第十九讲 第十章 杆及板的稳定性

第十九讲第十章杆及板的稳定性第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五ExitNextPre通常是指由甲板纵骨与横梁组成的纵骨架式船的甲板板架这种板架在船体总弯曲的压应力作用下,有可能整体丧失稳定性。这种整体性的失稳是不允许的。现在就来研究这种甲板板架的临界压应力的计算问题。实际船体中甲板板架的结构形式可能有许多种,我们现在只限于讨论一种最简单的情况:即甲板板架的纵骨相同并且是等间距布置的,纵骨两端自由支持;板架的横梁亦是相同和等间距。

只有一根纵骨的情况来看:横梁可以直接化为纵骨的弹性支座,这时板架的稳定性问题就化成了在弹性支座上连续的稳定性问题。§10-4甲板板架的稳定性1、简单甲板板架稳定性的解第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五现在来分析纵骨不只一根的情形。为了推导公式清楚起见,先讨论有三根纵骨的甲板板架(如图10-20)。对于这种板架,根据物理意义来判断,可知横梁对纵骨的影响仍相当于中间弹性支座,问题是弹性支座的刚性系数不容易直接求到。为此我们先进行下面的分析后再来计算弹性支座的刚性系数。

所论的甲扳板架,由于实际上所有的纵骨所受的压力都相同(此压力即为船体总弯曲时之压应力),在这种压力作用下,甲板板架失稳时,实践和理论都证明板架中所有纵骨的弯曲形状都相同。这样,如果我们将板架的纵骨与横梁在相交点分开并加上相互作用的节点力,纵骨将具有图10-20(b)中的情形(横梁的计算图形可参看图（10-21）。第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五第一根纵骨任意一点的挠度：式中R1(1)、R2(1)、R3(1)分别为第一根纵骨上的节点反力;γx1、γx2、γx3为影响系数。同理可写出第二根纵骨与第三根纵骨任一点的挠度为:以上诸式中的影响系数与纵骨所受的压力有关,但因各根纵骨所受的压力相同，故这些系数不随纵骨的号码而变化。因为式中β1、β2为比例常数,所以由前面三式有:这表明板架中每一根横梁上各节点力之间成比例第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五有了这个结论，就可以来计算横梁作为纵骨弹性支座的刚性系数。为此考虑板架中任意一根横梁(如图10-21),梁上受到纵骨作用的三个节点力：R(1)、R(2)

、R(3)（这里我们略去了R的下标)。对于图中所示的情况,由于对称条件,有R(1)=R(3),并设R(2)=βR(1)。暂时先讨论横梁两端是自由支持的情形,查两端自由支持单跨梁的弯曲要素表,可以写出横梁与纵骨相交节点处的挠度式子如下：式中B为横梁的长度;I为横梁的断面惯性矩。根据弹性支座的概念,刚性系数应为横梁节点力与相应的节点挠度之比,即第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五由于R(2)=βR(1)时,v(2)=βv(1),所以由上式可知K1与K2必然相等,即K1=K2=K3,这说明板架中横梁作为纵骨弹性支座的刚性系数全部相同。将以上关系代入挠度式子(10-34)得:从联立方程式中消去β,即可得到一个只包含K的方程式如下：解之,取K的一个小的根,得:计及B=4b,此式b为纵骨的间距,可将上式改写为:这样,我们就求出了纵骨的中间弹性支座的刚性系数。并且由以上的分析可见,对于每一根纵骨,其所有的弹性支座刚性系数都相同,对于不同的纵骨，其弹性支座的刚性系数也都相同，见图10-20(c)第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五(1)不论纵骨数目有多少,只要纵骨是等间距的,并且横梁两端是自由支持的,则所得的弹性支座的刚性系数均可表示为:结论式中b为纵骨的间距。(2)如果横梁两端不是自由支持而是弹性固定端,则亦可用同样方法算出弹性支座的刚性系数,并可用一通式表示如下：式中μ值随横梁两端的弹性固定的程度而变。若横梁两端弹性固定的柔性系数分别为α1、α2,则可按左式将柔性系数化为无因次的相当固定系数v1、v2后,由图10-22中的曲线查出μ的值。第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五显然,当v1=v2=0时,μ=π,这就是横梁两端为自由支持的情形。求得了纵骨的弹性支座的刚性系数后,甲板板架的稳定性问题就成了在弹性支座上连续杆的稳定性问题。于是我们借助于附录G中的曲线就可以来解决板架欧拉力的计算,并可把甲板板架的欧拉力计算公式写成下面的形式：式中f(λ)为λ的函数,即欧拉应力的函数,因为:式中σE为纵骨的欧拉应力,i为纵骨的断面惯性矩;A为纵骨的断面积;l为纵骨的跨长,即横梁的间距。(10-39)由于上节中有关系式,所以我们可借此将公式(10-39)改写为目前计算甲板板架稳定性的通用形式:或(10-43)(10-42)第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五显然,如果弹性支座的刚度大于临界刚度,即K＞K0时,甲板板架的欧拉应力就等于纵骨作为单跨杆时的欧拉应力,即当K＜K0时,则需用公式(10-43)来计算甲板板架的欧拉应力。这个弹性支座的临界刚度—亦就是横梁的临界刚度,可根据公式(10-42)当Xj(λ)=Xj,max时求到,此Xj,max就是当λ=1时Xj的值,因此有:此I0为横梁的临界断面惯性矩。

一般来说提高横梁的惯性矩可以提高甲板板架的稳定性,但是若横梁的惯性矩已超过其临界惯性矩I0,则再加大横梁尺寸对甲板板架的稳定性并无好处。在这种情况下,要提高甲板板架的稳定性只有增大甲板纵骨的尺寸。结论:第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期五以上公式的推导都是假定材料是在弹性范围之内的。如果实际板架失稳时,纵骨的材料已超过了弹性范围,则根据§10-2中关于压杆非弹性稳定性的分析,我们需要将原来公式中的纵骨的弹性模数E用切线模数Et来代替(注意横梁的弹性模数不变),就可以得到相应的临界力计算公式。因为Et=ψE式中ψ为修正系数,所以将前面公式(10-42)中的Ei用ψEi代替后,即得材料在超过弹性范围时的甲板板架稳定性计算公式如下：或相应的柔度计算公式(10-40)亦应改为:式中σ0仍保持公式(10-41)的形式不变。横梁的临界惯性矩公式亦相应变为:以上公式中的修正系数ψ与材料的性质有关,并且其数值直接取决于临界应力σcr的大小。因此实际上算板架临界应力只能用“试算法”。2、非弹性稳定性问题第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期五用简单板架的稳定性公式计算某远洋货轮舯部货舱上甲板板架的临界应力(图10-23)。已知L=24m,B=6.72m,l=2.25m,b=0.75m;甲板厚t=22mm;纵骨为200×44×10球扁钢,面积f=27.36×102mm2;连带板的惯性矩为i=4230×104mm4横梁的断面惯性矩为I=45100×104mm4横梁两端的相当固定系数为v1=0,v2=0.25甲板的材料为高强度钢σy=400N/mm2解:我们应用公式(10-45)来计算甲板板架的临界应力,为比先算出系数μ,因横梁两端的相当固定系数为v1=0及v2=0.25,故由图10-22可得μ=3.24。然后,把已知数据全部代入式(10-45)的右端,得:3、例题第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五再按公式(10-41)算出σ0的值：于是可假定一系列临界应力σcr的值,由附录F表F-l中找出相应的ψ值,从而可以求出一系列的λ值:λ=σcr/(ψσ0)。再由附录G中的图G-7(因为目前n=11,可以用n=10的曲线计算,不致有大的误差)求出不同λ时的Xj值,代入式(10-48)的左端,当ψXj刚好等于0.0518时的λ值,就代表板架的临界应力.上述计算在表10-2中进行.σcr(N/mm2)ψ

ψσ0

λ=σcr/(ψσ0)Xj(λ)ψXj(λ)2803003203400.8400.7500.6400.510720.3643.1548.8437.30.3890.4660.5830.7780.0380.0510.0850.1660.03190.03830.05440.0847表10-2第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五根据下表的结果,用σcr为横坐标,ψXj(λ)为纵坐标,画出σcr—ψXj(λ)的曲线(图10-24),当ψXj(λ)=0.0518时,由曲线上得σcr=318N/mm2,这就是甲板板架的临界应力。第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五

板的中性平衡状态,即板受中面压力或剪力作用并获得小偏移(弯曲)时的平衡状态。板在中性平衡状态时对应的外力就是板的临界力。

板的中性平衡状态可以用微分方程式来描述,其中性平衡微分方程式可借板在复杂弯曲(既有横荷重又有中面力作用)时的弯曲微分方程式导得,为此我们先来导出矩形板的复杂弯曲微分方程式。在第九章中是在没有中面力时已导得刚性板的弯曲微分方程式:现在考虑中面力,设板因中面力在板内产生有中面应力σx,σy及τxy,由于研究的是稳定性问题,故中面应力σx与σy均假定为压应力,这时板的断面中除了弯矩Mx,My,扭矩Mxy,垂向剪力Nx,Ny,之外还有中面压力与剪力。设板在x和y方向单位宽度的中面压力为Tx,Ty,单位宽度的中面剪力为Txy,它们分别为σx,σy及τxy在板断面上的合力,如图10-26(a)所示。§10-5板的中性平衡微分方程式及其解1、矩形板的中性平衡微分方程式第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五由微块的平衡条件可知这些中面力满足以下的关系：∵要建立计及上述中面力的微块静力平衡方程式,为此需考虑徵块在变形后的位置,在图10-26(b)中画出了微块变形后的中面及其受力情况.

现保留弯矩Mx,My,扭矩Mxy及垂向剪力Nx,Ny,间的静力平衡关系为第九章公式(9-39),(9-40),(9-41),仅考虑中面力Tx,Ty,Txy在平衡方程式中产生的项,然后把这些项加到第九章(9-39),(9-40)式中,就可以得到最后的结果。(10-51)第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五事实上Tx,Ty的存在,对x轴及y轴形成了力矩,参看图10-27,有Tx对y轴形成的力矩为:此外有Ty对x轴形成的力矩为:此力矩矢量朝向x轴的正向。此力矩矢量朝向y轴的负向,故式中有负号.Txy的存在相当于板上增加有附加横荷重,参看图10-28,

Txy在z方向的分力为:(10-53)(10-52)第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五略去高阶微量后得:同理可得Tyx在z方向的分力为:将以上两式所表示的力相加,得:现先将(10-52)和(10-53)式中的力矩除以dxdy后分别加到第九章公式(9-39)与(9-40)中等号的左端,并考虑到(9-39)式中的力矩矢量与y轴正向相同,(9-40)式中的力矩矢量与x轴的正向相反,即得:从而有:(10-54)第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五再利用第九章(9-41)式将(10-54)式除以dxdy后与该式等号右边的q合并,并计及关系式(10-51),最后可得:最后利用第九章中的关系式(9-36),代入(10-55)式中即得板的复杂弯曲微分方程式为:当q=0时,即得板在中面力Tx,Ty,Txy作用下的中性平衡方程式如下：(10-57)(10-56)(10-55)第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五ExitNextPre

大多数的船体板可认为在一个方向受压,四周自由支持在刚性周界上矩形板

,因为船体板仅受船总弯曲时沿船长方向的压力,并且四周可认为自由支持在骨架上。

我们讨论这种情况下的矩形板的解(见图l0-29):由于板在x=0及x=b的边上受到均布的压应力σx,因此有Tx=σxt,此处t为板厚.将此Tx及Ty=Txy=0代入方程式(10-57),得:相应的边界条件为:(10-58)(10-59)2、四边自由支持单向受压板的解第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期五满足边界条件的方程式(10-58)的解可用下面的双三角级数表示：将此解代入(10-58)式中,得:由于在荷重有Tx=σxt作用下,上式中任一大括号内的式子为零时,所论的板都可能失去稳定性,所以板失稳时的力可由中求到,此式给出:或而相应的板失稳的形状为:(10-61)第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期五为了求得板的临界应力,必须选择m与n使得式(10-61)中括号内的值为最小.由于当n增大时σx亦随着增大.故必须取n=1,这表示板在失稳时在y方向形成一个半波形,这样(10-62)为了求得σx的最小值,相应于不同的边长比a/b,假定m=1,2,3,…即可画出σx的曲线(见图10-30),此曲线的最低部分(即图中的实线部分)即为所需的临界应力。图中纵坐标k为:从而临界应力为:(10-63)第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五这就是在x方向受压的板条梁的欧拉应力,这说明板在失稳时将按筒形面发生弯曲。在船舶结构计算中,公式(10-64)与(10-66)可用来分别计算纵骨架式板及横骨架式板的临界应力。由图10-30可知:

1)当a/b＞1时,k≈4,所以实用上可取:

2)当a/b＜1时,m=1,k(b/a+a/b)2,所以（10-64）（10-65）3)如a/b＜＜1,或b＞＞a,则在上式中可略去括号内的a2/b2,于是（10-66）纵骨架式板横骨架式板第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五将弯曲刚度D中的E=2.1×105N/mm2及μ=0.3代入,即得通常的计算公式如下：<1>纵骨架式船体板(图10-31a)<2>横骨架式船体板(图l0-3lb)（10-67）（10-68）由此可见纵骨架式船体板与横骨架式船体板相比,如果骨架的间距相同,则前者的临界应力约为后者的四倍,这就说明纵骨架式板在稳定性方面比横骨架式板有明显的优越性第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五ExitNextPre现研究三边自由支持在刚性支座上,另一边完全自由的矩形板,单向受压的稳定性(见图10-32)。对于此种板,其中性平衡方程式将仍为式（10-58)的形式.边界条件为:(10-69)y=b处为自由边,其边界条件为:(10-70)根据这些边界条件,我们可以取板中性平衡时的挠曲面为单三角级数:(10-71)3、三边自由支持，一边完全自由的板第二十四页，共二十八