第十二章 动能定理

第十二章动能定理动量定理动量矩定理动能定理动量原理能量原理可以研究机械运动以机械运动的形式相互传递的情况。除了可以研究机械运动以机械运动的形式相互传递的情况外，还可以研究机械运动与其它形式的运动之间进行转换的情况。1第一页，共六十五页，编辑于2023年，星期五本章内容 1 力的功 2 质点和质点系的动能 3 动能定理 4 功率、功率方程、机械效率 5 势力场、势能、机械能守恒定律 6 普遍定理的综合应用举例2第二页，共六十五页，编辑于2023年，星期五§12-1力的功力的功是力在一段路程上对物体作用的累积效应的度量。1常力在直线运动中的功力的功是标量,是过程量。单位:2变力在曲线运动中的功

元功3第三页，共六十五页，编辑于2023年，星期五弧坐标形式直角坐标形式2变力在曲线运动中的功还可写为:又:所以:变力在一段路程上的功

元功ijk4第四页，共六十五页，编辑于2023年，星期五4两种常见力的功重力的功弹性力的功5第五页，共六十五页，编辑于2023年，星期五5作用于刚体上的力的功①刚体作平移时②刚体作定轴转动时③刚体作平面运动时6第六页，共六十五页，编辑于2023年，星期五6 内力的功质点系中的质点如图所示。FAFBABrArB一对内力满足:drABxzyO即:所以，当质点系内质点间的距离可变化时，内力的元功之和不为零。对刚体，内力的元功之和恒为零。7第七页，共六十五页，编辑于2023年，星期五7约束力的功①光滑固定面约束②光滑铰链支座约束、轴承dr∵∴∵∴8第八页，共六十五页，编辑于2023年，星期五③连接刚体的光滑铰链(中间铰)即：约束反力作功之和为零。④无重刚性杆约束（二力杆）与内力的功类似，一对约束反力作功之和为零。9第九页，共六十五页，编辑于2023年，星期五⑤不可伸长的柔索因为:且绳不可伸长，有:理想约束约束反力作功为零或作功之和为零的约束。所以:10第十页，共六十五页，编辑于2023年，星期五8 摩擦力的功①支承面固定时无相对滑动时(静摩擦力)dsFNF有相对滑动时(动摩擦力)②支承面运动时F’F无相对滑动时（静摩擦力）有相对滑动时（动摩擦力）结论:一对静摩擦力的功为零;一对动摩擦力作负功。11第十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期五③作用在纯滚轮上的摩擦力的功如果不是纯滚动，有相对滑动，则摩擦力作负功。接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点没动，此时滑动摩擦力也不做功。12第十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期五§12-2质点和质点系的动能1质点的动能动能是恒正的标量，是瞬时量。单位:2质点系的动能3刚体的动能刚体的动能应根据刚体的运动情况来计算。13第十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期五(1)平动刚体的动能(2)定轴转动刚体的动能所以，刚体定轴转动的动能为:14第十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期五设刚体作平面运动，如图。由定轴转动刚体动能的公式CpvC

rc(3)平面运动刚体的动能由平行轴定理，有:所以:即:15第十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期五4柯尼希定理质点系的动能可表示为:注意：柯尼希定理只在以质心为基点时成立，对 其它的基点不成立。即：质点系的动能等于质点系随质心平动的动

能与相对于质心运动的动能之和。16第十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期五§12-3动能定理1质点的动能定理由牛顿第二定律两边点乘dr因为所以即所以17第十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期五所以质点动能定理的微分形式将上式积分，得到质点动能定理的积分形式18第十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期五2质点系的动能定理对每一个质点求和:交换求和与求微分的次序，有:可写为:质点系动能定理的微分形式积分得到:质点系动能定理的积分形式19第十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期五rRCFT例1已知：鼓轮作纯滚动，m,解：取轮为研究对象，受力如图。计算动能sR,r,c,

FT=常数,

=常数,初始静止。求：轮心的位移为s时，轮心C的速度和加速度。FNFmgvc设速度、角速度如图。A20第二十页，共六十五页，编辑于2023年，星期五计算动能计算力的功只有FT力作功将用vC

表示,有:rRCFTsFNFmgvcA21第二十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期五计算力的功只有FT力作功积分可得全功:将

用s表示:得:因为:rRCFTsFNFmgvcAdsd22第二十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期五由动能定理有:(1)动能力的功23第二十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期五求加速度将(1)式两边对t求导，得:(1)24第二十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期五例2(与习题类似)已知：A轮作纯滚动：

m1,R,r,；均质轮D:

m2,r；B块：

m3。求：aB。解:取整体为研究对象,求加速度可用动能定理的微分形式。计算一般位置的动能设速度、角速度如图。FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vB受力如图。25第二十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期五计算一般位置的动能将各速度、角速度用vB表示。设轮上E点的速度为vE。FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBvE26第二十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期五将各速度关系代入动能表达式，有:计算元功只有B块的重力作功,设B的位移为ds,则元功为:FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBds27第二十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期五动能元功由两边同除dt，得:所以:FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBds28第二十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期五例3已知：两相同均质杆,m,l,水平面光滑。初始静止，高为h。设杆在铅垂面内落下。求：铰链D与地面接触时的速度。解：取整体为研究对象，mgmgFNAFNB计算动能初动能：D点下落到水平面时的动能受力如图。29第二十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期五计算动能初动能：D落到水平面时的动能:mgmgFNAFNBD落到水平面时的运动情况？因为:且:所以:C质心C的轨迹为铅垂线。D点的轨迹也为铅垂线。D点速度铅垂向下。vD30第三十页，共六十五页，编辑于2023年，星期五D点的轨迹为铅垂线。D点速度铅垂向下.vDA点速度如图,由vA和vD的AD杆的速度瞬心为A点。所以，D点下落到水平面时，系统的动能为:同理，DB杆的速度瞬心为B点。vAAD方向31第三十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期五计算力的功mgmgFNAFNB动能由动能定理有:所以:32第三十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期五例12-4已知：均质圆盘R,m,F=常量，且很大，使O向右运动，f,初静止求：O走过S路程时ω、α33第三十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期五圆盘速度瞬心为C,解：34第三十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期五均不作功。35第三十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期五注意：1、摩擦力Fd的功S是力在空间的位移，不是受力作用点的位移。将式(a)两端对t求导，并利用得36第三十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期五不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：2、亦可将力系向点O简化，即37第三十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期五§12-4功率、功率方程、机械效率1功率力的功率转矩的功率2功率方程或:3机械效率38第三十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期五§12-5势力场、势能、机械能守恒定律1势力场力场,势力场有势力的两个特征:1力是位置的函数,即:2作功与路径无关。2势能势能的定义M0

零势位置39第三十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期五重力势能弹性力势能(以z0

处为零势位置)(以变形量为0时的点为零势位置)万有引力场中的势能若取无穷远处（r1

=∞）为零势位置:第四十页，共六十五页，编辑于2023年，星期五用势能表示有势力的功设质点系在势力场中，从I位置运动到II位置，需计算在此过程中有势力所作的功。取M0为零势位置，则现需求因为有势力作功与路径无关，所以因此:41第四十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期五3机械能守恒定律设质点系受到力全是有势力，或在运动的过程中只有有势力作功，则当质点系从I位置运动到II位置时，由动能定理，有：即:或:42第四十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期五例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s匀速下降，钢索k=3.35×N/m求:轮D突然卡住时，钢索的最大张力卡住前解：43第四十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期五卡住前卡住时：解：44第四十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期五得即由有45第四十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期五§12-6质点系普遍定理的综合应用综合应用1 较复杂的问题需要综合应用两个或两个以上

的定理来求解；2 同一个问题可以用不同的定理来求解。要选 择求解起来比较方便的定理。需要掌握各个定理的特点，以及该定理适合求解什么样的问题。46第四十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期五1基本公式动量定理动量矩定理动能定理守恒情况若若则则若则若则若只有有势力作功，则47第四十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期五动量定理动量矩定理动能定理2特点①

矢量式矢量式标量式② 与F,v,a,t有关与M,,,t有关与F,v,s;M,,有关③ 只与外力主矢 有关与外力、内力都有关④ 与约束力有关与约束力有关与理想约束力无关只与外力主矩有关48第四十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期五3选用定理① 根据待求量分析若需求v~

s，~

，或a~

s，~的关系可考虑选用动能定理若需求v~

t，s~

t

的关系动量定理，质心运动定理若需求~

t，~

t的关系动量矩定理，定轴转动微分方程若需求约束反力质心运动定理，平面运动微分方程， 求加速度部分，可配合用动能定理。49第四十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期五② 根据受力的特点分析若或动量守恒，或质心运动守恒若或动量矩守恒若只有有势力作功机械能守恒③ 根据运动特点分析若刚体作平移质心运动定理，或动能定理若刚体作定轴转动定轴转动微分方程，或动能定理50第五十页，共六十五页，编辑于2023年，星期五① 轮作纯滚动时② 接触处有相对滑动时③ 脱离时，接触处的法向反力④ 突解约束问题，刚体从静止进入运动的瞬时:注意正负号4刚体平面运动微分方程解题的关键，在于正确列出补充方程。51第五十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期五⑤ 列运动学补充方程的方法基点法经常是利用某些点的加速度的方向已知(可判断)。写出质心的运动方程，然后求导数。要注意如不一致，则需要加负号。由动能定理求出，求导后得到。由动量矩定理求出，积分后得到。52第五十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期五例：已知两均质轮m,R;物块m,ｋ，纯滚动，于弹簧原长处无初速释放。求：重物下降h