新北师大版7.1基本立体图形简单几何体的再认识学案

第一节基本立体图形、简单几何体的再认识【考试要求】1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，，会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题．1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征图形结构特征棱柱两个面互相平行，其余各面是四边形，侧棱互相平行棱锥底面是多边形，侧棱交于一点棱台上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点(2)旋转体的结构特征图形结构特征圆柱两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形圆锥底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形圆台上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形球过球心的截面是大小相等的圆斜二测画法主要用于画几何体的直观图，它的具体步骤是：(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半．(5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[常用结论]1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径(1)外接球：球心是正方体的中心；半径r＝eq\f(\r(3),2)a(a为正方体的棱长).(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝eq\f(a,2)(a为正方体的棱长).(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r＝eq\f(\r(2),2)a(a为正方体的棱长).2．正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝eq\f(\r(6),4)a(a为正四面体的棱长).(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝eq\f(\r(6),12)a(a为正四面体的棱长).[思考辨析]判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．()(3)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．()(4)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×[对点查验]1．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是()A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱答案C2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq\r(2)cm2，则原平面图形的面积为．答案8cm2解析法一依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面图形的面积为8cm2.法二依题意可知，S直观图＝2eq\r(2)cm2，故S原图形＝2eq\r(2)S直观图＝8cm2.3．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(eq\r(7)×109m×109m3C由题意S1＝140km2＝140×106m2，S2＝180km2＝180×106m2，h)m＝9m，代入棱台体积V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋eq\r(S1S2))h.由公式可得：V≈×104.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为．答案eq\f(2,3)5．把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为．答案eq\f(8,π)或eq\f(4,π)解析设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.当2πr＝4，l＝2时，r＝eq\f(2,π)，h＝l＝2，所以V圆柱＝πr2h＝eq\f(8,π).当2πr＝2，l＝4时，r＝eq\f(1,π)，h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝eq\f(4,π).综上所述，这个圆柱的体积为eq\f(8,π)或eq\f(4,π).考点一基本立体图形命题点1结构特征(多选题)下列说法错误的是()A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体ABC选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．思维升华空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．命题点2直观图(2022·全国模拟预测)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是()A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等边三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C将其还原成原图，如图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，从而AB＝BC＝eq\r(2)，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．故选C.思维升华(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形．命题点3展开图(2022·海南海口二模)如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为()A．eq\f(7\r(3),3)π B．eq\f(7\r(3),6)πC．eq\f(7\r(15),12)π D．eq\f(7\r(15),24)πD圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为α，则其面积为eq\f(1,2)×α×42－eq\f(1,2)×α×22＝3π，得α＝eq\f(π,2)，所以扇环的两个圆弧长分别为π和2π，设圆台的上底半径，下底半径分别为r1r2，圆台的高为h，则2πr1＝π，2πr2＝2π，所以r1＝eq\f(1,2)，r2＝1，又圆台的母线长l＝4－2＝2，所以圆台的高为h＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),2)，所以圆台的体积为V＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋12＋\f(1,2)×1))×eq\f(\r(15),2)＝eq\f(7\r(15),24)π.故选D.思维升华多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．对点强化1(1)(多选题)下列说法正确的是()A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径BCD直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥，A不正确；以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥，B正确；因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形，C正确；如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径)，D正确．(2)(2022·浙江镇海中学模拟预测)如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原图形的面积为()A．1＋eq\f(\r(2),2) B．2＋eq\f(\r(2),2)C．2＋eq\r(2) D．1＋eq\r(2)B由题得BC＝1＋eq\f(\r(2),2)，所以S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).故选B.(3)(2022·广东珠海期末)如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为16eq\r(3)cm2的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为cm2.答案8eq\r(3)π解析设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a，由该圆锥轴截面的面积为16eq\r(3)，得eq\f(1,2)a2sin60°＝16eq\r(3)，所以a＝8，所以该圆锥底面圆半径为4，高为4eq\r(3).设圆锥中放置的圆柱的底面圆半径为x，高为h，其中0<x<4，0<h<4eq\r(3).如图所示：由CD∥OB可得：eq\f(CD,OB)＝eq\f(AC,AO)，即eq\f(x,4)＝eq\f(4\r(3)－h,4\r(3))，所以h＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－x)).所以圆柱冰块的侧面积为S＝2πx·h＝2πx·eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－x))＝－2eq\r(3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))eq\s\up12(2)＋8eq\r(3)π.由二次函数的性质可得：当x＝2时，S＝8eq\r(3)π最大．考点二表面积与体积命题点1表面积(2022·河南驻马店期末)已知三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为6，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，A．36eq\r(3) B．54eq\r(3)C．36＋36eq\r(3) D．36＋54eq\r(3)D由于三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均等于6，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，所以点A1在底面内的投影点O必定在底部正三角形ABC的∠BAC所以A1O⊥平面ABC，延长AO交BC于点D，D为BC的中点，所以AD⊥BC，A1O⊥BC，所以AD∩A1O＝O，所以BC⊥平面A1AO，又因为A1A⊂平面A1AO，所以BC⊥AA1，又因为AA1∥BB1，∴BC⊥BB1，所以矩形B1BCC1的面积为6×6＝36，正三角形ABC的面积为：eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，四边形A1ABB1，A1ACC1的面积为：eq\f(1,2)×6×6×sin60°×2＝18eq\r(3)，所以该三棱柱的表面积等于18eq\r(3)×2＋36＋9eq\r(3)×2＝36＋54eq\r(3).故选D.思维升华(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．命题点2体积(2022·天津卷)如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为()A．23B．24C．26 D．27D该几何体由直三棱柱AFD－BHC及直三棱柱DGC－AEB组成，作HM⊥CB于M，如图，因为CH＝BH＝3，∠CHB＝120°，所以CM＝BM＝eq\f(3\r(3),2)，HM＝eq\f(3,2)，因为重叠后的底面为正方形，所以AB＝BC＝3eq\r(3)，在直棱柱AFD－BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM，由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为I，则VI－BCDA＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×3eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\f(27,2)，VAFD－BHC＝eq\f(1,2)×3eq\r(3)×eq\f(3,2)×3eq\r(3)＝eq\f(81,4)，则该几何体的体积为V＝2VAFD－BHC－VI－BCDA＝2×eq\f(81,4)－eq\f(27,2)D.思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积对点强化2(1)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若eq\f(S甲,S乙)＝2，则eq\f(V甲,V乙)＝()A．eq\r(5) B．2eq\r(2)C．eq\r(10) D．eq\f(5\r(10),4)C如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2πr1＝4π，2πr2＝2π，则r1＝2，r2＝1，由勾股定理，得h1＝eq\r(5)，h2＝2eq\r(2)，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))h1,\f(1,3)πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))h2)＝eq\f(req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))h1,req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))h2)＝eq\f(22×\r(5),12×2\r(2))＝eq\r(10).故选C.(2)(2022·河南安阳模拟预测)已知圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，AB⊥CD，则四面体ABCD的体积为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．1 D．eq\f(4,3)D如图所示：连接CO1DO1，因为AB⊥CD，AB⊥O1O2，且O1O2∩CD＝O2，所以AB⊥平面CDO1，＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).故选D.考点三与球有关的切、接问题命题点1简单几何体的外接球(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(3)和4eq\r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100π B．128πC．144π D．192πA设正三棱台上下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，所以2r1＝eq\f(3\r(3),sin60°)，2r2＝eq\f(4\r(3),sin60°)，即r1＝3，r2＝4，设球心到上下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝eq\r(R2－9)，d2＝eq\r(R2－16)，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|eq\r(R2－9)－eq\r(R2－16)|＝1或eq\r(R2－9)＋eq\r(R2－16)＝1，解得R2＝25符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A.命题点2简单几何体的内切球(2022·北京二中模拟)如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为()A．64π B．40πC．84π D．72πD设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r＝3，圆锥的高h，则：R＝eq\f(r,tanα)＝eq\f(3,tanα)，h＝R·tan2α＝eq\f(3,tanα)·tan2α＝eq\f(6,1－tan2α)，圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πR2h＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,tanα)))eq\s\up12(2)×eq\f(6,1－tan2α)＝18π×eq\f(1,（tan2α）（1－tan2α）)，而0°<2α<90°，0°<α<45°，所以0<tanα<1，1－tan2α>0，又因为：tan2α＋(1－tan2α)＝1定值，所以(tan2α)(1－tan2α)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(tan2α＋1－tan2α,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，当且仅当tan2α＝1－tan2α，即tanα＝eq\f(\r(2),2)时，所以Vmin＝18π×eq\f(1,\f(1,2)×\