2021年湖南省株洲市下东中学高三数学理测试题含解析

2021年湖南省株洲市下东中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是

（

）

参考答案：D2.若实数x、y满足不等式组，若a=(x，y），|a|的最小值为（

）

A.

B.

C.2

D.1参考答案：C略3.过点的直线与圆交于两点，若，则直线的方程为（

）

A．B．C．D．参考答案：A略4.已知则等于( )A．B.C.D.参考答案：A略5.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1,2,…,n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（

）

A．－1

B．0

C．

D．1参考答案：D6.若则实数的取值范围是（

）A．；B.；C.；D.参考答案：B7.已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=(

)A．138 B．135 C．95 D．23参考答案：C考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．解答：解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C点评：在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式8.函数的大致图象有可能是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据函数的奇偶性排除D选项.根据的零点个数，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】函数是偶函数，排除D；由，知当时，有两个解，令，而与在有两个不同的交点（如下图所示），故函数在上有个零点，故选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题.9.若向量、满足、，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．参考答案：试题分析：因为，，所以，，即，10.设为等差数列的前项和，若，公差，，则（

）

A．8

B．7

C．6

D．5参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是

▲

．参考答案：。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。由，得，由矩形的性质，得。

∵，∴，∴。∴。

记之间的夹角为，则。

又∵点E为BC的中点，∴。

∴。

本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。12.已知展开式中的常数项为30，则实数a=

．参考答案：

3

13.已知向量与满足||=2，||=，（﹣）⊥，则与的夹角为．参考答案：45°考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量垂直的体积转化为数量积为0，然后求解即可．解答：解：向量与满足||=2，||=，（﹣）⊥，可得（﹣）?=0，即，可得2﹣2=0，，所以=45°故答案为：45°．点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．14.已知正实数x，y满足，则x+y的最小值为

▲

参考答案：略15.如图所示一个几何体的三视图，则该几何体的体积为

参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×2×2=2，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．16.（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．参考答案：﹣42【考点】二项式定理的应用．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4217.已知则向量与的夹角是___________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆C：，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；（Ⅱ）设F1，F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限内一点，满足，求△PAB面积的最大值．参考答案：解：（Ⅰ）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由

①，

②；①﹣②得：，即；∴．

………

4分由于弦AB的中点在椭圆内部，得，∴M点的轨迹方程为（）；………

5分（Ⅱ）依题意：F1（，0），F2（，0），设P（x，y）（x＞0，y＞0），则

，，由得：，即，与椭圆的方程联立，解得：[KS5UKS5UKS5U]∴P点坐标为；

……

6分设直线l的方程为，联立，整理得：，由△＞0得﹣2＜m＜2，∴，，于是，点P到直线l的距离，…

8分∴；当且仅当m2=4﹣m2，即时，取等号，故，△PAB面积的最大值1．

………

12分

19.已知函数为偶函数，周期为2. (Ⅰ)求的解析式； (Ⅱ)若的值.参考答案：略20.(本小题满分12分)

已知定义域为R，（1）求的值域；（2在区间上，，求）参考答案：（1）

值域（2）由（1）得，

，又

，略21.已知函数．（1）设集合，求集合；（2）若，求的值域；（3）画出的图象，写出其单调区间．参考答案：22.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（Ⅱ）中的点F，求三棱锥P﹣BEF的体积．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【分析】（1）证明平面PBE内的直线BE，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、CA，即可证明平面PBE⊥平面PAC；（2）取CD的中点F，连接EF，证明AD平行平面PEF内的直线EF，即可证明结论；（3）PA=AB=2，利用求三棱锥P﹣BEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABC