07-08高等数学B卷及答案

广东工业大学试卷用纸，共2页，第页广东工业大学考试试卷(B)课程名称:广东工业大学考试试卷(B)课程名称:高等数学A(1)试卷满分100分考试时间:2008年1月14日(第20周星期一)题号一二三四五六七总分1234评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、填空题：（每小题4分，共20分）1.=.2.设是由方程所确定的隐函数，则.3.设可导,则=.4.=.5.有第一类间断点；第二类间断点二、选择题：（每小题4分，共20分）1.设函数在处连续,则. A．B. C． D.2.函数的极大值为（）.A．B.C．D.学院：专业：学号：姓名：装订线3.极限的值等于（）.A.B.C．D.4．定积分的值等于（）.A.B.C．D.5．微分方程满足初始条件的特解为()A.B.C．D.三、计算题（每小题7分，共28分）1.求由参数方程所确定的函数的二阶导数.2．求曲线的凹凸区间和拐点.3.计算定积分.4.求微分方程的通解.四、（8分）证明:当时，.五、（8分）若对任意,曲线上的点处的切线在y轴上的截距等于,求的一般表达式.六、（8分）设在上连续,在内可导,且证明:存在,使得.七、（8分）求曲线在区间内的一条切线,使得该切线与直线,和曲线所围成的平面图形面积最小.广东工业大学考试答题纸课程名称:高等数学A(1)试卷满分100分考试时间:2008年1月14日(第20周星期一)题号一二三四五六七总分1234评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、填空题：（每小题4分，共20分）1.;2.;3.;4.;5.二、选择题：（每小题4分，共20分）12345BACDA三、计算题（每小题7分，共28分）1.解:（2分）(5分)（6分）（7分）2.解:（1分）（2分）以及不存在点（3分）列表讨论如下:x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,+)++y凸无定义凹0凸无定义凹（4分）4.解:特征方程为:,（1分）特征根:（3分）齐次方程的通解为:（4分）由于不是特征根,且故可设原方程的一个特解为:（5分）将其代入原方程得:,解得:（6分）所以,从而求得原方程的通解为（7分）四、（8分）证明：方法一：令，（1分），（2分）（3分）当时，（5分）所以单调增加，于是当时，（6分）因此单调增加，故当时，（7分）即当时，（8分）方法二：令，（1分），（3分）（5分）所以单调增加，于是当时，（6分）因此单调增加，故当时，（7分）即当时，，亦即时，（8分）方法三：令，则（3分）令，得，当时，，从而单减（5分）所以当时，，，即（7分）亦即当时，（8分）五、（8分）解：设曲线过点的切线方程为：（2分）当时，得该切线在纵轴上的截距为：根据题意有：（4分）上式两边同乘，求导并整理得：（6分）令，上式可化为，求得（7分）[或由，故（7分）]即，从而（8分）六、(8分)证明:设（2分）由题目所给条件知:上连续,在内可导,于是由拉格朗日中值定理有:（4分）又由题目所给条件有:（7分）代入（1）式得：证毕。（8分）七、（8分）解：如图所示：设所求切线与曲线相切于点，则切线方程为：（2分）又切线与直线和曲线所围成的平面图形的面积