第九章多元函数微分法及其应用8习题课

多元函数微分法及其应用第八章习题课一、关于多元函数极限的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类三、关于偏导数、全微分计算的题类四、关于方向导数和梯度的题类五、关于多元函数微分学应用的题类1.几何应用.2.极(最)值一、 基本概念连续性偏导数存在方向导数存在可微性多元函数的定义、极限、连续定义域及对应规律判断极限不存在及求极限的方法函数的连续性及其性质几个基本概念的导出关系偏导数连续可

微连

续偏导数存在极限存在极限存在【必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系】一、关于多元函数极限的题类二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难.通常从以下四个方面考虑：(1)设法利用变换化为一元函数的极限再求……;(2)掌握绝对值不等式的放缩技巧，使用夹逼定理;(3)通过观察，若大致估计所求极限不存在，可选择两条不同路径，求出不同的极限值，借以证明原式极限不存在;(也可选取一条路径求得极限不存在,则原极限不存在)(4)利用二元初等函数在内点处的连续性:lim

f

(

P

)

=

f

(

P0

)Pfi

P02

2+

yyfi

0xfi

0

x【例1】求limxy【解】

取路径

y

=

k

x，则,lim22

2xy

kx2=

limxfi

022xfi

0y=kxkx

+

y=(1

+

k

)

x

1

+

k与k有关,故不存在.2x1

3

yxfi

0

|

x

|

+

y【例2】求limyfi

0【解】取路径y

=k

x，则lim22

=

lim

2

=

0kx4

31x

3

yy=kxxfi

0

|

x

|

+

y

xfi

0

|

x

|

+k

x特别注意:尽管沿路径y=kx所得极限相同,但仍不能肯定原极限即为0，因若取曲线路径:y

=x1

3

时|

x

|

+

y2limxfi

0y=

x1

31

3=

lim

=

1x

y

x2

3xfi

0

|x|+

x2

3故所求极限不存在.x2

+

y2ln(

x

+

e

y

)xfi

1yfi

0【例3】计算lim初等函数.(1,0)定义域内点.连续.

代入法【例4】换元,化为一元函数的极限3

2(

x2

+

y2

)x2

+

y2x2

+

y2

-

sinxfi

0yfi

0求lim【说明】多元函数的极限是自变量各自独立地同时在变，称为重极限.还有一种是自变量分先后次序变，称累次极限。如x固定，变量y

趋于b，然后再limlim

f

(x即,y先)xfi

a

yfi

b令变量x趋于a.这种极限是两个极限过程；而重极限是一个极限过程.两者是不同的.［例如］例1中，两个累次极限lim

lim=

lim

lim

=

0xy

xyyfi

0

xfi

0

x2

+

y2xfi

0

yfi

0

x2

+

y2存在而二重极限不存在.［又如］0

,1y

sin

,

y

„

0xy

=

0而两个累次极限均不存在.y

x

sin

1

+f

(

x,

y)

=

则重极限lim

f

(x,y)=0xfi

0yfi

0【强调】本课程讨论的极限均为重极限.二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类一般来说，讨论二元函数z=f(x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断.［连 续］

lim

f

(

x,

y)

=

f

(

x0

,

y0

)xfi

x0yfi

y0［可偏导］［可 微］f

(

x0

+

h,

y0

)

-

f

(

x0

,

y0

)hfx

(

x0

,

y0

)

=

limhfi

0lim

Dz

-[

fx

(

x0

,

y0

)Dx

+

f

y

(

x0

,

y0

)Dy]

=

0点(x0

,y0

)可微rfi

0r2

2其中Dz

=

f

(

x0

+

Dx,

y0

+

Dy)

-

f

(

x0

,

y0

)

,

r

=

(Dx)

+

(Dy)内含三条，缺一不可包括高阶偏导数定义等【例5】【解】,

x2

+

y2

„

0,x2

+

y2

=

00,设f

(x,y)=22x2

y

x

+

y问f

(x,y)在点(0,0)处是否连续？22x2

y+

ylim

f

(

x,

y)

=

limyfi

0xfi

0

xxfi

0yfi

0若x

=0,

y

fi22

=

0x2

y+

yyfi

0xfi

0

x0,显然有lim0,

y

fi若x(„0)fi22=

02

=

limx2

yyy+

yyfi

0

1

+

(

x

)xfi

0yfi

0xfi

0

x0,则lim总之有lim

f

(

x,

y)

=

0

=

f

(0,0)xfi

0yfi

0所以f

(x,y)在点(0,0)处是连续的.［思考］?【例6】设,,

x2

+

y2

„

0x2

+

y2

=

00,1(

x2

+

y2

)sinf

(

x,

y)

=

x2

+

y2函数f

(

x,

y)在点(0,0)处(

)A.连续而偏导不存在C.偏导存在且连续B.偏导存在但f不连续D.可微xfi

0yfi

0【解】lim

f

(

x,

y)

=

0

=

f

(0,0)

所以f

在(0,0)点连续,故否B

.f

(

x,0)

-

f

(0,0)

x2

sin(1

x2

)=

lim

=

0xfi

0xfi

0fx

(0,0)

=

limxy2

sin(1

y2

)yfi

0f

y

(0,0)

=

limy

yxf

(

y,0)

-

f

(0,0)=

lim

=

0yfi

0所以f

(x,y)在(0,0)点偏导数存在,故否A.0,2

x

sinf

(

x,

y)

=

,

x2

+

y2

„

0x2

+

y2

=

0x2

+

y2x2

+

y2-x2

+

y21cos2

x1x=

0

,1

lim

2

x

sinxfi

0yfi

0x2

+

y2中，而在limx2

+

y21cos2

xyfi

0xfi

0

x2

+

y2若取路径y

=x，则1lim2

x

1xfi

0

xyfi

xcos

=

lim

1

cosx2

+

y2

2

x2xfi

0

x2

+

y2不存在(可取两子列验证)xfi

0yfi

0\lim

fx

(x,y)不存在,则f

在(0,0)点偏导数不连续,故否C.而limx2

+

y2xfi

0yfi

0f

(

x,

y)

-

f

(0,0)

-[0

x

+

0

y]=

01=

limxfi

0yfi

0x2

+

y22

22

2(

x

+

y

)sinx

+

y所以f

(x,y)在(0,0)点可微.

综上所述，应选D.【注意】此题是偏导数存在且连续仅是可微的充分条件的一个实例.③

z

=

f

(u,

x,

y)三、关于偏导数、全微分计算的题类1.【多元复合函数求导法则】【可导充分条件】内层函数偏导存在,外层函数偏导连续【复合函数求导链式法则】①

z全导数dt

¶u

dt

¶v

dtdz

=

¶z du

+

¶z

dvuvxyxy②

z¶z

=

¶z

¶u

+

¶z

¶v=

+¶x

¶u

¶x

¶v

¶x¶z

¶z

¶u

¶z

¶vuvttuxy¶y

¶u

¶y

¶v

¶y¶uxy

¶x

¶x

¶u

¶x¶z

=

¶f

+

¶f¶z

=

¶f

+

¶f

¶u¶y

¶y

¶u

¶y2.【全微分】

全微分＝各偏微分之和u,v是自变量或中间变量(1)［公式法］(2)［推导法］(直接法)——方法步骤①搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量；②将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导；③解由②得到的方程(组),解出要求的偏导数.其余自变量的偏导数同理可求.③

dy

=

-

Fxx、y、z

等各变量地位等同①

F

(

x,

y)

=

0

y

=

f

(

x)②

F

(

x,

y,

z)

=

0

z

=

z(

x,

y)=

-

xF

=

-

y¶x

Fz

¶y

Fzdx

Fy¶z

F

¶zG(

x,

y,

u,v)

=

0F

(

x,

y,

u,v)

=

0

u

=

u(

x,

y)

,

v

=

v(

x,

y)公式不必记,要求掌握［推导法］¶u

¶v形式不变性

dz

=

¶z

du

+

¶z

dv3.【隐函数的求导法则】【例7】设u

=x

y

z

,x

>0,

y

>0,求一阶偏导.【解】¶x¶u

=

yz

x

yz

-1;z-1x

(ln

x)(

zy

);¶u

=¶yyzx

(ln

x)

y

(ln

y)¶z¶u

=zyz【注意】易犯错误:¶u

=

¶

(

x

y

)z

=

x

yz

(ln

x

y

)¶z

¶z此错误在于:

(

x

y

)z

=

x

yz

„

x

yz【例8】设f

(x,y)=(x

+y)j

(x,y),其中j

(x,y)在(0,0)处连续，求df

(0,0).【分析】因j

(x,y)在(0,0)处仅连续,则求f(x,y)在(0,0)处的偏导数就不能用求导的乘积法则,而只能用定义求.最后再用可微定义判可微性.【解】

¶f

=

lim

f

(

x,0)

-

f

(0,0)

=

lim

xj

(

x,0)

=

j

(0,0)

=

¶f则df

(0,0)

=

j

(0,0)(dx

+

dy)而rfi

0lim

f

(

x,

y)

-

f

(0,0)

-

[j

(0,0)

x

+

j

(0,0)

y]=

limrfi

0x2

+

y2x

+

yx2

+

y2[j

(x,y)-j

(0,0)]=0

所以f在(0,0)可微(x2

+

y2

x2

+

y2x

+

yxfi

0yfi

0£

|

x

|

+

|

y

|

£

2，lim[j

(

x,

y)

-

j

(0,0)]

=

0

)¶x

x

x

¶yxfi

0

xfi

0xxxt

y【解Ⅰ】

复合函数链式图法

ydy

=

¶f

+

¶f

(

¶t

+

¶t

dy

)dx

¶x

¶t

¶x

¶y

dx¶y¶t¶x

=¶tdx\

dy

=t1

-

f教材习题第11题【例9】设y

=f

(x,t

),而t是由F

(x,y,t

)=0所确定的x,y的¶x

Ftfx

+

ft¶t

F而

=

-

x

,y

,F¶y

Ft¶t

=

-fx

Ft

-

ft

FxFt

+

ft

Fy¶y¶x¶t¶tfx

+

ftdx\

dy

=t1

-

fdx函数，其中f、F具有一阶连续偏导数，试求dy

.【例10】设z

=【解】具有二阶连续偏导数)，3yx f

(

xy,

),

(

f1

23+

f

)¢

¢=

x

(

f

x¶y

x¶z

1214

2+

x

f

,=

x

f11xx¶y¶2

z4

2

5

32

=

x

(

f1¢1¢x

+

f1¢2¢

)

+

x

(

f2¢1¢x

+

f2¢2¢

)

=

x f11

+

2

x f12

+

xf22

,【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f

1

,f12等。观察法.=¶x¶y

¶y¶x¶2

z

¶2

z2x241

11

123¢¢¢=

4

x

f

+

x

[

f y

+

f

(-y1

2¶x¶=

(

x4

f

¢+

x2

f

¢)=

4

x3

f

+

2

xf

+

x4

yf

-

yf

.1

2

11

22,

,¶2

x¶y

¶y2

¶x¶y¶z

¶2

z

z.求)]x222212y¢¢)]

+

2

xf

+

x

[

f y

+

f

(-【例11】设u

=f

(x,y,z),j

(x2

,e

y

,z)=0,y

=sin

x,【解】du

=

¶f

+

¶f dy

+

¶f dz

,

显然

dy

=

cos

x,dx

¶x

¶y

dx

¶z

dx

dx求dz

,dx对j

(x2

,e

y

,z)=0

两边求x

的导数,得=

0

,3¢dx

dxy

dy

dzj1¢

2

x

+

j2¢

e

+

j【分析】确定y=y(x),z=z(x),u=u(x)三方程两边同时对x求导.于是可得,12e

cos

xj

¢),sin

x13¢j

¢(2

xj

+=

-dxdz213sin

x¶zcos

xj¢)

¶f

.dx

¶xdu

¶f故

= +

cos

x¢¶f

1¶y-

(2

xj

+

ej¢¶z

dx(f

,j

具有一阶连续偏导数)，且¶j

„0,求du

.作业题P7

选择题

3

.dx

y

dxx+

f

(1)du

=

f

dy

,【例12】设函数u(x)由方程组u

=f

(x,y),g(x,y,z)=0,h(x,z)=0所确定,且¶g

„0,¶h

„0,试求du

.¶y

¶z

dx【分析】确定y=y(x)，z=z(x)，u=u(x).三方程两边同时对x求导.【解】

方程组各方程两边对

x

求导,

得zdx

h由(3)得

dz

=

-

hx

,hx

-

gx

,hz

gygy

hzyf

yxg代入(2)得dy

=gzdx

gygx

+

f

y

gz

hx

.dx代入(1)得

du

=

f

-dx

=

0,

(2)dx

+

gzgx

+

gydy

dz(3)hx

+

hzdxdz

=

0.四、关于方向导数和梯度的题类1.【方向导数的定义】t=

lim

f

(

x0

+

t

cosa

,

y0

+

t

cos

b

)

-

f

(

x0

,

y0

)t

fi

0+0

0¶l

(

x

,

y

)¶f(2)不可微时用方向导数定义求或rrfi

0¶f

=

lim

f

(

x0

+

Dx,

y0

+

Dy)

-

f

(

x0

,

y0

)¶l2.【方向导数的计算】(1)可微时用课本P46-47定理求梯度在l

方向上的投影公式el

=

(cosa

,cos

b

)3.【梯度的定义】gradf

(

x,

y)

=

¶f

+

¶f

;i

j¶x

¶y¶x

¶y

¶zgradf

(

x,

y,

z)

=

¶f

+

¶f

+

¶f

i

j

k4.【梯度与方向导数的关系】|

gradf

(

x,

y)

|=+

¶y

¶x

¶f

2

¶f

2¶f

=

¶f

cosa

+

¶f

cos

b¶l

¶x

¶yl=

gradf

(

x,

y)

e方向导数==梯度在l

方向上的投影【例13】求u

=xy

+yz3在点M

(2,-1,1)处的梯度及在该点沿方向

l

=i

+2

j

+2k

的方向导数.【分析】 套公式【解】

略【练习】函数z

=xy

+y3在点M

(2,-1)处的梯度与方向l

的(

2,-1)¶l夹角是60

,

求¶z

.¶u

=

¶u

cosa

+

¶u

cos

b

+

¶u

cos

g¶l

¶x

¶y

¶z-

y,

y,xy

>

0xy

<

0¶x

=

0,

y

=

0不存在,

x

=

0,

y

„

0¶z(1)【解】【例14】设z

=|

xy

|,则(1)求¶z

;¶x(2)问z在点(0,0)处是否可微.(3)求在点(0，1)处沿l

=

-i

+

0

j和l1

=

i

+

j的方向导数

.(2)

¶z

=¶z

=0,而¶x

(0,0)

¶y

(0,0)0

£=z(

x,

y)

-

z(0,0)

-[0

x

+

0

y] |

xy

|x2

+

y21

(

x2

+

y2

)£

2=

0x2

+

y2

x2

+

y2|

xy

|\

limxfi

0yfi

0x2

+

y2故z在点(0,0)处可微.x2

+

y22=

1难点t=

lim

f

(0

+

t

cosa

,1

+

t

cos

b

)

-

f

(0,1)¶l(3)

¶zt

fi

0+(0,1)=

lim

|

(-t

) 1

|

-0

=

1t

fi

0+ttt

fi

0+(0,1)¶z

=

lim

f

(0

+

t

cosa1

,1

+

t

cos

b1

)

-

f

(0,1)1¶l22

2=t

2|

(

1

t

)

(1

+

1

t

)

|

-0=

limt

fi

0+【注意】因为z在点(0,1)处不可微,故求方向导数时,不能利用公式计算,而只能利用方向导数定义.五、关于多元函数微分学应用的题类1.【几何应用】空间曲线Γ有切线和法平面退化情形空间曲线Γ切向量Tx

=

x(t

),

y

=

y(t

),

z

=

z(t

)–

(

x

(t

),

y

(t

),

z

(t

))y

=

y(

x),

z

=

z(

x)–

(1,

y

(

x),

z

(

x))F

(

x,

y,

z)

=

0,G(

x,

y,

z)

=

0–

(¶(F

,G),

¶(F

,G),

¶(F

,G))¶(

y,

z)

¶(z,

x)

¶(

x,

y)平面曲线C切向量Ty

=

f

(

x)–

(1,

f

(

x))F

(

x,

y)

=

0–

(1,-

Fx

(

x,

y))Fy

(

x,

y)空间曲面Σ法向量nF

(

x,

y,

z)

=

0–（Fx

,

Fy

,

Fz

)z

=

f

(

x,

y)–

(

fx

,

f

y

,-1)空间曲面Σ有切平面和法线平面曲线C法向量ny

=

f

(

x)–

(-

f

(

x),1)F

(

x,

y)

=

0–

(Fx

,

Fy

)退化情形多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)极值与最值问题极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法

(消元法,

拉格朗日乘数法)求解最值问题在微分方程变形等中的应用【例15】求曲面z

=

3

x2

+

2

y2在点M

(2,-1,14)处的切平面0方程、法线方程和向上法线的方向余弦.【分析】将曲面的显式方程化为隐式：F

(x,y,z)=f

(x,y)-z¶x

(

2,-1,14)【解】¶F¶y

(

2,-1,14)=

12

,

=

-4

,

=

-1¶z

(

2,-1,14)¶F

¶F切平面法

线12(

x

-

2)

-

4(

y

+

1)

-

(z

-

14)

=

0x

-

2

=

y

+

1

=

z

-

1412

-

4

-

1向上法线方向与z

轴正向夹角为锐角，故所求方向余弦为161-

12

=

-

12122

+

(-4)2

+

(-1)2cosa

=;1614cos

b

=1611cosg

=【例16】求x

2

+y2

+z2

=6和平面x

+y

+z

=0的交线【解】曲线方程为在点M

(1,-2,1)处的切线和法平面方程.【分析】空间曲线方程为一般式，理论上化为参数式，再用隐函数求导的推导法（直接法）求导.

x

+

y

+

z

=

0

x

2

+

y2

+

z2

=

0z

=

z(

x)

y

=

y(

x)

x

=

x+ =

01

+

dx

dxdx

dxdy

dz

2

x

+

2

y

dy

+

2

z

dz

=

0dy x

-

zdx

(1,-2,1)

=

z

-

y

(1,-2,1)

=

0,dz y

-

xdx

(1,-2,1)

=

z

-

y

(1,-2,1)

=

-1,切线：x

-1

=y

+2

=z

-10

-

1法平面：

(

x

-

1)

-

(z

-

1)

=

0x

-

z

=

0