第六章静不定

第六章静不定材料力学中南大学土木工程学院1第一页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院23、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差，也是需要补充的方程数目。未知力：4个平衡方程：2个静不定次数=4－2=2需要补充2个方程此结构可称为2次静不定结构第二页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院35、多余约束力：多余约束提供的约束力。

静不定次数=多余约束力数目4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束，若没有这些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定)第三页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院4二、拉压静不定问题的解法

1、判断静不定次数；2、列静力平衡方程；3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系(变形协调方

程)，具体问题具体分析，一般通过“变形几何图”列方程。

特别注意：力与变形相对应！！

（即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应）4、列物理方程：变形与力的关系；5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得补充方程。

第四页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院5拉压静不定问题的解法（1）静力平衡方程——力学——原有基础（2）变形协调方程——几何——灵活思考（3）材料本构方程——物理——构筑桥梁（4）方程联立求解——代数——综合把握第五页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院6解：1、判断：一次静不定。图示结构，求各杆轴力。FE2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCDFFN1FN3FN2xy2、列平衡方程3、列几何(变形协调)方程Dl3Dl14、列物理方程5、列补充方程将物理方程代入几何方程得补充方程第六页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院7解得第七页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院8OAB为刚性梁，写几何方程。llF450①②OABlllFa①②OABlbCOAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。Dl1Dl2Dl1第八页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院9aaF450①②OABOAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。Dl1Dl2解：变形协调关系即由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联立求出两杆轴力，再求应力后得结果。小技巧第九页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院10Dl3Dl2FABCD300300①②③l图示支架承受力F作用，①杆的抗拉刚度为EA，②杆的抗拉刚度为1.5EA，③杆的抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。解：平衡方程为AFFN1FN2FN3变形协调方程ADl1300300300300300化简得第十页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院11物理关系为代入变形协调方程得补充方程联立平衡方程求得求拉压静不定结构注意事项内力假设与变形假设应一致。内力假设受拉，变形只能假设伸长。内力假设受压，变形只能假设缩短。第十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院122Dl2=Dl1+Dl32(Dl2+Dl1)=Dl3+Dl12(Dl2+Dl3)=Dl1+Dl3几何方程图示静不定结构，可列如右变形图。F刚体aa123（a）∆l1∆l2∆l3（b）∆l1∆l2∆l3（c）∆l1∆l2∆l3第十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院13还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。对应受力图FFN1FN2FN3（b）FFN1FN2FN3（c）FFN1FN2FN3（a）（a）∆l1∆l2∆l3（b）∆l1∆l2∆l3（c）∆l1∆l2∆l3第十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院14内力按刚度比分配。思考：静定结构是否也是这样？刚度较大内力较大静不定结构的特点（1）FABCDFABC刚度增加内力不变第十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院15静不定结构的特点（2）

——装配应力ABCABCD静定结构——无装配应力静不定结构？——产生装配应力第十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院16解：因制造误差，装配时各杆必须变形，因此产生装配内力。一次静不定问题。几何方程：Dl1＋Dl2

/cosq=d平衡方程：FN2=FN3FN1－2FN2cosq=0

已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d，求装配后各杆的应力。dq123lABCDqDl1Dl2FN1AFN3FN2qq物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得物理方程：注意1杆变形计算时用l第十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院17装配应力是不容忽视的，如：d/l=0.001，E=200GPa，q=30°

s1=113MPa，s2=s3=－65.2MPa

正确注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短,应为压力。FN1AFN3FN2qqFN1AFN3FN2qq不正确第十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院18图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短，求各杆装配应力。l刚体123aadAB解：1、平衡方程FN1－FN2+FN3=0FN1=FN32、几何方程Dl1Dl2Dl3即3、物理方程刚体aABFN3aFN1FN23杆用理论长度计算变形第十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院194、补充方程补充方程与平衡方程联立解得:变形协调关系平衡方程两杆均为拉力，计算①杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。AB为刚性梁，写出所需方程。a2a450①②AdBCDl1Dl2第十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院20静不定结构的特点（3）

——温度应力ABC升温ToC结构不因温度变化产生内力ABCD升温ToC结构会因温度变化产生内力第二十页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院21温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，引起温度内力。几何方程：

Dl=Dlt-DlF=0物理方程：

Dlt=alt，

DlF=FNl/EAa为材料的线膨胀系数对于无约束的杆件，当温度变化为时，杆件的变形为：

式中：a

——材料的线膨胀系数。

图示构件因温度变化引起的内力lABFN第二十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院22解：受力图如图示（设二杆均受压）图示结构，EA及线膨胀系数a相同的两杆①和②与刚体相连，当杆①温度升高Dt度时，两杆的内力和应力分别为多少？

①②l2lllAAFN1FN2FAxFAy列平衡方程SMA=0①杆在温度影响下伸长，在轴力作用下缩短，②杆在轴力作用下缩短。刚体绕A转动，变形几何关系图如图示。qqDl1Dl2由图可列出变形几何关系方程

2Dl1=Dl2得结合平衡方程，求得第二十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院23刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，d=0.2m。1杆由黄铜制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a1=16.5×10-6/0C。2和3杆由碳钢制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2，A3=3cm2，a2=a3=12.5×10-6/0C，F=40kN。设温度升高200C，求各杆的应力。l刚体123abdABcFFN2abdABcFFN1FN3解：平衡方程为FN1+FN2+FN3－F=0FN1a+Fc－FN3b=0变形协调方程为Dl1Dl2Dl3第二十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院24物理方程为物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得：FN1=7.92kN，FN2=10.2kN，FN3=21.9kN由此求得应力为s1=39.6MPa，s2=102MPa，s3=73MPaFN2abdABcFFN1FN3Dl1Dl2Dl3第二十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院25解:受力分析,建立平衡方程未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一次超静定变形分析,列变形协调方程联立求解方程(a)与(b)建立补充方程代入上式试求图示轴两端的约束力偶矩。§6.3扭转超静定问题第二十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院26AB设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除M。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。MM解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶M解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡方程为T1T2T1-T2=0第二十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院27焊接前轴在M作用下的扭转角为MMjj2j1变形协调条件T1－T2=0第二十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院28一、相当系统的建立

1、相当系统的特点：

静定结构；含有多余约束力；主动力与原结构相同。

2、建立相当系统的步骤：

判断静不定次数；解除多余约束，代之以多余约束力；其余照原问题画。

§6.4弯曲简单超静定问题第二十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院29解：建立相当系统=处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。确定静不定次数，用多余约束力代替多余约束所得到的静定结构——原结构的相当系统。B画出图示静不定结构的弯矩图。qlAEIMAqlAEIB或FBqlAEIB几何方程——变形协调方程物理方程——变形与力的关系第二十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院30补充方程求解其它问题（应力、变形等）FBqlAEIB+=FBlAEIBqlAEIBM○BqlAEI弯矩图第三十页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院31解：相当系统如图，任意x截面弯矩为lFBABqx时弯矩取极值固定端处弯矩为当时，梁的受力最合理。从强度角度考虑为了使梁的受力最合理，将支座向上移动D，试求该D值，并作弯矩图。lABqDEI第三十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院32支座B端上移两种情形弯矩图的对比。FBlABqDEIM○lABqEIM○lABqDEI第三十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院33几何方程

——变形协调方程解：建立相当系统=FBqlAEIB物理方程——变形与力的关系结构如图，求B点约束力。EACqlAEIBlBC=+FBlAEIBqlABEI第三十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院34物理方程——变形与力的关系补充方程求解其它问题（内力、应力、

变形等）=+FBlAEIBEACqlAEIBlBCqlABEI第三十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院35ABClldllABCd超静定梁的装配应力图示三支座等截面梁，由于制造不精确，轴承有高低。已知梁的抗弯刚度EI及d和l，求两种情况下的最大弯矩。BBdAClldFBllACFB解：各梁的相当系统如图第三十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院36l450F悬臂梁的自由端与光滑斜面恰好接触。若温度升高DT，试求梁内最大弯矩。设E、A、I、a已知，且梁的自重和轴力对弯曲变形的影响可略去不计。l450解：温度升高后，斜面对梁的约束力如图所示，其变形为伸长和弯曲同时发生。变形协调方程为伸长和弯曲变形相等。即解得：第三十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院37悬臂梁AB，用短梁DG加固，试分析加固效果。P209，6-17解：1、静不定分析2、加固效果分析最大弯矩减少62.5%与相比，减少39.1%Fl加固前加固后第三十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院38悬臂梁同时受拉杆约束，试求杆BC的轴力。解：梁的轴向变形一般忽略不计如考虑梁的轴向变形，如何求解?解除约束代约束力并考虑变形几何关系。BB′DlCBDlABwB第三十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院39梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。FB

FBwB1wB2解：解除B处约束代之以约束力，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：物理关系物理关系代入变形协调方程得补充方程：第三十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院40由此可以确定A端和C端的约束力。FAFCMCMAFS（kN）⊕71.258.7548.754.4375mM（kNm）12511517.51.91第四十页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院41长为l，刚度为EI的梁两端固定，承受均布荷载作用，画出梁的弯矩图并求跨中的挠度。P208，6-15lqABC解：此结构为对称结构承受对称外力作用，所以在对称轴处对称内力(弯矩)不等于零，反对称内力(剪力)等于零。对称轴处对称位移(挠度)不等于零，反对称位移(转角)等于零。于是相当系统如图所示。l/2qACMCwC补充方程为跨中挠度为⊕○○M图求得第四十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学土木工程学院42解：相当系统如图所示，其变形几何关系为M图P209，6-19高度为h的等截面梁两端固定,支座B下沉D，求smax=?求得第四十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中南大学