第四章稳定性分析

第四章稳定性分析第一页，共十五页，编辑于2023年，星期五将各项系数，按下面的格式排成劳斯表一、劳斯表前一页后一页第二页，共十五页，编辑于2023年，星期五这样可求得n+1行系数如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。劳斯稳定判据前一页后一页二阶、三阶系统第三页，共十五页，编辑于2023年，星期五

已知一调速系统的特征方程式为例试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。前一页后一页第四页，共十五页，编辑于2023年，星期五已知某调速系统的特征方程式为例求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表)1(167005.41)1(16705175.410)1(16705.41051710123KSKSKSS++-.+由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：前一页后一页第五页，共十五页，编辑于2023年，星期五劳斯判据特殊情况

劳斯表某一行中的第一项等于零，而其余各项不全为零（至少有一个不为零）是以一个很小的正数e来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列1解决的办法前一页后一页若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定如果第一列e上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属(不)稳定第六页，共十五页，编辑于2023年，星期五已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。例解：列劳斯表前一页后一页01234=+++3SSS26S+(6e-2)/e->-)(062311234SSSSeS1011不稳定，有两个根在S平面右半部第七页，共十五页，编辑于2023年，星期五劳斯表中出现全零行

用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。2解决的办法这些对称分布的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的，所以辅助多项式的阶数总是偶数前一页后一页表明有对称分布的根这些根都是偶数，所以可以辅助多项式的阶书数总是偶数第八页，共十五页，编辑于2023年，星期五例如，一个控制系统的特征方程为列劳斯表显然这个系统处于临界(不)稳定状态。

sssF16122)(24++=0)4)(2(2)86(216122)(222424=++=++=++=sssssssF前一页后一页824第九页，共十五页，编辑于2023年，星期五二、劳斯判据的应用实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。代入原方程式中，得到以稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。12解决的办法设右侧。前一页后一页第十页，共十五页，编辑于2023年，星期五用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。

例s1s1-0解：列劳斯表第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。前一页后一页第十一页，共十五页，编辑于2023年，星期五令代入特征方程：式中有负号，显然有根在的右方。列劳斯表第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。前一页后一页第十二页，共十五页，编辑于2023年，星期五已知一单位反馈控制系统如图，试回答例时，闭环系统是否稳定？单位反馈控制系统方块图时，闭环系统的稳定条件是什么？

排劳斯表

第一列均为正值，S全部位于左半平面，故

时，闭环系统的特征方程为解：系统稳定前一页后一页第十三页，共十五页，编辑于2023年，星期五开环传递函数闭环特征方程为列劳斯表前一页后一页第十四页，共十五页，编辑于2023年，星期五利用劳斯稳定判据可确定系统一个或