第一型曲面积分计算

第五节

第一型曲面积分的计算一、第一型曲面积分的概念二、曲面的面积三、第一型曲面积分的计算一、第一型曲面积分的概念若曲面S

是光滑的,

它的面密度为连实例续函数r(

x,

y,

z),

求它的质量.所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.n并作和

f

(xi

,hi

,zi

)

DSi

,

如果当各小块曲面i

=1的直径的最大值l

fi

0时,这和式的极限存在,则称此极限为函数f

(x,y,z)在曲面S上对面积的曲面积分或第一型曲面积分.1.定义设曲面S是光滑的,函数f

(x,y,z)在S上有界,把S分成n小块DSi

（DSi

同时也表示第i

小块曲面的面积）,设点(xi

,hi

,zi

)为DSi

上任意取定的点,作乘积f

(xi

,hi

,zi

)DSi

,记为

f

(

x,

y,

z)dS

.SSn即

f

(x,y,z)dS

=lim

f

(xi

,hi

,zi

)DSilfi

0

i

=1其中f

(x,y,z)叫被积函数，S叫积分曲面.2.对面积的曲面积分的性质若S可分为分片光滑的曲面S1及S2

,则

f

(

x,

y,

z)dS

=

f

(

x,

y,

z)dS

+

f

(

x,

y,

z)dS

.S

S1

S

2二、曲面的面积设有界曲面S的方程为z=z(x,y),为了能求出它的面积，把曲面S分成n个小曲面DSi

(DSi同时也表示第i小块曲面

的面积）,它们在xoy面上的投影区域分别为Dsi，在每

个DSi任取一点Mi(xi

,hi

,zi),作曲面在点Mi的切平面IIi

,并在IIi上取一小块DIIi

，使得DIIi

与DSi在xoy面上的投影都是Dsi，这样当Dsi的直径很小时，DIIi

的面积近似等于DSi的面积，因此有n

nlfi

0i=1

i=1S

=

DSi

=

limDIIi计算DIIi由于切平面DIIi

的法向量就是曲面在点Mi处的法向量，取法向量与z轴的夹角为锐角g.则从而，DIIi

与它在xoy面上的投影Dsi有如下关系1icos

g

=>

01+

z2

(x

,h

)

+

z2

(x

,h

)x

i

i

y

i

iiiiicos

gDsDII

==

1+

z2

(x

,h

)

+

z2

(x

,h

)Dsx

i

i

y

i

ilim于是nniilfi

0i=1i=1S

=

DS

=limnixyi=1DII

=1+

z2

(x

,h

)

+

z2

(x

,h

)Dsx

i

i

y

i

i=1+

z2

(x,

y)

+

z2

(x,

y)dsx

ylfi

0DxyDxyf

[

x,

y,

z(

x,

y)] 1

+

z¢2

+

z¢2

dxdy;x

y三、第一型曲面积分的计算按照曲面的不同情况分为以下三种：1.

若曲面S

:

z

=

z(

x,

y)则

f

(x,y,z)dS

=Sf

[

x,

y(

x,

z),

z] 1

+

y¢2

+

y¢2

dxdz;x

z

f

(

x,

y,

z)dS

=S则y

zDyzf

[

x(

y,

z),

y,

z]

1

+

x¢2

+

x¢2

dydz.

f

(

x,

y,

z)dS

=SDxz3.

若曲面S：x

=x(y,z)则计算

(

x

+

y

+

z)ds

,

其中S为平面例1Sy

+

z

=

5被柱面x

2

+

y

2

=

25所截得的部分.解积分曲面S：z

=

5

-

y

,投影域：D

=

{(

x,

y)

|

x2

+

y2

£

25}xy故

(x

+y

+z)dsS=2

(

x

+

y

+

5

-

y)dxdy

=Dxydq02p

50(5

+

r

cos

q)rdr=

22

(5

+

x)dxdyDxy=

125

2p.2dxdy,dS

=

1

+

z¢x

2

+

z¢y

2dxdy=

1

+

0

+

(-1)2dxdy

=例

2

计算|

xyz

|

dS

,S其中S

为抛物面z

=x2

+y

2

（0

£

z

£

1）.解

依对称性知：

抛物面z

=

x2

+

y2关于z轴对称，被积函数|

xyz

|关于xoz、yoz

坐标面对称有S=4

成立，(S1为第一卦限部分曲面)S1zyxSS1dS

=

1

+

z¢x

2

+

z¢y

2dxdy=

1

+

(2

x)2

+

(2

y)2dxdy原式=

|

xyz

|

dS

=

4

xyz

dS=

4

xy(

x2

+

y2

) 1

+

(2

x)2

+

(2

y)2

dxdyD¢xy其中D¢xy

=

{(

x,

y)

|

x

2

+

y

2

£

1,

x

‡

0,

y

‡

0}利用极坐标x

=

r

cos

t

,y

=

r

sin

t

,

102201

+

4r

2

rdrdt

r

cos

t

sin

t

r=

4p21050sin

2tdtr

1

+

4r

2

dr=

2p2令u

=1

+4r

251414=4205

-

1.u(u

-

1)2

du

=

125计算

xdS

,

其中S是圆柱面

x

2

+

y

2

=

1,S平面z

=x

+2及z

=0所围成的空间立体的表面.例3解+

+

S

2

S

3

=

S S

1其中S1：z

=0,S3：

x

2

+

y

2

=

1.S2：

z

=

x

+

2,投影域D1：

x

2

+

y

2

£

1显然

xdS

=

xdxdy

=0,S1

D11

+

1dxdy

=

0,

xdS

=

xS2

D1讨论S3时,

将投影域选在xoz

上.（注意：y

=–1

-x

2

分为左、右两片）S3S31

S32

xdS

=

xdS

+

xdS（左右两片投影相同）Dxzx

1

+

y¢2

+

y¢2

dxdzx

z=

2xozDxzx

2=

2

x

1

+

2

dxdz1

-

x1-10=

2x

+2dzdx1

-

x2x=

p,\

xdS

=

0

+

0

+

p

=

p.SSx

2

+y2

+z

2

=a

2的八面体|

x

|

+|

y

|

+|

z

|=a表面.例4

计算

(

x

2

+

y2

+

z

2

)dS

,

其中S为内接于球面解被积函数f

(x,y,z)=x

2

+y2

+z

2

,关于坐标面、原点均对称,积分曲面S也具有对称性,故原积分

=

8S

S1,(其中S1表示第一卦限部分曲面)S1：x

+y

+z

=a,

即z

=a

-x

-y3dxdydS

=

1

+

z

2

+

z

2

dxdy

=x

ySS1

(

x

2

+

y2

+

z

2

)dS

=

8

(

x2

+

y2

+

z2

)dS=

8[

x2

+

y2

+

(a

-

x

-

y)2

]

3dxdyDxy=

2 3a4

.四、小结对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.（按照曲面的不同情况分为三种）思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,试说明这个因子的几何意义.x

y有因子1

+z2

+z2

,思考题解答11

+

z2

+

z2x

ydS

是曲面元的面积,

cos(n,

z)

=x

y的倒数.故

1

+

z2

+

z2

是曲面法线与

z轴夹角的余弦一、填空题:1、已知曲面

的面积为a

,则

10ds

=

；Dyz2、

f

(

x,

y,

z)ds

=

f

(

x(

y,

z),

y,

z)

dydz

；3、设

为球面x

2

+

y

2

+

z

2

=

a

2

在xoy

平面的上方部分,则

(

x

2

+y

2

+

z

2

)ds

=

；4、

3zds

=

,其中

为抛物面z

=

2

-

(

x

2

+

y

2

)在xoy面上方的部分；x

2

+

y

25、(

x

2

+y

2

)ds

=

,其中

为锥面z

=及平面z

=1所围成的区域的整个边界曲面.练习题二、计算下列对面积的