河北省石家庄市正定县第二中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

河北省石家庄市正定县第二中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，若，则实数的值为(

)A.－2

B.

C.

D.2参考答案：D2.设函数的部分图像，若，且，则A．1 B． C． D．参考答案：D由图象可得A=1，，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），点（，0）相当于y=sinx中的故选：D3.已知函数（其中），其部分图像如图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原的2倍，再向右平移1个单位得到的图像，则函数的解析式为（

）A.

B.C.

D.参考答案：B4.已知是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A.如果，则

B.如果，则共面C.如果，则

D.如果共点，则共面参考答案：5.若函数为奇函数，则实数a的值为（）A.2 B.－2 C.1 D.－1参考答案：B【分析】根据函数为奇函数，求得当时的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果.【详解】为奇函数

当时，

又时，

本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.6.等差数列中，前项，则的值为A.

B.

C.

D.

参考答案：C7.“数列为递增数列”的一个充分不必要条件是（）A．B．

C． D．参考答案：D略8.若复数的实部与虚部相等，则实数b等于(

)A．3

B.1

C.

D.参考答案：A9.已知直线与，若，则

（

）A．2

B．

C．

D．

参考答案：C因为，得当时两直线重合．10.如右图，△ABC中，｜｜＝3，｜｜＝1，D是BC边中垂线上任意一点，则·（－）

的值是

A．1

B．C．2

D．4参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为

（米）

参考答案：200012.下列命题中正确的个数是

(1）由五个面围成的多面体只能是四棱锥；(2）用一个平面去截棱锥便可得到棱台；(3）仅有一组对面平行的五面体是棱台；(4）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.参考答案：013.函数的定义域为__________.参考答案：要使函数有意义，则有。即，所以，即，所以函数的定义域为。14.设当时,函数取得最小值,则_______。参考答案：略15.已知函数（0≤x≤），若函数的所有零点依次记为，则=

.参考答案：445π,解得：,函数在的对称轴为，，…….相邻对称轴间的距离为，所以，，以此类推，，这项构成以首项为，为公差的等差数列，第项为，所以，解得，所以.

16.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为

参考答案：2略17.将参数方程（为参数）化为普通方程是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣x2+ax，（1）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f'（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1＜x2，求证（3）证明当n≥2时，．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即a≤2x﹣恒成立，求出a的范围即可；（2）求出a，得到f′（）=﹣，问题转化为证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，根据函数的单调性证明即可；（3）令a=1，得到lnx≤x2﹣x，得到x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，累加即可．【解答】（1）解：∵x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，∴f′（x）=﹣2x+a≤0在（1，+∞）恒成立，即a≤2x﹣恒成立，而y=2x﹣在（1，+∞）递增，故2x﹣＞1，故a≤1；（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则lnx1﹣+ax1=0，①，lnx2﹣+ax2=0，②，两式相减得a=（x1+x2）﹣，又f（x）=lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a，则f′（）=﹣（x1+x2）+a=﹣，要证﹣＜0，即证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，∵u′（t）=，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知﹣＜0，故f′（）＜0成立；（3）证明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）递减，∴f（x）=lnx﹣x2+x≤f（1）=0，故lnx≤x2﹣x，x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，故++…+＞++…+=1﹣，∴++…+＞1﹣，即左边＞1﹣＞1，得证．19.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）试比较ea﹣2与ae﹣2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数f（x）在区间所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．所以a=﹣2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2．（II）（i）由f（x）=lnx﹣a（x﹣1），所以，①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，∴a≤0不合题意．②当a≥2即时，在（1，+∞）上恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，∴a≥2满足题意．③若0＜a＜2即时，由f′（x）＞0，可得，由f′（x）＜0，可得x，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴，∴0＜a＜2不合题意．综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．（ii）a≥2时，“比较ea﹣2与ae﹣2的大小”等价于“比较a﹣2与（e﹣2lna）的大小”设g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．则．∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，因为g（e）=0．当x∈[2，e）时，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以ex﹣2＜xe﹣2．当x∈（e，+∞）时g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴ex﹣2＞xe﹣2．综上所述，当a∈[2，e）时，ea﹣2＜ae﹣2；当a=e时，ea﹣2=ae﹣2；当a∈（e，+∞）时，ea﹣2＞ae﹣2．【点评】本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．20.（本小题满分12分）有A、B、C、D、E五位工人参加技能竞赛培训，现分别从A、B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，用茎叶图表示这两组数据如下：（1）现要从A、B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；（2）若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A、B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率.参考答案：21.已知数列满足,其中N*.

(Ⅰ)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；

(Ⅱ)设，数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.参考答案：（I）证明，所以数列是等差数列，，因此

，由得.(II),,所以，依题意要使对于恒成立，只需解得或，所以的最小值为略22.（本小题满分12分）已知点，，直线与直线相交于点，直线与直线的斜率分别记为与，且．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点，的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．

（Ⅰ）设，则，

所以所以（未写出范围扣一分）............4分

（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，........5分联立，消去得，.....................6分因为，所以，...............7分设，

......................8分