第四章矩阵论

第四章矩阵论1第一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1矩阵的概念4.1

矩阵的概念及其运算2矩阵的线性运算4矩阵的转置3矩阵的乘法2第二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五引例产品分配问题：某厂向三个商店发送四个产品.产品产品产品产品1234店1店2店3单单件价重产品1产品2产品3产品43第三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1矩阵概念简记为:

4第四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五矩阵相等若两个矩阵行数相同,列数也相同,则称为同型矩阵.矩阵的相等则称A与B相等,记作A=B.零矩阵0所有元素全是零的矩阵.5第五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五特殊矩阵特殊矩阵(1)n阶方阵(2)行矩阵(又称为行向量)(3)列矩阵(又称为列向量)6第六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五对角阵

(4)方阵中从左上角元素到右下角元素的元素族称为主对角线.主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵，简称对角阵.记为7第七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五上、下三角阵(5)单位矩阵主对角线上的元素全是1的对角阵(6)上三角阵主对角线下方所有元素均为零的方阵;

下三角阵主对角线上方所有元素均为零的方阵.8第八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五2矩阵线性运算加法

：两同型矩阵之和为运算律:

9第九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五续数乘

：运算律:

给定矩阵

及数,10第十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五3矩阵的乘法的乘积为其中

A的第i行

B的第j列

注意:

A的列数=B的行数!11第十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五矩阵乘法的性质结合律(AB)C=A(BC).

(2)(AB)=(

A)B=A(B)，(为数).

(3)右分配律

A(B+C)=AB+AC，

左分配律(B+C)A=BA+CA.12第十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例1

则

可见:AB=OA=O或B=O

BA=CAB=C

AB=BA

13第十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五注解特别注意:(1)一般情形AB

BA

若同阶方阵A,B满足AB=BA,则称A

与B

可交换.(2)矩阵乘法无消去律

AB=OA=O或B=O.AB=ACB=C.(AB)C=OA=B.14第十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五续(1)单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1.简写成EA=AE=A.

E与任何同阶方阵可交换.

(2)纯量矩阵

可见,纯量矩阵E与任何同阶方阵都可交换,它将数与矩阵之积转换为矩阵与矩阵之积.

15第十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五方阵的幂运算律16第十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五续思考:设A,B为n阶方阵,对吗？仅当A,B可交换时等号才成立.反例:17第十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五4矩阵的转置运算律:18第十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵反对称矩阵若n阶方阵A满足

则称A为对称矩阵.

A为对称矩阵当且仅当：若n阶方阵A满足

则称A为反对称矩阵.

A为反对称矩阵当且仅当：19第十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五证例2E为n阶单位矩阵,

证明H为对称矩阵,且所以H为对称矩阵.

20第二十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1矩阵行列式的定义4.2

方阵的行列式2矩阵行列式的性质

21第二十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五二阶行列式的定义行列式的元素

行标列标对角线法则22第二十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五三阶行列式的定义不同行不同列元素乘积之代数和！

加减号的规律:23第二十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1n

阶行列式的定义

式1)当n=2时,

2)当n

>2时,假定n-1阶行列式已定义.所在行和列后所得的n–1阶行列式.则n阶行列式定义为：24第二十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五续n阶行列式

中划去

所在的行和列后所得的n–1阶行列式的余子式;

的代数余子式.

因此,n阶行列式25第二十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例3行列式和代数余子式分别为：26第二十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例4

求下三角行列式之值27第二十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五2性质拉普拉斯展开定理

设Aij

为行列式D中元素aij的代数余子式,则28第二十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例5

求上三角行列式之值29第二十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例6利用对角线法则计算得：30第三十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五变换性质1交换行列式的两行(列),行列式变号.性质1例如

若

则推论:行列式D中有两行(或两列)完全相同

D=0.31第三十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五变换性质2性质2例如

若

则D中第i行乘以k得行列式D1

(j列)推论:同一行(列)的公因子可提到行列式符号外.32第三十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五续——推广33第三十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五变换性质3性质3把行列式的某行(列)的k倍加到另一行(列),

行列式的值不变.推论

D中有两行(列)元素成比例

34第三十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五分解性质性质4对行有类似结果!35第三十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五注解36第三十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例7计算行列式37第三十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例8

计算解法1.

D

38第三十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五

计算解法2.

D

39第三十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五方阵的行列式由n阶方阵A的元素构成的行列式称为方阵A

的行列式,

定义运算律40第四十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例9设

解法1.解法2.

设A为n阶方阵,

1或–1.

41第四十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1矩阵的初等变换与初等矩阵4.3

矩阵的秩与矩阵的逆2矩阵的等价与阶梯矩阵4矩阵的逆3矩阵的秩42第四十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1矩阵的初等变换与初等矩阵下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(列)初等行变换与初等列变换统称为初等变换.43第四十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例1044第四十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五初等矩阵的定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等矩阵(1)对调单位矩阵E的第i行(列)与第j行(列)E(i,j)E(i(k))(3)以数k乘第j行(i列)加到第i行(j列)上E(ij(k))45第四十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五初等矩阵—对调E第i

行(列)与第j

行(列)E(i,j)作用

对调A的第i行与第j行.

对调A的第i列与第j列.46第四十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例11给定矩阵则有直接计算可得：47第四十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五初等矩阵E(i(k))作用—

对A施行运算—对A施行运算

48第四十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五初等矩阵—第i

行(j列)加第j行(i列)

的k

倍E(ij(k))作用—对A施行运算—对A施行运算49第四十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例12给定矩阵则有50第五十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五计算得所以有：

用一系列初等矩阵左乘矩阵A等价于对A施加一系列初等行变换，用一系列初等矩阵右乘矩阵A等价于对A施加一系列初等列变换.51第五十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五2矩阵的等价与(行)阶梯矩阵设矩阵A经过有限次初等变换化成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记为例如，矩阵等价.因为52第五十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五(行)阶梯矩阵—定义满足下列条件的矩阵称为（行）阶梯矩阵.(1)每行第一个非零元素的列标大于或等于其行标.(2)每行第一个非零元素的列标大于其上一行第一个非零元素的列标.例如，初等行变换可将任意一个矩阵变为阶梯形矩阵！(3)所有零行（即元素全为零的行）均在非零行的下方.

53第五十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五行标准形矩阵称满足下列条件的阶梯矩阵为行标准形矩阵：(1)各非零行的第一个非零元（即首非零元）都是1；(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零.例如，矩阵初等行变换可将任意一个矩阵变为行标准形矩阵！是行标准形矩阵.54第五十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五3矩阵的秩引理1、任何一个矩阵经过有限次行初等变换可以化成（行）阶梯形矩阵.

称与矩阵A等价的阶梯形矩阵的非零行数必相等.2、与矩阵A等价的任何两个阶梯形矩阵的

非零行数为矩阵

A的秩,记作r(A).规定:零矩阵的秩为0.矩阵秩的定义

55第五十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五矩阵秩的性质

设A为n阶方阵,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵;若r(A)<n,则称A为降秩矩阵.(2)矩阵的初等变换不改变矩阵的秩！即(1)行阶梯矩阵的秩等于它的非零行数.56第五十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例13求矩阵A的秩解因为所以，r(A)=2.57第五十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五4矩阵的逆对n阶方阵A,

若存在n阶方阵B,使得则称A

可逆,B为A的逆矩阵.

命题若A可逆

A的逆矩阵惟一.

证则于是有证毕.定义:58第五十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五矩阵逆的性质59第五十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例14求矩阵的逆矩阵.解构造矩阵则60第六十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五矩阵的逆求法例15解61第六十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五因此有62第六十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1线性方程组可解条件4.4

线性方程组2线性方程组的解法63第六十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五概述一般形式(1)系数矩阵常向量

未知向量64第六十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五线性方程组的矩阵形式与向量形式矩阵形式向量形式(2)(3)65第六十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五几个概念若有常数

，使得方程组(1)中的m个式若常向量b=0,则称为方程组(1)的解.子均成为恒等式，方程组(1)有解,就称它是相容的,

方程组(1)无解,就称它是不相容的.则称方程组(1)为齐次线性方程组，否则，称方程组(1)为非齐次线性方程组.即(4)66第六十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1线性方程组的可解条件引例求解解①②③67第六十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五引例（续）68第六十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五69第六十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五70第七十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五可解条件(1)无解线性方程组(2)有惟一解(3)有无穷多解齐次线性方程组一定有解.(1)有惟一零解(2)有非零解71第七十一页，共