第八章向量代数与空间解析几何xd81及其线性运算

第八章向量代数与空间解析几何第一部分向量代数第二部分空间解析几何研究：在三维空间中:空间形式—点,线,面数量关系

—

坐标, 方程（组）基本方法

：

坐标法;

向量法在中学已有一定的了解在中学已学过平面解析几何、立体几何、空间解析几何初步机动目录上页下页返回结束第一节向量及其线性运算一、空间直角坐标系二、向量的几何表示及其线性运算三、向量的坐标表示、向量的模与方向余弦机动目录上页下页返回结束ⅦⅡⅢⅥxyⅤⅧⅣ组成一个空间直角坐标系.x轴(横轴)y轴(纵轴)z

z

轴(竖轴)坐标原点坐标轴坐标面卦限(八个)o

xoy面yoz面一、空间直角坐标系1.

空间直角坐标系的基本概念过空间一定点o,由三条互相垂直的数轴按右手规则Ⅰ机动目录上页下页返回结束xo在直角坐标系下空间点

M

‹

1--1fi

有序数组(x,

y,

z)P(x,0,0)yQ(0,

y,0)R(0,0,

z)A(x,

y,0)B(0,

y,

z)C(x,

o,

z)(称为点M

的坐标)特殊点的坐标:原点

O(0,0,0)

;

坐标轴上的点

P,

Q

,

R

;坐标面上的点A

,B

,CzrM机动目录上页下页返回结束x坐标面:yz坐标轴:o机动目录上页下页返回结束之间的距离公式1

2M

M=

(x

-

x

)2

+(

y

-

y

)2

+(z

-

z

)22

1

2

1

2

1点与机动目录上页下页返回结束证:

M1M

2

=

(7

-

4)2

+

(1-

3)2

+

(2

-1)2=

14M

2

M

3

=M1M

3

=(5

-

7)2

+

(2

-1)2

+

(3

-

2)2

=

6(5

-

4)2

+

(2

-

3)2

+

(3

-1)2

=

6例1.求证以的三角形是等腰三角形.为顶点因为

M

2

M3

=

M1M3所以

D

M1M

2M

3

为等腰三角形

.机动目录上页下页返回结束等距解:设该点为M

(0,0,z),因为M

A

=MB

,(-4)2

+12+

(7

-

z)2

=

32

+

52

+

(-2

-

z)2及故所求点为M

(0,0,14

).例2.在z

轴上求与两点离的点.0解得例3.求到点的点9的距离等于常数所满足的代数方程.解:

由

MM

=

R,得(x

-

x

)2

+(

y

-

y

)2

+(z

-

z

)2

=

R故所求代数方程为020

0222000(x

-

x

)+(

y

-

y

)+(z

-

z

)=

R（球面方程：球心，半径

）机动目录上页下页返回结束二、向量的几何表示及其线性运算M1M

21、向量既有大小,又有方向的量称为向量(又称矢量).表示法:

有向线段

M1

M2

,

或向量的模

:

向量的长度,向径

:

起点为原点的向量.单位向量:

模为

1

的向量,零向量:模为0

的向量,记为零向量的方向是任意的。自由向量:与起点无关的向量.平移不改变向量机动目录上页下页返回结束零向量与任何向量既平行,又垂直.,就称a

与b

平行,记作a∥b

;若

或若,

就称a

与b

垂直,记作2、向量与向量若向量

a

与

b大小相等,

方向相同,

就称

a与

b相等,记作

a＝b

;与a

大小相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作－a

;将非零向量

a与

b平移至共同的起点，称

a与

b所在射线的夹角称为a

与

b的夹角，记为

．机动目录上页下页返回结束3、向量的加法三角形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.ba

+

b

=

b

+

a(

a

+

b

)

+

c

=

a

+

(

b

+

c

)

=

a

+

b

+

cbca

+

bab

+

c(

a

+

b

)

+

ca

+(

b

+

c

)平行四边形法则:b

a

+

baa

+

ba机动目录上页下页返回结束a4a5a1s

=

a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

a5a2特点:首尾相连!起点终点a3s机动目录上页下页返回结束4、向量的减法三角不等式ba机动目录上页下页返回结束a

.l

1

a

=

a

;

-1a

=

-a

;5、向量与数的乘法l

是一个数,l

与a的乘积是一个新向量,记作规定:l(m

aa)

=

m

(l

)

=

l

m

a性质:⑴结合律⑵分配律l

(a

+

b

)

=

l

a

+

lb机动目录上页下页返回结束⑷设a

为非零向量,则a∥b存在唯一实数l

，使得⑶若a

„0

，则与a

同向的单位向量为aa

0

1

=

a.与u

轴正向同向的单位向量，则2P1P2

=

(u

-

u1

)e⑸设P1

,P2

分别为u

轴上坐标为u1

,u2

的两个点，e

为。与a

平行的单位向量为0a

1

–a

=

–

a.机动目录上页下页返回结束MBACD解:ba=

-2

MA=

-2

MB例4.

设

M

为

ABCD

对角线的交点,试用a

与b

表示MA,MB

,MC

,MD.a

+

b

=

ACb

-

a

=

BD2\

MA

=

-

1

(

a

+

b

)2MB

=

-

1

(

b

-

a

)2MC

=

1

(

a

+

b

)2MD

=

1

(

b

-

a

)机动目录上页下页返回结束沿三个坐标轴方向的分向量.

xMNByi

ojkC

zAr

=

x

i

+

y

j

+

zk

={x

,

y

,

z

}此式称为向量r

的坐标分解式,

r设点

M

的坐标为

M

(x

,

y

,

z),

则OM

=

ON

+

NM

=

OA

+

OB

+

OC三、向量的坐标表示、向量的模与方向余弦在空间直角坐标系下,

任意向量

r

可用向径

OM

表示.i

,

j

,

k以

分别表示与

x

,

y

,

z

轴正向同向的单位向量，机动目录上页下页返回结束设a

是以M1

(x1,

y1,

z1

)为起点,

为终点

M

2

(x2

,

y2

,

z2

)的向量，即a

=M1M

2

，过点M1，M2

各作三个垂直于坐标轴的平面，这六个平面构成一个长方体（见下图），根据向量的加法运算，有

a

=M1M

2

=

M1P

+

M1Q

+

M1R,1

1

2

2

1

而

M1P

=

P1P2

=

(x2

-

x1

)i,

M1Q

=

Q1Q2

=

(

y2

-

y1

)

j,

M

R

=

R

R

=

(z

-

z

)k,机动目录上页下页返回结束则有向线段M1M

2

=

(x2

-

x1

)i

+

(

y2

-

y1

)

j

+

(z2

-

z1

)k={x2

-

x1

,

y2

-

y1

,

z2

-

z1}

则有有a

=

axi

+

ay

j

+

azk

={ax

,

ay

,

az

}

其中{ax

,ay

,az

}称为a

的坐标，ax

,ay

,az

分别称为a在x

轴，y

轴和z

轴上的投影.注：投影为数值，可为正，可为负，也可为零。机动目录上页下页返回结束x

y

z设

={

a

,

a

,

a

},ax

y

zb

={b

,

b

,

b

},利用坐标作向量的线性运算则a

bx

x

y

y

z

z

–

=

{a

–

b

,

a

–

b

,

a

–

b

}x

y

zl

=

{l

a

,

l

a

,

l

a

}a当bx

=

laxby

=

laybz

=

lazax

ayazbx

=

by

=

bz向量平行的充要条件:a

„0

时,l

为实数，机动目录上页下页返回结束例5.

求解以向量为未知元的线性方程组

5

x

-

3

y

=

a

3

x

-

2

y

=

b其中

={2，1，2},

={-1，1，-2}.a

b解:①②2×①－3×②,得

x

=

2

a

-

3b

=

{7

,

-1,10}代入②得2y

=

1(3

-

)

=

{11,

-

2

,16}x

b机动目录上页下页返回结束向量的模

设a

=axi

+ay

j

+azk

={ax

,ay

,az

}，则a

的模为a

=a2

+

a2

+

a2x

y

z

设

a

=

axi

+

ay

j

+

azk

={ax

,

ay

,

az

}

为非零向量，则与a

同向的单位向量为x

y

z{ax

,

ay

,

az

}aa2

+

a2

+

a20

1

1a

=

a

=,,}ayaxaz={a2

+

a2

+

a2x

y

za2

+

a2

+

a2x

y

za2

+

a2

+

a2x

y

z机动目录上页下页返回结束oyx

ab设a方向角为任一非零向量，称a

xz分别与 轴，y

轴和

轴正向的夹角a

,b,g

为a

的方向角。其中0

£

a

£

p,

0

£

b

£

p,

0

£

g

£

pz机动目录上页下页返回结束oyzfiab⑵方向余弦的性质:方向余弦设a

为任一非零向量，称2,xa a

xacos

a

==a

2

+

a

2

+

ax

y

zyxaax

aaaa

2cos

b

==,

cos

g

=+

a

2

+

a

2y

zyz为a

的方向余弦。a0

1

⑴

a

=

a

={cosa

,

cos

b,