知识讲解高考总复习：古典概型与几何概型(提高)

高考总复习：古典概型与几何概型【考纲要求】1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。【知识网络】随机事件的概率随机事件的概率古典概型几何概型应用【考点梳理】知识点一、古典概型1.定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。2.古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。所以4.求古典概型的概率的一般步骤： （1）算出基本事件的总个数；（2）计算事件A包含的基本事件的个数；（3）应用公式求值。5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。知识点二、几何概型1.定义：事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。3.几何概型的概率计算公式：随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。所以其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，表示构成事件A的区域的几何度量。要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量.对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.【典型例题】1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=.（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：（4，4）.所以P（B）=.【总结升华】在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式【例4】在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.【解析】设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件． （1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的基本事件个数为3，故．（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的基本事件个数为9，故．【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.举一反三：【变式】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.【解析】在个小正方体中：一面涂有色彩的有个，两面涂有色彩的有个，三面涂有色彩的有个，所以⑴一面涂有色彩的概率为；⑵两面涂有色彩的概率为；⑶有三面涂有色彩的概率【例5】某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）围棋社戏剧社书法社高中4530初中151020学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.(I)求这三个社团共有多少人？(II)书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.【思路点拨】（I）根据围棋社共有60人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人，得到三个社团的总人数．

（II）本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，共有10个基本事件，书法展示的同学中初、高中学生都有列举出共有6种结果，根据概率公式得到结果．【解析】（I）围棋社共有60人，由可知三个社团一共有150人.（II）设初中的两名同学为，高中的3名同学为,随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:，共10个基本事件.设事件表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”，则事件共有6个基本事件..故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为.【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，解决等可能事件的概率问题最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．举一反三：【变式】现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．【解析】（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)==0.512．（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336,所以P(B)=．类型二、与长度有关的几何概型1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。【例6】在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是【思路点拨】解决概率问题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化为化成：直径上到圆心O的距离小于的点构成的线段长与直径长之比。【解析】记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF（此时F为OE中点），由几何概型公式得：。【总结升华】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。举一反三：【变式1】取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于260cm60c20cm20c20c60cm60c【解析】从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为60cm如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于20cm”把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳子长的,于是事件A发生的概率P(A)=.【变式2】在半径为1圆周上有一点A，以A为端点任选一弦，另一端点在圆周上等可能，求弦长超过的概率.【答案】如图：另一端落在圆周上任一点，基本事件空间，可用圆周长来度量，圆内接正三角形ABC的边长为，若任一端点落在劣弧上，则弦长超过，而落在劣弧之外，则弦长不超过，劣弧之长为圆周的，事件A=“弧长超过”发生意味着另一端点落在劣弧上，A可用劣弧弧长来度量，故.【例7】在等腰Rt△ABC中，(1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.（2）过直角顶点C在内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率.【思路点拨】根据条件将问题转化为几何概型问题。【解析】(1)在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜）=.ACM(2)ACM(2)(1)B(2)在AB上截取AC′=AC,于是P（AM＜AC）【总结升华】（1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的（2）在利用几何概率公式计算概率时，必须注意d与D的测度单位的统一.类型三、与面积（体积）有关的几何概型1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：2．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型。3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：【例8】如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m处向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：（1）投中大圆内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3）投中大圆之外的概率是多少？【思路点拨】投中正方形木板上每一点（投中线上或没投中不算）都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性都相等.所以，投中某一部分的概率只与这部分的几何度量（面积）有关，这符合几何概型的条件【解析】设事件A“投中大圆内”，B“投中小圆与中圆形成的圆环”，C“投中大圆之外”.，，，由几何概率公式得：，，.【总结升华】对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.举一反三：【变式】设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共12个：．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．构成事件的区域为．所以所求的概率为．【例9】将长为的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.【思路点拨】将构成三角形问题转化为三段的长度关系，进而转化有关面积的几何概型问题进行求解。【解析】设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为.0ll则实验的全部结果可构成集合，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合0ll所求的概率为【总结升华】用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域；（3）把事件A转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算.举一反三：【变式】一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.【解析】如下图，区域Ω是长30m、宽20m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为30×20－26×16=184（m2）.∴P（A）=.类型四、生活中的几何概型【例10】两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率。【思路点拨】两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时。设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当，因此转化成面积问题，利用几何概型求解。【解析】设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当。两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）不表示。因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为【总结升华】对于活生生中的几何概型问题：（1）要注意实际问题中的可能性的判断；（2）将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域。（3）如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率