2024学年东北三省四市教研联合体数学高三上期末学业水平测试模拟试题含解析

2024学年东北三省四市教研联合体数学高三上期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．2．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值3．已知函数f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a D．-a4．若函数在时取得极值，则（）A． B． C． D．5．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（）A． B． C． D．6．设，，，则的大小关系是()A． B． C． D．7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A．56383 B．57171 C．59189 D．612428．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（）A． B． C． D．9．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）A． B．C． D．10．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．且 B．且 C．且 D．且11．已知实数满足约束条件，则的最小值为（）A．-5 B．2 C．7 D．1112．已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则=()A． B．1 C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的的值__________．14．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____．15．已知函数的最小值为2，则_________．16．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图：（1）证明：平面平面（2）求平面与平面所成二面角的大小.18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线.（1）求B；（2）若，，且，求BD的长度.19．（12分）已知矩阵，.求矩阵；求矩阵的特征值.20．（12分）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点（异于、两点），当直线垂直于轴时，四边形的面积为1．（1）求椭圆的方程；（2）设直线、的交点为；试问的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数只有一个零点，求正实数的值.22．（10分）已知动圆恒过点，且与直线相切.（1）求圆心的轨迹的方程；（2）设是轨迹上横坐标为2的点，的平行线交轨迹于，两点，交轨迹在处的切线于点，问：是否存在实常数使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

构造函数，利用导数求得的单调区间，由此判断出的大小关系.【题目详解】依题意，得，，.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，且，即，所以.故选：D.【题目点拨】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.2、B【解题分析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【题目详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【题目点拨】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.3、A【解题分析】

令xex=t，构造g(x)=xex，要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x2,【题目详解】令xex=t，构造g(x)=xex，求导得g'(x)=故g(x)在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，且x<0时，g(x)<0，x>0时，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可画出函数g(x)的图象（见下图），要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故选A.【题目点拨】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.4、D【解题分析】

对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.【题目详解】因为，所以，又函数在时取得极值，所以，解得.故选D【题目点拨】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.5、B【解题分析】

列举出循环的每一步，可得出输出结果.【题目详解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，输出的值为.故选：B.【题目点拨】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.6、A【解题分析】

选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.【题目详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以，因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【题目点拨】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.7、C【解题分析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.【题目详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为的等差数列，记数列则令，解得.故该数列各项之和为.故选：C.【题目点拨】本题考查等差数列的应用，属基础题。8、D【解题分析】

根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.【题目详解】依题意知，与为函数的“线性对称点”，所以，故（当且仅当时取等号）.又与为函数的“线性对称点，所以，所以，从而的最大值为.故选:D.【题目点拨】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.9、A【解题分析】

由的解集，可知及，进而可求出方程的解，从而可求出的解集.【题目详解】由的解集为，可知且，令，解得，，因为，所以的解集为，故选：A.【题目点拨】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.10、B【解题分析】由且可得，故选B.11、A【解题分析】

根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.【题目详解】由约束条件，画出可行域如图变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距，最小的时候为过点的时候，解得所以，此时故选A项【题目点拨】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.12、B【解题分析】由题意或4，则，故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为和，高为，如图所示，平面，所以底面积为，几何体的高为，所以其体积为．点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．14、【解题分析】

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度．【题目详解】由三视图还原原几何体如下图所示：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，则该几何体的体积为，，，因此，该棱锥的最长棱的长度为.故答案为：；.【题目点拨】本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．15、【解题分析】

首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.【题目详解】根据题意可知，可以发现当或时是分界点，结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，故，解得，故答案是.【题目点拨】本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、【解题分析】

由题意容积，求导研究单调性，分析即得解.【题目详解】由题意：容积，，则，由得或（舍去），令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时.故答案为：【题目点拨】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）45°【解题分析】

（1）设的中点为，连接，设的中点为，连接，，从而即为二面角的平面角，，推导出，从而平面，则，即，进而平面，推导四边形为平行四边形，从而，平面，由此即可得证.（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.【题目详解】（1）∵是的中点，∴.设的中点为，连接.设的中点为，连接，.易证：，，∴即为二面角的平面角.∴，而为的中点.易知，∴为等边三角形，∴.①∵，，，∴平面.而，∴平面，∴，即.②由①②，，∴平面.∵分别为的中点.∴四边形为平行四边形.∴，平面，又平面.∴平面平面.（2）如图，建立空间直角坐标系，设.则，，，，显然平面的法向量，设平面的法向量为，，，∴，∴.，由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.∴平面与平面所成的二面角大小为45°.【题目点拨】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.18、（1）（2）【解题分析】

（1）根据共线得到，利用正弦定理化简得到答案.（2）根据余弦定理得到，，再利用余弦定理计算得到答案.【题目详解】（1）∵与共线，∴.即，∴即，∵，∴，∵，∴.（2），，，在中，由余弦定理得：，∴.则或（舍去）.∴，∵∴.在中，由余弦定理得：，∴.【题目点拨】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.19、；，.【解题分析】

由题意，可得，利用矩阵的知识求解即可.矩阵的特征多项式为，令，求出矩阵的特征值.【题目详解】设矩阵，则，所以，解得，，，，所以矩阵；矩阵的特征多项式为，令，解得，，即矩阵的两个特征值为，.【题目点拨】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.20、（1）（2）是为定值，的横坐标为定值【解题分析】

（1）根据“直线垂直于轴时，四边形的面积为1”列方程，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，由此求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线的方程，并求得两直线交点的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得的横坐标为定值.【题目详解】（1）依题意可知，解得，即；而，即，结合解得，，因此椭圆方程为（2）由题意得，左焦点，设直线的方程为：，，．由消去并整理得，∴，．直线的方程为：，直线的方程为：．联系方程，解得，又因为．所以．所以的横坐标为定值．【题目点拨】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）把转化成，令，由题意得，即证明恒成立，通过导数求证即可（2）直接求导可得，，令，得或，故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【题目详解】证明：（1）令，则.分析知，函数的增区间为，减区间为.所以当时，.所以，即，所以.所以当时，.解：（2）因为，所以.讨论：①当时，，此时函数在区间上