第四讲 社会经济模型

第四讲社会经济模型第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五

现有一位即将升入初一的学生家长,欲为其存5万元以供6年后上大学使用,问采取怎样的方案存款,可使6年所获收益最大?最大收益多少?一、存款问题中国人民银行现行银行整存整取利率如表所示(2011年4月6日)。一年期二年期三年期五年期3.25%4.15%4.75%5.25%第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五存款期限为六年整。在存款期间利率不变。对于存款,银行只计单利不计复利。若将定期存款到期后把本利又转入第二个定期,这就相当于计算复利。不计算利息税。问题分析与假设第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五设ｎ年期存ｍ次获利金额记作Pn×mPn×1简记作Pn存一次ｎ年期再存一次k年期获利金额记作Pn+k。符号的约定显然Pn+k=Pk+n设ｎ年期利率为r,k年期利率为s则Pn+k=50000×[(1+nr)(1+ks)-1]=Pk+n第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五于是,一年期存两次获利金额为两年期存一次获利金额为

所以,问题的求解第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五存一次两年期再存一次一年期的获利金额为三年期存一次获利金额为所以第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五存一次三年期再存一次两年期的获利金额五年期存一次的获利金额为所以第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五三年期存两次的获利金额为两年期存三次的获利金额为第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五存一次五年期再存一次一年期的获利金额为所以故存两次三年期所获收益最大,为15176.56元第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五Excel提供了数学公式和数学函数，可以用Excel方便地计算有关数据。利用Excel计算P1

1625

P2P1×2

41503302.81

P3P2+1P1×3

71255909.885035.15

P5P3+2P1×5

1312511866.388670.57

P5+1P3×2P2×3P1×615176.5615265.3113511.9410577.36第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五某私立中学规定学生入学时每人应交费10万元，等三年后学生毕业时学校将把10万元如数归还，试问在此规定下，学生念三年书实际交了多少学费？二、学费问题第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五知识准备：现值与终值现值与终值是利息计算中的两个重要概念，它们刻画了货币的时间价值，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题很有帮助。现值是把在n期末的金额扣除利息后折合成现在的金额。终值是指n期末的本利和。其计算的基点是分别是存期的起点和终点。第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五1、单利的现值与终值在单利公式S=P(1+nR)中，把本利和S称为本金P在n期末的终值；反过来，把P=S/(1+nR)称为S的现值。若每期发生本金（简称年金）为A，每期利率为R，共n期，单利计息，则n期的现值之和称为单利年金现值，而n期的本利和的总额称为单利年金终值。第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五单利的年金现值若期初发生年金A，则每一期的现值为

单利的年金终值

单利年金现值

若期末发生年金A，则每一期的现值为

单利年金现值若期初发生年金A，则每一期的本利和为A,若期初发生年金A，则每一期的本利和为A(1+R),A(1+R),…,A(1+(n-1)R),单利年金终值A(1+2R),…,A(1+nR),单利年金终值第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五2、复利的现值与终值在复利公式S=P(1+R)n中，把本利和S称为本金P在n期末的终值；反过来，把P=S/(1+R)n称为S的现值。若每期发生本金为A，每期利率为R，共n期，复利计息，则n期的现值之和称为复利年金现值，而n期的本利和的总额称为复利年金终值。第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五复利的年金现值若期初发生年金A，则每一期的现值为

复利的年金终值

复利的年金现值若期末发生年金A，则每一期的现值为

复利的年金现值若期初发生年金A，则每一期的本利和为若期末发生年金A，则每一期的本利和为复利的年金终值复利的年金终值第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五分析和解决问题我们可以用现值与终值的角度来看问题解法1：从终值的角度考虑，入学时交的10万元，到三年后，其本利和（即终值）为100000×（1+3×0.0475）=114250，故应交学费114250-100000=14250元。解法2：从现值的角度考虑，三年后学校“如数归还”的10万元，其现值为

100000/（1+3×0.0475）=87527.35，故应交学费100000-87527.35=12472.65元。第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五解法的评价上述两种方法的结果不同，但都是正确的解法。从现值和终值的角度来看，它们分别表示了在学期结束和入学初结算学费的金额。尽管理论计算表明以上两种交费方式是等效的，但对学生家长来说，按方法2（即入学即交学费）较好，一是不必筹措一大笔资金，不会因未来三年中万一资金周转不灵而陷入窘境；二是如果家长需要贷款凑齐学费的话，费用就更多了。第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五有一家庭，为了买房需要申请公积金贷款15万元，还贷期限10年，问这个家庭每月平均要向银行还款多少？一共要付给银行多少利息？三、住房贷款问题住房公积金贷款利率表(2011年4月6日)。期限五年以下（含五年）五年以上年利率4.20%4.70%月利率3.5‰3.91666‰第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五知识准备现在银行的按揭购房还贷方式主要有两种等额本金还贷法，即每月以相等的额度偿还贷款本金，并结清当月利息，因此也叫利随本清还贷法，其计算公式为：等额本息还贷法，而每月以相等的额度偿还贷款本息，直到还清为止，计算公式为：第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五模型假设10年内银行的利率保持不变；10年内该家庭始终具有还贷能力，且不提前还清贷款；

还款方式是每月等额本息还贷。

第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五符号设定贷款本金Q=10万元还贷期限N=10年月利率R=0.00391666（贷款期限超过5年）R=0.0035（贷款期限5年以下含5年）n表示还款期数A表示每月还款额S表示还款总额L表示利息总额第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五建立模型从现值的角度考虑，每月等额还贷额A，其现值之和应等于贷款本金Q,于是得：第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五模型求解代入计算得第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五模型应用与拓展（1）如果该家庭每月收入为6000元,在贷款本金不变的情况下,还贷期限设为多少年可以在保证正常开支的同时使所付利息总额最少?设每月还贷额不超过每月收入的50%（即3000元）时,不影响家庭正常开支。由下表可知，可以选择还贷期限为5年，这样每月还贷2810.11元，可使利息总额最少为18606.86元贷款本金（元）Q还贷期限(年)N还贷期数n每月还贷额A还贷总额S利息总额L150000101201569.08188289.2938289.2915000091081705.96184244.1434244.141500008961877.64180253.1330253.131500008961877.64180253.1330253.131500006722394.92172434.3222434.321500005602810.11168606.8618606.861500004483400.30163214.3713214.37第二十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五模型应用与拓展（2）如果选择等额本金还贷法是否会减少利息总额?利息总额L还贷总额S35543.69185543.69比等额本息还贷法少还利息38289.29-35543.69=2745.60元，但是前面月份还贷额较高，第1个月为1837.50元，直到第56个月开始月还贷额为1568.23元开始少于等额本息还贷法的月还贷额1569.08元。资金宽裕的家庭可以选择这种还贷方法。第二十六页，共二十七页，编辑于202