解直角三角形的八种类型

28.2解直角三角形及其应用第2课时

解直角三角形的八种类型第二十八章

锐角三角函数习题课

解直角三角形时，首先要分析直角三角形中的已知元素，根据已知元素利用勾股定理、边角关系、斜边上的中线性质，30°角所对直角边的性质进行求解．求边的长度时，一般要选择题目中的原始数据，尽量避免用中间所得的结果参与计算．1类型已知两边解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角

三角形．(1)a＝6，b＝6；(2)a＝10，b＝10.(1)tanA＝

，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°.c＝2b＝12.(2)tanA＝

，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°.c＝2b＝20.解：2．如图，AD为∠BAC的平分线，且AD＝2，AC＝

，∠C＝90°，求BC的长及△ABC外接圆的直径．∵AD＝2，AC＝

，∠C＝90°，∴cos∠DAC＝

，∴∠DAC＝30°.∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∴BC＝AC·tan∠BAC＝·tan60°＝×＝3.∵△ABC是直角三角形，∴其外接圆的直径为直角三角形的斜边长．∵AB＝.∴△ABC外接圆的直径为2.解：(1)a＝c·sinA＝10·sin60°＝5，b＝c·cosA＝10·cos60°＝5；(2)b＝

，∠B＝90°－∠A＝30°.2已知一边和一个锐角解直角三角形类型3．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.(1)若c＝10，求a，b的值；(2)若a＝4，求b及∠B的值．解：4．【2017·岳阳】某太阳能热水器的横截面示意图如图

所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交

于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80cm，AC＝165cm.(1)求支架CD的长；(2)求真空热水管AB的长．(结果保留根号)(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80cm，∴CD＝DE·cos30°＝80×＝40(cm)．

故支架CD的长为40cm.(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165cm，∴OC＝AC·tan30°＝165×＝55(cm)．∴OD＝OC－CD＝55－40＝15(cm)．∴AB＝AO－OB＝2OC－OD

＝55×2－15＝95(cm)．

故真空热水管AB的长为95cm.解：3已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形类型5．【中考·上海】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD交CD的延长线于点E.已

知AC＝15，cosA＝.求：(1)线段CD的长；(2)sin∠DBE的值．(1)在Rt△ACB中，cosA＝

，

即

，解得AB＝25，CD＝.(2)由(1)可得AD＝BD＝CD＝

，

由勾股定理知CB＝

＝20.

设DE＝x，EB＝y，

则

解得∴sin∠DBE＝.解：6．【中考·齐齐哈尔】已知BD为等腰△ABC的腰AC上的

高，BD＝1，tan∠ABD＝

，求CD的长．分两种情况：①如图①，∠BAC为钝角，AB＝AC，在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝

，∴AD＝

，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2＋.②如图②，∠BAC为锐角，AB＝AC，在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝

，∴AD＝

，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2－.综上所述，CD的长为2＋

或2－.解：4“化斜为直法”解三角形类型7．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.(1)若△ABD是等边三角形，求DE的长；(2)若BD＝AB，且tan∠HDB＝

，求DE的长．5“参数法”解直角三角形类型(1)∵△ABD是等边三角形，AB＝10.∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝

AB＝5.∴DH＝∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°，∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝5－5.解：(2)∵DH⊥AB且tan∠HDB＝.∴可设BH＝3k，则DH＝4k，DB＝5k(k>0)．∵BD＝AB＝10，∴5k＝10，解得k＝2.∴DH＝8，BH＝6，∴AH＝4.

又∵EH＝AH＝4，∴DE＝DH－EH＝4.6“等角代换法”解三角形8．如图，在△ABC中，AD，CE是高，AB＝4，AC

＝5，BC＝6，求cos∠DEB.类型因为∠DEB不在直角三角形中，所以可以选择一个与∠DEB相等的角来转换，又易证得△DBE∽△ABC，所以有∠ACB＝∠DEB.思路导引：∵AD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB，∴，即.∵∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC.∴∠ACB＝∠DEB.设CD＝x，则DB＝6－x.在Rt△ABD中，AD2＝AB2－DB2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，∴AB2－DB2＝AC2－CD2.解：∵AB＝4，AC＝5，∴42－(6－x)2＝52－x2，解得x＝.∴在Rt△ACD中，cos∠ACB＝.∵∠ACB＝∠DEB，∴cos∠DEB＝.7“定义法”解直角三角形9．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥

CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.(1)求证：CD∥BF；(2)若⊙O的半径为5，cos∠BAD＝

，

求线段AD的长．类型(1)证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴BF⊥AB，∵CD⊥AB，∴CD∥BF.(2)解：如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是5，∴AB＝10，∵cos∠BAD＝

，∴AD＝AB·cos∠BAD＝10×＝8.8“等比代换法”解直角三角形10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x，

y轴交于点B，A，与反比例函数的图象分别交于点

C，D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝

，OB＝4，

OE＝2.(1)求该反比例函数的解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．类型(1)∵tan∠ABO＝

，EB＝EO＋OB＝6，∴CE＝3，∴C(－2，3)，

可求得反比例函数的解析