V+VP第四十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五由体系的总势能的驻值条件得：因为a0则：返回第四十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

以图示柱为例，取隔离体列弯矩方程得第四十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五特解通解利用边界条件：解方程可得稳定方程返回可得试总结中心压杆稳定分析的要点第四十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五3-1)材料力学内容回顾——结构内实际最大应力——材料容许应力——极限应力（脆性）（塑性）——安全系数对塑性材料制成的结构不经济3.基本假设与基本概念弹性分析法（容许应力法）第四十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五材料的本构关系（应力—应变关系）塑性金属线性强化理想弹塑性刚线性强化刚塑性第四十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五3-2)基本假定假定材料具有相同的拉、压力学性能以及理想弹塑性的应力-应变关系。假定结构上所受荷载是按荷载参数P以同一比例由小变大逐步加载的，同时荷载参数P单调增加，不出现卸载情形，这种加载方式称为比例加载。假定在弹塑性阶段横截面应变仍符合平截面假定。3-3)基本概念第五十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五等面积轴形心轴---弹性弹塑性屈服弯矩Ms塑性极限弯矩Mu纯弯梁由弹性到塑性的过程分析极限荷载FPu-弹性第五十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五塑性分析法（极限应力法）

极限荷载——结构在极限状态时所能承受的荷载强度条件：k—安全系数F—实际荷载FPu—极限荷载问题：按塑性分析设计与按弹性分析设计相比，在结构破坏时，何者的应力大？将结构进入塑性阶段并丧失承载能力时的状态，作为结构破坏的标志，称为极限状态。To55第五十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五屈服弯矩MS，按定义为极限弯矩（整个截面都屈服）Mu抗弯截面系数（1）由中性轴等分截面积To51外边到形心轴第五十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五（2）极限弯矩Mu塑性截面系数（）

（屈服弯矩）截面形状系数：矩形

1.5圆形

1.7To51第五十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五非纯弯、双对称轴截面梁的情况实验和理论分析结果都表明，对于细长梁，切应力对极限承载力影响很小，可不予考虑。例如简支梁截面出现塑性铰第五十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五破坏机构—结构由于出现塑性铰而变成瞬变或可变时的体系。静定梁，塑性铰出现在弯矩（绝对值）最大处。ABFP1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受Mu塑性铰——能承受弯矩并能单方向转动的铰。塑性铰与普通铰的区别：2）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。

若梁的左半部分截面高度增加一倍（变截面梁），塑性铰出现在何处？第五十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五4.极限平衡法及比例加载时的若干定理结构达极限状态时应该满足以下条件：平衡条件

结构整体或任何部分均应是平衡的。内力局限条件

极限状态时结构中任一截面弯矩绝对值不可能超过其极限弯矩Mu，亦即|M|≤Mu

。单向机构条件

结构达极限状态时，对梁和刚架必定有若干（取决于具体问题）截面出现塑性铰，使结构变成沿荷载方向能作单向运动的机构（也称破坏机构）。第五十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五试求等截面单跨超静定梁的极限荷载FPl/2ABl/2C4-1）极限平衡法—从极限状态由平衡求FPuA处出现塑性铰时：弹性解得弯矩图ABC能继续承荷第五十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五A、C处都出现塑性铰：静力法ABC列静力平衡方程，可得第五十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五虚功法或机动法极限状态沿加载方向虚位移根据刚体虚位移原理，主动力虚功总和为零l/2ABl/2Cl/2ABl/2C第六十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载虚功法的虚功方程为当时，

时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示第六十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载虚功法的虚功方程为时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示当时，A、B、D都为塑性铰

第六十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五小结任何结构（静定、超静定）的极限荷载只需分析破坏机构(collapsemechanism)，由平衡条件（静力平衡方程或虚功方程）即可求出。超静定结构的温度改变、支座移动等外因只影响结构弹塑性变形的过程（或称历程），并不影响极限荷载值。亦即仅计算极限荷载时，可不考虑温度改变、支座移动等外因的作用。第六十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五4-2)比例