2020-2021上海教科实验中学高中必修五数学上期中模拟试题带答案

2020-2021上海教科实验中学高中必修五数学上期中模拟试题带答案一、选择题数列

an n

S n2

n 1,

n1 n

N* 则数列

的前50项n和为（ ）nA．49 50 99 100在等差数列｛an｝中，（ ）

a28

a29

a30 165，则此数列前30项和等于A．810 840 870 900已知

an为等差数列，若

a20a19

1，且数列

an的前n项和

有最大值，则

Sn的最小正值为( )

5x 2y 18 0已知实数y满足的最大值是（ ）

2x y 0x y 3 03

，若直线

kx y

1 0经过该可行域，则实数 kA．1 2

2 3n已知数列n

}满足a

1，a a

2n，则

a （）1n1n10A．1024 2048 1023 20471n1n10VABC中，

ABC

4，AB

2，BC

3，则sin BAC （ ）10 10A． 10 5x y 0

31010

5

x,y满足x yx

4 0，则y的最小值为（ ）4A．4 8 12 16已知不等式

x2 2x

3 0的解集为Ax2

x 6 0的解集为B，不等式x2+ax b

0的解集为AI

B，则a b （ ）A．-3 1 -1 3已知：x

0，y

0，且2 1 1，若x y

y m2

2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A． 4,2 , 4U2,

2,4, 2 4,．

y满足约束条件

x y

62 0,若目标函数

z ax by(a

0,b

0)的最大值为00则2 3的最小值为( )a b25 25A． 25 6

3 5某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最一排的距离为5 6米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为 秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 米/秒1 3 1 7A． 10 10 2 10已知数列}

=2

=1

1{ }为等差数列，则an

=( )1 5 4 4A． 2 4 5 5二、填空题在ABC中，内角ABC所对的边分别为abca

2，且2 b sin

sinB c

sinC，则ABC面积的最大值为 .在VABC中，角C的对边分别为b，c，，且a 8，b c

73

VABC的面积为 ．已知实数xy满足不等式组

2x x y

00，则z x

2y的最小值为 ．x 2y 6xy 30,16．设不等式组{xx2y 310,表示的平面区域为1，平面区域2与1关于直线2xy0C1,D2，则CD的最小值为 ．已知等比数列a}

aan1 an 的首项为公比为2，则a a L a ．对一切实数，不等式x2

a|x| 1 0恒成立，则实数a的取值范围是 已知在△ABC中，围为

A,B,C的对边分别为

a,b,c，若a b

2c，则 C的取值范如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向 40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 相距20海里的C处的乙船现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线前往B处救援，则cos ．三、解答题已知数列

an 是一个公差为dd

0的等差数列，前n项和为

a2a4成等比数列，且

15．求数列an求数列{n

的通项公式；}的前10项和．已知函数f x

3sinx

cosx.求函数f x在x

, 的值域；2在ABC中，内角A、B、C的对边分别是 a、b、c，若7 8f A f B 6 6 3

a的取值范围．b设数列 的前 项和为 ，且 .求数列 的通项公式；设 ，求数列 的前 项和 .已知等差数列

an

2a2

20，且前10项和

100．求数列

an的通项公式；

1anan

，求数列1vv

v

n项和Tn．v已知函数f x ab，其中

3sin2x,b

cos,x R．求函数y f x的单调递增区间；在ABCABC的面积．

A,B,C所对的边分别为

c,f A

2,a

7，且b

2c，求已知数列 为等差数列，且

2，

a3 12．(1)求数列 的通项公式；(2)令 ，求证：数列 是等比数列．cn

1anan

，求数列1

n

Sn.***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．AA【解析】试题分析：当n

时，

3n

2时，a S S n2 n 1

2n 1 n

1 1 ,n n n1

3,n 1

把n 1代入上式可得3,n 12 3综上可得和为

{2n,n

.2

{ 2nn2n,n为偶数

1.数列

的前50项3 23 5 7 L 49 22 4 6 L 50243 49 252 503 2 2 49A正确.2 2考点：1求数列的通项公式 ;2数列求和问题.2．BB【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3 165) 2

，选B.3．DD【解析】【分析】.【详解】

d 0

a20a19

1进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求已知an

为等差数列，若

a20a19

1，则

a20

0，由数列

的前n

有最大值，可得d 0，

0,

0,

37a19 0，

0，0，的最小正值为

S37故选D【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法 .4．BB【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线

kx y

0过定点0,1，再利用k的几何意义，只需求出直线

kx y

1 0

2,4

时，k值即可．【详解】直线kx y 2 0过定点0,1，作可行域如图所示，，5x 2y由

18 0

2,4．2x y 0当定点 0,1和B点连接时，斜率最大，此时则k的最大值为：32

4 1 3k ，2 0 2故选：B．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5．CC【解析】【分析】根据叠加法求结果.【详解】因为an1

a 2n

an1 an

2n，9 8

n1 210n因此a10

a9

L

a2

2 2 L

2 1 1023，选C.1 2【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题 .6．CC【解析】试题分析：由余弦定理得3 5

b2 2 9 2 23cos4310

5,b

5.由正弦定理得sin

BAC

sin

，解得4

sin

BAC .10考点：解三角形.7．AA【解析】【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线【详解】

3x，结合图象，可得最值．作出y满足

x y 0x y 4 0所对应的可行域（如图

VABC），变形目标函数可得

x 4y 3x z，平移直线y

3x可知，当直线经过点

A(2,2)时，截距 z取得最大值，此时目标函数z取得最小值3 2 2 4.故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．AA【解析】【分析】根据题意先求出集合a,b，可得答案.【详解】

B，然后求出

AI B

1,2)，再根据三个二次之间的关系求出由不等式

x2 2x

3 01x3，则A

(1,3).由不等式x2

x 6 0有，则 3 x

2B

( 3,2).所以AI

B=(

1,2).因为不等式

x2+ax b

的解集为AIB,所以方程

x2+ax b=0的两个根为 1,2.由韦达定理有：

2 a,即

a= 1.所以a b

12 b b 23.故选：A.【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题 .9．AA【解析】【分析】若x 2y m2

2m恒成立,则x

y的最小值大于

m2 2m,利用均值定理及“ 的代换求得x 2y的最小值进而求解即可.【详解】2 1由题,因为x y

1,x

0,y 0,2 1

4y x 4y

x 4y所以 x 2yx y

2 2 4 2y x y x

4 4 8,当且仅当y x ,即x 4,y 2时等号成立,因为x

2y m2

2m恒成立,则m2 2m

8,即m2 2m

8 0,解得4 m 2,故选:A【点睛】本题考查均值不等式中“ 1”的代换的应用考查利用均值定理求最值 ,考查不等式恒成立题.10．AA【解析】【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数ax by(a

0,b

0)何时取最大值，进而找到之间的关系式2a

6,然后可得2 3 1(2 3)(2a

3b)，化简变形用基本不等式即可求解。【详解】

a b 6 a b不等式组表示的平面区域如图，由

3x x y

6 0得点B坐标为2 0B（4,6）由图可知当直线z ax by经过点4,6）时，Z取最大值。因为目标函数z ax by(a

0,b

的最大值为12，所以4a

12,即2a 6,所以2 3 1(2 3)(2a

3b)

1(13

6b)

1(13 2 6a

) 25。b 6 a b6b

6 b a 6

a 6当且仅当

b a 即a b

6时，上式取“=”号。6 5所以当a b

6时，2 3取最小值25。故选A。【点睛】

5 a b 6利用基本不等式a b 2 ab可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。当都取正值时，（1）若和a b取定值，则积ab有最大值；（若积ab取定值时则和a b有最小值。11．BB【解析】试题分析：如下图：由已知，在 ABC中，

ABC

105o,

ACB

45o,BC

56,从而可得：

BAC

30o由正弦定理，得：

ABsin45o

5 6 ，sin30oAB 10 3,那么在RtADB中，

ABD

60o,

oAD ABsin60

10 3

3 15，2即旗杆高度为15米，由故选B．

15 50

3 3，知：升旗手升旗的速度应为10

（米/秒）.考点：解三角形在实际问题中的应用．12．CC【解析】【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果【详解】依题意得：a3

2,a7

1

{1}a

为等差数列，1 1 11

n1 1 1 5 4所以d 2 1，所

9 7 a98 4

，故选C．57 3 7 3 8【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础二、填空题法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要解析：3【解析】【分析】根据正弦定理将 2

b sinA

sinB c 222222

sinC转化为

b2 c2

a2 1a b a b c bc，即b c a

bc1

cosA

，2bc 2再用基本不等式法求得【详解】

bc 4，根据面积公式

SABC

bc2

A求解.根据正弦定理 2

b sinA

sinB c

sinC可转化为222a b a b c bc，化简得b c a bc2222 2 2 2

cosA

b c a sinA

2 31 cosA2因为b2 c2

a2 bc

2bc所以bc 4，当且仅当b c时取" "

ABC

1bcsinA

3bc

3 4 32 4 4则ABC面积的最大值为 3.故答案为： 3【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得 的值由余弦定理可求求bc即可得三角形的面积【详解】∵ 在△中由正弦解析：9 34【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得 cosA的值，由余弦定理可求 b+c）bc，求bc，即可得三角形的面积．【详解】∵在△ABC中btanB+btanA=﹣2ctanB，∴由正弦定理可得 sinB（tanA+tanB）=﹣2sinCtanB，∴sinB（tanA+tanB）=﹣2sinC?sinB，cosB∴cosB（tanA+tanB）=﹣2sinC，∴cosB（sinAcosA

sinB+cosB

）=﹣2sinC，∴cosB?sinAcosB cosAcosB

=﹣2sinC，∴cosB?sin A BcosAcosB

sinC=cosA

=﹣2sinC，1解得cosA=﹣2

，A=2 ；3∵a=8，b c∴bc=9

73,由余弦定理可得： 64=b2+c2+bc=（b+c）bc，的面积为S=

bcsinA=1 9

3=9 3，2故答案为9 3．4

2 2 4【点睛】中档题．15．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z最小所以故填-6解析：-6【解析】1 z由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ ABC,当直z

y x 经过点A(03)2 2时，直线的纵截距

最大，z最小.所以2

zmin 0 2 3 6-6.【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形 构成中作出直线显然点到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区解析：2 55【解析】作出不等式组所表示的可行域 1，如图阴影部分，由三角形 ABC构成，其中(，,B(,C

，作出直线2x

0，显然点A到直线2x

0的距离最近，由其几何意义知，区域 1,

2内的点最短距离为点 A到直线2x y2 1 5

0的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：

d ，所以区域 1内的点与区域 2内的点之22 5间的最近距离为2 5

，即CD

2 5.5点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题 .巧妙识目标函数的几何意义是解答本题的关键 .【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题4在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简解析：【解析】【分析】根据等比数列通项公式，求出

a a a L a

212nn12n1

2，计算n1a 2an1

1 2 n 1 2na a a L ann11n2aa L 1n2

a2 L

2an

2n1 1 2

即可得解.【详解】n

21 2n由题an

2，a a a L a 2n1 2n1 1aa

2 n 1 22an1n11n2aa L 1n2

a2 L

2an

an

a2L 2n

a2L

22 4.故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简 .－+）【解析】【分析】根据题意分x=0x≠①x=0时易得原不等式恒成立②x≠（|x|）由基本不等式的性质易得的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析：[－2，+ ）【解析】【分析】根据题意，分 x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0 时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原1式可变形为（|x|+答案.【详解】

x），由基本不等式的性质，易得 a的范围，综合两种情况可得根据题意，分两种情况讨论；① x=0 时，原式为1≥0，恒成立，则x≠0时，原式1可化为a|x|≥-（x即-（|x|+ ）,x|x|+

1≥2（|x|+x

1）-2；x要使不等式x2+a|x|+1≥0-2综上可得，a的取值范围是[-2，+∞）；故答案为[-2，+∞）．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析：(0, ]3【解析】【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出 cosC的范围得出角C的范围.【详解】解：在

VABC

中，Qa b

2c，(a 2 4c2，a2 b2

4c2

2ab

2ab，c2

ab，当且仅当a b是，取等号由余弦定理知，cosC

a2 b2 c2

3c2

2ab

3c2

1 1，2ab

2ab

2ab 20 C .3故答案为：(0, ].3【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题 .20．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：2114【解析】【分析】在ABC中，由余弦定理，求得 BC，再由正弦定理，求得 sin利用两角和的余弦公式，即可求解 cos 的值．【详解】

ACB,sin

BAC，最后在ABC中，AB

40海里，AC

20海里，

BAC

120o，由余弦定理可得

BC2

AB2

AC2 2AB ACcos120o

2800，所以BC 20 7海里,由正弦定理可得

sin

ACB

AB BC

BAC

21，7因为 BAC

120o，可知 ACB为锐角，所以

cos

ACB

2 7，7所以cos cos(

ACB

30o) cos

ACBcos30o

sin

ACB

sin30o

21．14【点睛】求结果．三、解答题（n

6；（2）55.2【解析】【分析】利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式．n

n 11cn2

Sn，得到{cnn

1}是首项为公差为 的等差数列，然后求2解数列的和即可．【详解】由a2、、成等比数列得： (a

)2

a d a

4d ，即5d2= a1d，又∵≠，可得a= d；

1 1 1而S 5a

5 4d

15，解得所以an=a1+（n 1）d=n 5 12即数列{an}的通项公式为an=n 6．n n 1

n2

n 11因为Sn

d ，所以 ，2 2 n 21 1

n，则1

2为常数，∴{cn}是首项为 公差

的等差数列，2Sn所以 的前10项和为n

5 10

10 9 1 552 2 2．【点睛】本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．（1,2；（2）1,3 .3【解析】【分析】利用两角差的正弦公式得出

f x 2sin x

，由x6

, 计算出x2

6的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数 y f x在区间 ,2

上的值域；根据题中条件得出

sinA

sinB

4

sinA3

B，由0 sinA 1，sin可求出1 sinB3

，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sinA

4 1的取值范围.sinB 3sinB【详解】（1）Qf x

3sinx

cosx 2

sinx 1cosx 2 sinxcos cosxsin2 2 6 62sin x ，6Qx , ，2 3

5 1x ，则6 6 2

sin x3

1，1 f x 2，因此，函数y f x在x

, 的值域为 1,2；27（2）Qf A f B

8，即2sin A

2sinB

8，化简得6 6 3 3sinA

sinB

， sin3

4 sinB3由0 sinA

010 sin

4 sinB 1 13 ，得

sinB 1.由正弦定理得 aba

sinsin

4 sin3sinB1

0 sinB 14 13sinB

31,3 .3因此，

的取值范围是b

,3 .3【点睛】本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考运算求解能力，属于中等题 .(1) ;(2) .【解析】由题意结合通项公式与前 n项和的关系可得 ;结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列 的前项和.(3)试题解析：(Ⅰ)由3an－1 ①－1＝3an－1－1 ②②-①得2an＝3an－3an－1，∴ ＝( )又当13a11a1＝1，（符合题意）∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3n－1.()由()＝∴Tn＝ ＋＋ ＋⋯＋ ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③Tn＝ ＋ ＋⋯＋ ＋ ，⋯⋯⋯④③－④得： Tn＝ ＋＋ ＋⋯＋ －＝ － ＝ －∴Tn＝ － .n(1)a1(2)Tn＝2n 1【解析】【分析】本题首先可以对

2

20

4a1 8d

20

100化简得到10

45d

100，最后两式联立，解出

、d的值，得出结果；可通过裂项相消法化简求出结果．【详解】由已知得

210

a510 92

4a110a1

8d45d

20，100解得d 所以an

的通项公式为an

1 2n

1 2n

1 1 1 1，2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 11 1 1 1 1 1 n所以数列

的前n项和1 L ．【点睛】

2 3 3 5 2n 1 2n 1 2n 1裂项相消法是最难把握的求和方法之