2022-2023学年湖南省永州市大水中学高一数学理测试题含解析

2022-2023学年湖南省永州市大水中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆的周长是（

）A.25πB.10πC.8πD.5π参考答案：B【分析】通过配方法把圆的一般方程化成标准方程求出圆的半径，进而求出圆的周长.【详解】，所以圆的半径为，因此圆的周长为，故本题选B.【点睛】本题考查了通过圆的一般式方程化为普通方程求半径问题，考查了配方法.2.已知f(x)在R上是奇函数,且，当时，，则A．98

B．2

C．－98

D．－2参考答案：D3.若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（

）

A．3∶5

B．9∶25

C．5∶

D．7∶9参考答案：D略4.若，，且，则与的夹角是

Ａ．30°

Ｂ．45°

Ｃ．60°

Ｄ．75°参考答案：B5.若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数有“穿越点”x0，在区间（0，5]上任取一个数a，则函数f（x）=lg在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【分析】若函数在（0，+∞）上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决【解答】解：函数f（x）=lg在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”，所以lg=lg成立，即，整理得，由＞0，得到＜0，解得，所以函数f（x）=lg在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”a的范围是（，3），所以在区间（0，5]上任取一个数a，则函数f（x）=lg在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”的概率为：；故选C．6.已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用两个向量共线时，x1y2=x2y1求出m，得到的坐标，再利用向量的模的定义求出的值．【解答】解：由，m=﹣2×2=﹣4，则，故选C．7.．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是(

)A．；甲比乙成绩稳定

B．；乙比甲成绩稳定C．；甲比乙成绩稳定

D．；乙比甲成绩稳定参考答案：D略8.在直角坐标系xOy中，动圆C经过点(0,2)，且圆心在抛物线上.记圆C被x轴所截得的弦长为,则随着的增大，的变化情况是（

）A．恒为定值

B．一直减小

C.一直增大

D．先减小，再增大参考答案：A设圆心，动圆C经过点(0,2)，则得到这是圆C的方程，令，化简得到，故得到此时PQ的长度为4.故得到弦长为定值。

9.己知向量a=(2,1),b=(-3,4)，则a-b=（

）（A）（5，）

（B）（1，）

（C）（5，3）

（D）（，3）参考答案：A10.设函数f(x)＝x2(－1＜x≤1)，那么它是（

）A、偶函数

B、奇函数

C、既奇又偶函数

D、非奇非偶函数参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(1)已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于__

▲

__;(2)若已知集合则=

▲

参考答案：、

；12.已知函数,若时，恒成立，求的取值范围_________________________参考答案：[-7，2]13.设为实数，集合，则_________．参考答案：.

提示：由

可得14.（3分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为

．参考答案：考点： 三角函数的最值．专题： 三角函数的求值．分析： 由题意可得可得﹣?2ω≥2kπ﹣，且?2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω的最大值．解答： ∵f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，可得﹣?2ω≥2kπ﹣，且?2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．点评： 本题主要考查求正弦函数的单调性，属于基础题．15.若，则的值为_____参考答案：16.如果*****.参考答案：817. 定义在上的函数则的值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求函数y=的单调递增区间．参考答案：【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】设t=﹣x2+4x+5，先求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系即可得到函数的递增区间．【解答】解：设t=﹣x2+4x+5，由t=﹣x2+4x+5≥0，得x2﹣4x﹣5≤0，即﹣1≤x≤5，则函数t=﹣x2+4x+5的对称轴为x=2，∴当﹣1≤x≤2时，t=﹣x2+4x+5单调递增，此时y=也单调递增，∴由复合函数单调性的性质可知函数y=此时单调递增，当2≤x≤5，t=﹣x2+4x+5单调递减，此时y=单调递增，∴由复合函数单调性的性质可知函数y=此时单调递减，即函数y=的单调递增区间是[﹣1，2]．19.已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．参考答案：【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）用函数奇偶性的定义判断、证明，注意具有奇偶性的函数定义域须关于原点对称；（2）利用增函数的定义证明．【解答】解：（1）函数为奇函数

∵函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．且．所以函数为奇函数．（2）证明：设x1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2．=．∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0

即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于基础题，难度不大，准确理解它们的定义是解决该类问题的基础．20.（12分）（2011?广东三模）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．参考答案：21.(本题满分16分)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．

（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；

（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？

参考答案：所以，矩形场地x＝50m，y＝60m时，运动场的面积最大，最大面积是2430m2.

22.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2AD=4，AA1=2，M是C1D1的中点．（1）在平面A1B1C1D1内，请作出过点M与BM垂直的直线l，并证明l⊥BM；（2）设（1）中所作直线l与BM确定平面为α，求直线BB1与平面α所成角的大小．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）连接A1M，MB1，则直线A1M就是所求的l，证明A1M⊥平面B1BM，即可证明l⊥BM；（2）设N为BM的中点，连接B1N，则B1N⊥MB，B1N⊥平面A1BM，即B1N⊥平面α，∠NBB1就是BB1与平面α所成角，即可求直线BB1与平面α所成角的大小．【解答】解：（1）连接A1M，MB1，则直线A1M就是所求的l，证明如下：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，A1M?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1M．在矩形A1B1C1D1中，A1B1=2A1D1=4，M是C1D1的中点．∴△A1D1M和△B1C1M都是等腰直角三角形，∴∠A1MD1=∠B1MC1=45°，故∠A1MB1=90°，即A1M⊥MB1，又BB1∩MB1=B1，A1M⊥平面B1BM，∴A1M⊥MB，即l⊥B1M…（2）连接A1B，由（1）