九年级数学上册1.2矩形的性质与判定第二课时教学讲义北师大版

矩形性质与判定（2）一个角是直角有一个角是直角的平行四边形.矩形平行四边形矩形的两条对角线相等且互相平分.矩形的对边平行且相等.矩形的四个角都是直角.边对角线角矩形的定义矩形的性质新课引入如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？新课引入

问题（2）:

当两条对角线

的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？

问题（1）:

随着

的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？对角线相等的平行四边形是矩形.猜想：新课讲解四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.四边形ABCD是矩形.已知:求证:对角线相等的平行四边形是矩形吗？ABCD新课讲解证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,AB平行DC.又∵BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB∵AB平行DC，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=×180°=90°.∴平行四边形ABCD是矩形(矩形的定义).新课讲解ABCDAC=BD四边形ABCD是矩形矩形判定方法一对角线相等的平行四边形是矩形.ABCD新课讲解李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：你能证明上述结论吗？有三个角是直角的四边形是矩形.新课讲解定理有三个角是直角的四边形是矩形证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.DBCA∴四边形ABCD是矩形.新课讲解有三个角是直角的四边形是矩形∠A=∠B=∠C=90°四边形ABCD是矩形DBCA矩形判定方法二新课讲解例2如图在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.

求□ABCD的面积.ABCDO例题分析SABCD∴=AB·BC

=4×4

=16解：∵ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，BD=2OB.∵OA=OB，∴AC=BD，∴ABCD是矩形。在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=2AO=8，∴BC=例题分析例3如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.解∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=DO=

BD（矩形的对角线相等且互相平分）.∠BAD=90°（矩形的四个都是直角）.∵ED=3BE，∴BE=OE.又∵AE⊥BD，∴AB=AO.∴AB=AO=BO.例题分析你还有其他的解法吗？和同学交流即△ABO是等边三角形.∴∠ABO=60°.∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.在Rt△AED中，∵∠ADE=30°，∴AE=AD=×6=3.例题分析例4如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.

例题分析

×180°

=90°.在△ABC中，∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°.即四边形ADCE是矩形

（∠BAC+∠CAM）=证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=

∠CAM.∴∠DAE=∠CAD+∠CAN

=

例题分析在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图）（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.拓展延伸课本P16、P18