实际应用型问题

专题四实际应用型问题专题点播实际应用型问题是宁夏中考数学试题中不可缺少的部分，一般涉及方程、不等式、函数及统计的应用，一次函数的应用是主要考点，一次函数应用题综合统计数据的设计是一大亮点，二次函数的应用也有所涉及，方程与不等式的应用一般综合考查，难度不大.解决实际应用型问题基本思路如下：考法示例示例1东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元.(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元；(2)如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，每套悠悠球的售价至少是多少元？方程、不等式综合型问题类型1［解析］(1)设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元，根据“数量=总价÷单价”结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后可得出结论；(2)设每套悠悠球的售价为y元，根据“销售收入-成本=利润”结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.

(2)设每套悠悠球的售价为y元，根据题意，得500÷25×(1+1.5)y-500-900≥(500+900)×25%,解得y≥35.答：每套悠悠球的售价至少是35元.［点评］本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.1.(2018·烟台)为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”.这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元.(1)今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？解：(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得解得答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆.x+y=100，400x+320y=36800,x=60，y=40.

示例2为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资.已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨.若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如下表所示：一次函数、二次函数的实际应用类型2(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案.港口费用(元/吨)甲库乙库A港1420B港108［解析］(1)根据题意表示出从甲仓库和乙仓库分别运往A、B两港口的物资数量，再由等量关系“总运费=从甲仓库运往A港口的费用+从甲仓库运往B港口的费用+从乙仓库运往A港口的费用+从乙仓库运往B港口的费用”列式并化简得出函数关系式；最后根据运送物资数量非负列出不等式组可得x的取值范围.(2)由(1)中所得函数的增减性可求出最小值，从而写出运输方案.［方法示例］设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，则可以用以下图示法分析：y=14x+20(100-x)+10(80-x)+8(x-30)=-8x+2560(30≤x≤80).［答案］解：(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，则从甲仓库运送到B港口的物资为(80-x)吨，从乙仓库运送到A港口的物资为(100-x)吨，从乙仓库运送到B港口的物资为50-(80-x)=x-30(吨).根据题意，得y=14x+20(100-x)+10(80-x)+8(x-30)=-8x+2560，x的取值范围是30≤x≤80.(2)由(1),得y=-8x+2560.∵-8<0，∴y随x增大而减小，∴当x=80时，y最小=-8×80+2560=1920.答：把甲仓库的80吨物资全部运送到A港口，再从乙仓库运送20吨到A港口，乙仓库的余下的50吨物资全部运送到B港口，费用最低，最低费用为1920元.示例3某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系，部分对应值如下表：(1)求y与x之间的函数表达式；(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用60元.当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大利润.(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出)x(元)180260280300y(间)100605040［解析］(1)设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0)，由点的坐标(180，100)、(260，60)，利用待定系数法即可求出该一次函数表达式.(2)设房价为x元(180≤x≤300)时，宾馆当日利润为w元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出”即可得出w关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题.［方法示例］本题第(2)问可采用列表法分析：入住房间数：y空房间数：(100-y)总计收入(元)yx0yx支出(元)100y60(100-y)100y+60(100-y)当日利润(元)w=yx-［100y+60(100-y)］

180k+b=100，260k+b=60，

2.(2018·怀化)某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元.(1)求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.解：(1)根据题意，得y=90x+70(21-x)，即y=20x+1470.(2)∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，∴21-x＜x，解得x＞10.5.∴10.5<x≤21.又y=20x+1470，且x取整数，∴当x=11时，y的最小值为1690，∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元.3.在“习近平新时代”精神的指引下，某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品.已知研发、生产该种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为y=-2x+140(40≤x<60)，-x+80(60≤x≤70).(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是多少?(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围.解：(1)当40≤x<60时，W=(x-30)(-2x+140)=-2x2+200x-4200；当60≤x≤70时，W=(x-30)(-x+80)=-x2+110x-2400.(2)当40≤x<60时，W=-2x2+200x-4200=-2(x-50)2+800，∴当x=50时，W最大=800.当60≤x≤70时，W=-x2+110x-2400=-(x-55)2+625，∴当x>55时，W随x的增大而减小，∴当x=60时，W最大=-(60-55)2+625=600.∵800>600，∴当x=50时，W取得最大值800.∴该产品的售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元.(3)当40≤x<60时，令W=750，得-2(x-50)2+800=750，解得x1=45,x2=55.根据二次函数的图象和性质，此时，若企业销售该产品的的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围是45≤x≤55.示例4(2012·宁夏)某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.(1)该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x(瓶)，销售酸奶的利润为y(元)，写出这一天销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式.为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？函数与统计综合型问题类型3(2)小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；(3)小明根据(2)中10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明.每天售出瓶数17181920频数1225［解析］（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于或等于0得出x的取值范围；（2）根据频数分布表得出总数，进而得出平均数；（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，进而得出总利润，比较即可得出答案.［答案］解：(1)由题意知，这一天销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式为y=5x-60.当5x-60≥0时,x≥12.答：当天至少应售出12瓶酸奶,超市才不亏本.(2)在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，∴这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为(25+30×2+35×2+40×5)÷10=35.5.(3)小明说的有道理.由(2)知，在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元，而每天购进19瓶销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式为y=5x-57.在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，总获利为28+33×2+38×7=360(元).∵360＞355，∴小明说的有道理.［点评］此题主要考查了一次函数的应用以及加权平均数求法，根据已知得出y与x的函数关系式是解题关键.4.(2014·宁夏)某花店计划下个月每天购进80枝玫瑰花进行销售，若下个月按30天计算，每售出1枝玫瑰花获利润5元，未售出的玫瑰花每枝亏损3元.以x(0＜x≤80)表示下个月内每天售出的枝数，y(单位：元)表示下个月每天销售玫瑰花的利润.根据历史资料，得到同期下个月内市场销售量的频率分布直方图(每个组距包含左边的数，但不包含右边的数)如图所示：(1)求y关于x的函数关系式；(2)根据频率分布直方图，计算下个月内销售利润少于320元的天数；(3)根据历史资料，在70≤x＜80这个组内的销售情况如下表：计算该组内平均每天销售玫瑰花的枝数.销售量/枝707274757779天数123432

精题精练1.(2018·泸州)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？

(2)设购买甲图书本数为x，则购买乙图书的本数为2x+8，由题意，得50x+20(2x+8)≤1060，解得x≤10，故2x+8≤28.答：该图书馆最多可以购买28本乙图书.2.(2018·安顺)某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1280(1+x)2=1280+1600，解得x=0.5或x=-2.5(舍去).答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励.∵8×1000×400=3200000<5000000，∴a>1000.根据题意，得1000×8×400+(a-1000)×5×400≥5000000，解得a≥1900.答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.3.(2018·聊城)建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方.(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？(2)在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？解：(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意，得150(x+y)=120，110x+(40+110)y=103.2.解得x=0.42，y=0.38.答：甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方.(2)设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方能保证按时完成任务.根据题意，得110×0.42+(40+110)×(0.38+a)≥120,解得a≥0.112.答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.4.(2018·成都)为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元.(1)直接写出当0≤x≤300和x>300时，y与x的函数关系式；(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？(2)根据题意，得x≥200，x≤2(1200-x)，解得200≤x≤800.设甲、乙两种花卉的种植总费用为W元.解：(1)y=130x(0≤x≤300)，80x+15000(x>300).①当200≤x≤300时，W=130x+100(1200-x)=30x+120000.当x=200时，W最小=126000元.②当300<x≤800时，W=80x+15000+100(1200-x)=-20x+135000.当x=800时，W最小=119000元.∵119000<126000，∴当x=800时，总费用最少，此时乙种花卉种植面积为1200-800=400（m2）.答：应分配甲种花卉种植面积为800m2，乙种花卉种植面积为400m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元.5.(2018·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为y=x+4(1≤x≤8,x为整数),-x+20(9≤x≤12,x为整数),每件产品的利润z(元)与月份x(