2021年江苏省南通市海门中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年江苏省南通市海门中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则，将长方形与长方体进行类比，长方体的一条体对角线与长方体过同一个顶点的三个面所成的角分别为，则正确的结论为

（

）A．

B．C．

D．参考答案：B2.知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略3.已知函数，则关于x的方程有5个不同实数解的充要条件是（）

A.b＜一2且c＞0

B.b＞一2且c＜0

C.b＜一2且c＝0D.b≤一2且c＝0参考答案：C【知识点】充要条件．A2

解析：∵方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，∴对应于f（x）等于某个常数有4个不同实数解，由题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=0时，它有﹣个根．且f（x）=﹣b时有四个根，由图可知﹣b＞2，∴b＜﹣2．故所求充要条件为：b＜﹣2且c=0，故选C．【思路点拨】作出f（x）的简图，数形结合可得．4.已知集合，，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C

={x则故答案为C.【思路点拨】先求出集合B再求交集。5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是(

)A． B．C． D．参考答案：B6.已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于A.25 B.24 C. D.参考答案：7.已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：设三边分别为，最大角大于，因此最大角是，由余弦定理得，解得（舍去），因此三边长为，三角形的周长，故答案为A.考点：1、等差数列的概念；2、余弦定理的应用.8.如图，已知三棱柱的正视图是边长为1的正方形，俯视图是边长为1的正三角形，点是上一动点(异于），则该三棱柱的侧视图是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，，过圆心，则点的横坐标的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得.10.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于

（）

A．16

B．15

C．8

D．7参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（本题满分13分）定义在R上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。（1）求和的值；（2）试判断的奇偶性，并加以证明；（3）若时为增函数，求满足不等式的的取值集合。参考答案：∴故的取值集合为12.过点且方向向量为的直线交双曲线于两点，记原点为，的面积为，则____

____．参考答案：

消去整理可得,设,由韦达定理可得.,原点到直线距离.所以.考点：1直线与圆锥曲线的位置关系;2极限.13.已知圆和两点，若点在圆上且，则满足条件的点有

个.参考答案：14.如果O是线段AB上一点，则，类比到平面的情形；若O是△ABC内一点，有，类比到空间的情形：若O是四面体ABCD内一点，则有

.参考答案：答案：15.已知实数x，y满足，则z=x+2y的最小值为．参考答案：﹣5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即B（﹣1，﹣2）此时z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．故答案为：﹣5．16.正项等比数列{an}中，若log2（a2a98）=4，则a40a60=

．参考答案：16【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的通项公式以及等比数列的性质进行求解即可．【解答】解：在正项等比数列{an}中，若log2=4，则a2a98=24=16，即a40a60=a2a98=16，故答案为：16．17.函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为．参考答案：π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期．解答：解：f（x）=sin（2x+），∵ω=2，∴T==π，则函数的最小正周期为π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，，求c的长．参考答案：【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）把题设等式代入关于cosA的余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）先利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，然后利用正弦定理求得b．解：（Ⅰ）b2+c2﹣a2=bc，∵0＜A＜π∴（Ⅱ）在△ABC中，，，∴由正弦定理知：，∴═．∴b=【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生对这两个定理的熟练掌握．19.在数列中，

（1）设，求数列的通项公式；

（2）记数列的前n项和为，试比较的大小。参考答案：略20.已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1.（I）证明：面PAD⊥面PCD；（II）求AC与PB所成角的余弦值；（III）求面PAB与面PBC所成的二面角的大小

参考答案：解析：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理，得CD⊥PD，∵CD⊥AD，CD⊥PD，且PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵CD平面PCD，∴面PAD⊥面PCD。

（II）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，连结AE。

则∠PBE是AC与PB所成的角，

可求得AC=CB=BE=EA=。

又AB=2，所以四边形ACBE为正方形，∴BE⊥AE，∵PA⊥底面ABCD。∴PA⊥BE，∴BE⊥面PAE。∴BE⊥PE，即∠PEB=90°在Rt△PAB中，得PB=。在Rt△PEB中，

（III）解：过点C作CN⊥AB于N，过点N作NM⊥PB于M，连结CM，则MN是CM在面PAB上的射影。由三垂线定理，得CM⊥PB。∴∠CMN为面PAB与面PBC所成的二面角的平面角。可求得CN=1，CM=

21.如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，BH=2．（Ⅰ）求DE的长；（Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）由已知中弦DE⊥AB于点H，AB为圆O的直径，由垂径定理，我们易得DH=HE，进而由相交弦定理，得DH2=AH?BH，由AB=10，HB=2，代入即可求出DH，进而得到DE的长；（Ⅱ）由于PC切圆O于点C，由切割线定理，我们易得PC2=PD?PE，结合（Ⅰ）的结论和PC=2，代入即可求出PD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，∴DH=HE，∴DH2=AH?BH=（10﹣2）×2=16，∴DH=4，∴DE=2DH=8；（Ⅱ）∵PC切圆O于点C，∴PC2=PD?PE，即（2）2=PD?（PD+8），∴PD=2．【点评】本题考查的知识点是垂径定理，相交弦定理及切割线定理，分析已知线段与未知线段之间的位置关系，进而选择恰当的定义进行求解是解答此类问题的关键．22.某iPhone手机专卖店对某市市民进行iPhone手机认可度的调查，在已购买iPhone11手机的1000名市民中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组（岁）频数[25,30)5[30,35)x[35,40)35[40,45)y[45,50]10合计100

（1）求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；（2）在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone6s手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）由频数分布表和频率分布直方图，可得，解得，进而可求得年龄在内的人数对应的，即可补全频率分布直方图．（2）由频数分布表，可得年龄在内的市民的人数为，记为，年龄在内的市民的人数为，分别记为，，，，利用列举法求得基本事件的总数，以及事件“恰有1人的年龄在内”所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】（1）由频数分布表和频率分布直方图可知，，解得.频率分布直方图中年龄在内的人数为人，对应的为，所以补全的频率分布直方图如下：（2）由频数分布表知，在抽取的5人中，年龄在内的市民的人数为，记为，年龄在内的市民的人数为，分别记