2021届山西省高三一模数学（理）试题及答案解析

绝密★启用前

数学考前知识点分类冲刺训练

注意事顼：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

2021届山西省高三一模数学(理)试题

一、单选题

1.已知集合人=卜|X2+X-12<0},集合8={X|-5WX<0},则Af)5=()

A.{x|-5<x<3}B.{x|-5<x<-4}

C.{x|-4<x<0}D.{x|O<x<3}

答案：C

根据不等式的解法求得集合A,再结合集合交集的运算，即可求解.

解：由不等式f+x—I2=(x+4)(x—3)vO，解得—4vxv3,所以

A={x|-4<]<3},

又由集合3={讨一5<%<0},所以AcB={jd-4<xvO}.

故选：C.

2.已知点-亭)是角。的终边与单位圆的交点，贝!|sin2a=()

A4345n2石

A.--D,~~C.—D.----

5555

答案：A

先用三角函数的定义得sina=--,cosa=-，再用二倍角公式求出sin2a.

55

解：由三角函数的定义得sina=_2，5,COSQ=』5，

55

所以sin2a=2sinacosa=2x—x—.

<5J55

故选：A

注：(1)三角函数值的大小与点尸(x,y)在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可

以求出对应三角函数值；

(2)当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论.

3.高斯函数也称取整函数，记作[月，是指不超过实数x的最大整数，例如

[6.8]=6,[-4.1]=-5,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于

高斯函数丁=[幻的性质叙述错误的是()

A.y=[x]值域为zB.y=不是奇函数

C.y=x-[x]为周期函数D.y=[x]在月上单调递增

答案：D

根据高斯函数的定义，结合值域、函数的奇偶性、函数的单调性对选项逐一分析，由此

确定正确选项.

解：由高斯函数的定义可知其值域为Z,故A正确；

•••[0.5]=0,[-0.5]=-1,y=[x]不是奇函数，故B正确；

易知(x+l)-[x+l]=x-[x],所以y=x-[x]是一个周期为1的周期函数，故C正确;

当0,,x<l时，[幻=0,所以y=[幻在斤上不单调，故D错误.

故选：D

4.某公司计划招收600名新员工，共报名了2000人，远超计划，故该公司采用笔试的

方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取.现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的

笔试成绩，绘制频率分布直方图如下：

则录取分数线可估计为()

A.70B.73C.75D.77

答案：C

先计算录取率，再利用频率直方图判断录取分数线在70~80之间，最后择高录取列方

程使计算面积和为0.3,求得录取分数线即可.

解：根据题意，录取率为——X100%=30%,故应录取成绩最高的30%的报名者.

2000

根据频率直方图可知，80~100分占总体的比例可估计为20%,7()~10()分占总体的比

例可估计为40%,故录取分数线在70~80之间.

设录取分数线为x,则(80-x)x0.02+0.15+0.05=0.3,解得x=75.

故选：C.

5.在同一直角坐标系中，指数函数y=,二次函数丁=办2—匕氏.的图象可能是()

答案：B

根据指数函数的单调性、二次函数的零点确定正确选项.

解：指数函数y=图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象.二次函数

\aj

1/j\x

y=cv(r-bx=(ax-h)x,有零点一,0.A,B选项中，指数函数丁=—|在R上单调

a\a)

递增，故:>1,故A错误、B正确.C,D选项中，指数函数y=在《上单调递

b

减，故0<一<1,故C,D错误.

a

故选：B

4

6.已知双曲线的两条渐近线夹角为。，且tana=5,则其离心率为()

A.在B.2或6C.y/5D.也或石

22

答案：D

a1

根据正切倍角公式，求得tan—=二，结合双曲线的几何性质，分类讨论，即可求解.

22

7T

解：由题意双曲线的两条渐近线夹角为。，可得

2

ca

2tan74ala

由tana=----------=-,解得tan—=—或tan-=-2(舍去),

l-tan2«3222

2

故选：D.

2232

7.已知a,O,cwR+，且a>4,ab+ac=4,则一+■；——+-------的最小值是()

ab+ca+b+c

A.8B.6C.4D.2

答案：A

根据题意，化简一+；—+—；—c。+——，结合基本不等式，即可求解.

ab+ca+b+c2a+b+c

解：因为a,Z?,ceR「且ab+ac=4,

22322(a+b+c)32a+b+c32

所以一+----+--------=—---------+--------=--------+-------->8,

ab+ca+b+ca(b+c)a+b+c2a+b+c

由Bt"Q=——,可得a+0+c=8,所以。+c=8-a,

2a+b+c

代入ab+ac=4,得解得a=4±2百，

又因为”>4,所以a=4+2G,b+c=4—26.此时“等号”成立，

故所求最小值为8.

故选：A.

注：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

(1)“一正”：就是各项必须为正数；

(2)“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积

的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等

号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

8.木工师傅将一个长方体形的木块切去一部分，得到一个新木件，其三视图如图所示,

则这个木件的切面与底面所成锐二面角的正切值为()

A.立B.C.逅D.73

233

答案：C

作出切面与底面所成锐二面角的平面角，解直角三角形求得其正切值.

解：如图，过8作点/所在侧棱的垂线，垂足为其连接OE,易知平面8。£//长方

体的底面，故二面角A-8。-E即为所求二面角.

由题意可知

ZAOE=ZABE=3Oo,OE=5E=2,4£=^,AO=A8=逑,8O=20，取

33

BD中点0,则由即=EB,AD=A3可知EO±BD,AO1BD,故ZAOE即为二面

2,

角A—BD-E的平面角，于是=M=—=如即为所求.

OE”D1X2^3

22

故选：c

9.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数

学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征.仿照“康托三分集”我们可以构造一个

“四分集”，其操作过程如下：将闭区间［（）」］均分为四段，去掉其中的区间段

142

记为第一次操作；再将剩下的三个区间°，；］，［；椅］，］31，分别均分为四段，并各

自去掉第二个区间段，记为第二次操作；♦••如此这样，每次在上一次操作的基础上,

将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段.操作过程不断地进行

下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于

19

—,则需要操作的次数〃的最小值为（参考数据：lg2a0.3010,lg3,0.4771）O

A.11B.10C.9D.8

答案：A

利用等比数列前〃项和公式求得去掉的各区间长度之和，由此列不等式，解不等式求得

〃的最小值.

解：第一次操作去掉的区间长度为!；

第二次操作去掉3个长度为4的区间，长度和为二x3；

第三次操作去掉32个长度为3•的区间，长度和为上x3?；

第n次操作去掉个长度为二的区间，长度和为」.

于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为

c11c1C2、

5„=—+fX3+—^x3~+•••+3

“44243

由题意知：1—(。...1+电2

二19，化简得〃…-*10.4,

⑷2021g27g3

又〃为整数，的最小值为11.

故选：A

10.一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值

为亨2，则这个圆锥体积与球体积的比值为()

884T84T8

A.—B.—C.—或—D.—或—

812781812727

答案：D

2

设圆锥的底面半径为r,球的半径为此由圆锥的底面面积与球面面积比值为《，得到

「与"的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比.

解：设圆锥的底面半径为r,球的半径为此

•.•圆锥的底面面积与球面面积比值为则r=£2/?：

947rH293

设球心到圆锥底面的距离为4则d=,店一产=；R,

42

所以圆锥的高为"=d+R=-R或〃=A—d=-R,

33

设圆锥体积为K与球体积为％,

4-7rr2h5兀工K4火Q

当/i=-R时，圆锥体积与球体积的比为v乜=3_____=3(3J3=_8_,

匕一％公一4^3-27

33

11j20丫2

4-7trh大万aR4

当〃=时，圆锥体积与球体积的比为v匕=3_____=3(3J3J.

匕4^327

33

故选：D

注：求球的内接圆锥的体积关键是找球心到圆锥底面的距离，从而可以求出圆锥的底面

半径和圆锥的高，代公式即可求出圆锥体积.

11.函数/(x)=a11og〃X—1(«>0,且有两个零点，则a的取值范围为O

B.<ee}u(l,+oo)C.{e_e}u(l,+oo)1

A.(l,+8)D.u(l,+oo)

e

答案：B

令/(x)=0,将题意转化为函数y=log|X图象与函数y=图象有两个交点，结

合图象确定正确选项.

1/1Y

解：解x)=0,得|k)g“x|==,即log|X=|-.由题意知函数y=log】x图象

a«⑴%

与函数》=图象有两个交点.

当。＞1时，y=log1x,y=(')草图如下，显然有两交点.

当0＜。＜1时，函数y=iog|X图象与函数y=图象有两个交点时，注意到

y-f-,y=log1无互为反函数，图象关于直线＞=x对称，可知函数y=图象

')a

(J=

与直线y=x相切，设切点横坐标飞,则,解得＜

fiY0.1.

_In_=1

yaJa

综上，a的取值范围为«e7}U(l，+s).

故选：B.

，、3m•a,i

12.已知数列{a,,}中q=1,%=亍，对于〃..3,且〃cN,有.=,_，若

a

7Za『2-n-\

a202\-（〃应eN*,且P，4互质），则P+4等于。

q

A.8089B.8088C.8087D.8086

答案：D

的两边取倒数，利用等差中项的结论可得数列,—为等差数列,

a„

利用已知条件求出首项和公差，即可得出数列4的通项公式，求出外⑼，即可得出结

果.

解：对的两边取倒数,

2%一的

12a.221

得一=一^一%

anan-2

11

即——

an

故数列为等差数列,

1,

其首项一=1,

4

114

公差为厂

1,4,,、4〃一13

于是％=---,

20218083

所以p+q=3+8083=8086.

故选：D.

a2•凡i1

注：关键点睛：对可CnT"T的两边取倒数，利用等差中项的结论得到数列

2%一的

为等差数列是解决本题的关键.

二、填空题

13.若z=—l+Gi（其中1为虚数单位），贝Uz3

答案：8

根据复数的乘法运算，准确计算，即可求解.

解：由复数z=-l+Ki，可得z2=(—1+J§i)2=—2—263

进而可得z3=(—2—267)(—1+Gi)=8.

故答案为：8

14.观察下列各式:

3

i+；c；=2-1

3

-T

】+#+、+、+*=25-1

5

照此规律，当〃eN*时，l+!C,+!c；+…+」rC：=________________

23〃+1

答案:

〃+1

根据给出的等式，找出运算结果的结构形式，利用归纳推理，即可求解.

2k一1

解：由已知等式观察，等式右边为^_1形式，其中左比等式左侧各组合数下标大1,

k

1+#:+#1「，，2"J

照此规律，当〃£N"时,+・・・+----

〃+1

2'用_1

故答案为:

几十1

15.已知函数/(X)=(3X-2],则下列关于/(x)展开式的命题中，所有真命题的序

IX)

号是，

①当〃=11时，/(X)展开式共有11项；

②当〃=8时，/(A)展开式第3项与第6项的二项式系数之比为1:2；

③当〃=7时，Ax)展开式中，各项系数之和为一1；

④当〃=5时，"X)展开式中，系数最小的项是-810犬.

答案：②④

利用二项式定理对4个命题逐一分析，由此确定真命题的序号.

解：对于①，易知当〃=11时，/(x)展开式共有12项，故①错误；

对于②，〃=8时，/(%)展开式第3项与第6项的二项式系数之比为

8x7

「2「21

三=兵=6甘==故②正确；

C；C；8x7x62

3x2x1

，2丫

15-7

对于③，〃=7时，设/(%)=3x——=a-jX+«6x+Fizox，令x=l，得

Ixj

/(1)=1=%+%,+•••+4，故③错误；

对于④，〃=5时，/(x)展开式的通项

5

筹+i=C.(3X)5T[—2]=C[(_l)'-35-，2-%%,其中re{0,1,2,3,4,5},显然

当re{(),2,4}时，系数为正数，re{1,3,5}时，7^的系数为负数;

-5

当r=l时，笃=—810/,r=3时，北=—720%-',厂=5时，Tb——32x,

故系数最小的项是(=—810V,④正确.

故答案为：②④

16.已知抛物线产=2*(〃>0)的焦点为尸，点〃一5,0,过点尸的直线与此抛

物线交于A5两点，若|=24,且tanN/W3=2&，贝”=.

答案：6

设A3的方程为x=〃?y+日，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，

计算得左陷+上“8=0，故^AMF=/BMF,根据tanZAMB=20求得

tanZAMF;号进而求得sin/AfH,从而求得机，利用|AB|=24列方程，解方

程求得尸的值.

解：设的方程为》=加)，+与4(/,必),3(%2，%)，

y2=2px

则由，p得y2_2pmy_p2=0,二y+必=2pm,%必=7、

x=my+—

,2

kMA+kM=xI%_xI%一(冲2+P)+%(mp+P)

，VM

'"Br.Pr.£fnyt+pmy2+p。孙+p)(阳？+#

1222

2,孙为+P(X+%)=2根(一加)+2,叩2=0

(my1+p)(my2+p)(加弘+p)(m%+P)

ZAMF=ZBMF,-.-tanNAMB=?1a“例"=2加,又ZAMF为锐角，

1-tan-ZAMF

:.tanZAMF=——•

2

不妨设A尸＞B尸，如图，作A"J_x轴，垂足为〃，过M作直线/J_x轴,

44」/,垂足为4,则

…AHAH

tanZ.AMF=-----——=sinZAFH

MH~AAAF

sinZAFH=—ZAFH=45°,/.m=1，

2

.'.IAB|=Vl+m2|y,一必|=’（1+加2）[（凹+%）2-4%%]=4p=24,故p=6.

故答案为：6

注：直线和圆锥曲线相交所得弦长有关计算问题，要注意熟练应用弦长公式.

17.在口48。中，。力,。分别是角人民。的对边.若人一c=2,cosC=2且，再从

7

条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题：

(1)求瓦c的值；

(2)求角力的值及口ABC的面积.

条件①：acosB+bcosA=ac;条件②：2匕cosC=2a-----—c.

147

答案：(1)人=6,c=4；(2)A=—,s=65/3•

(1)选用条件①：由正弦定理求得。=2疗，利用余弦定理和力-。=2,即可求解；

选用条件②：由正弦定理求得cos3=也，得出sin8=^史，再由cosC=2也，

14147

求得得sinC=应，结合正弦定理，即可求解；

7

(2)由余弦定理求得A的值，结合面积公式，即可求解.

解：⑴选用条件①：因为acosB+8cosA=，^ac，

14

由正弦定理得sinAcosB+sin8cosA。sinC>可得sinC=^^asinC>

1414

又因为Ce(O,万)，所以sinC*O,可得a=2币,

又由cosC=2E，由余弦定理得上比二u=2也

7lab7

将h-c=2代入上式，解得b=6,c=4.

选用条件②：因为2bcosC=2Q—，

7

由正弦定理得2sinBcosC=2sinA--sinC=2sin(8+C)--sinC

77

=2(sinBcosC+cosBsinC)—sinC

即2cosfisinC--sinC=0，

7

又因为Ce(0,7),所以sinC/O,可得cosB=E，则sinB=之叵，

1414

又由cosC=7.,可得sinC=Jl-cos°C

77

b/?_sinB_3

由正弦定理

sinBsinCcsinC2

又由b—c=2,可得。=6,C=4・

(2)由余弦定理得cosA="+c2_a-=1,

2bc2

71

因为0<A<",所以A=一.

3

所以HABC的面积为S=—Z>csinA=—X6X4X^-=6A/3.

222

注：对于解三角形问题的常见解题策略：

对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”

寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角

和定理，三角形面积公式在解题中的应用.

18.在四棱锥P-A6CD中，四边形A6C。为平行四边形，△AP8为等腰直角三角形,

PA=PB,AD=s[i，AB=2,PD人AB,PC=后.

p

（1）求证：BD1AD；

（2）求直线BO与面PAO所成角的正弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）叵.

7

（1）设A8的中点为6,连接PE与。E,利用已知条件得到PE_LAB,再利用线面

垂直的判定定理得到AB_L平面尸中，得到BD=AD=6,即可得出

结论；（2）由（1）知，AB1PD,利用已知条件得到P。，NPDE=60。,以。为

原点，所在直线为SV轴，以方反比的方向分别为x轴，y轴的正方向，过

。在△POE所在平面内作OE的垂线为z轴建立空间直角坐标系.写出点坐标，利用空

间向量求解线面角即可.

解：解：（1）设A3的中点为七连接PE与DE,

因为△PAB是等腰三角形，PA=PB,

所以PEL,

又因为AB上PD,PDcPE=P,

所以AB,平面阻）,

所以ABLOE,

.-.BD=AD=y/2,-.-AB=2,

所以△ABO是等腰直角三角形，

则AD1BD.

(2)由(1)可知A5J•平面P£D,

故ABJ.PO,

平面PED±平面ABD，

又因为PC=不，

CD//AB,:.CD±PD,

：.PD=y/PC2-CD2=b

易知PE=OE=1,

所以NPDE=60°.

如图，以。为原点，。瓦。。所在直线为x，y轴，

以方反反的方向分别为x轴，y轴的正方向，

过〃在△尸OE所在平面内作DE的垂线为z轴建立空间直角坐标系.

则。(0,0,0),P,A(l,-l,0),B(l,l,0).

[22,

得£>5=(1,1,0),OP=,ZM=(l,-l,0),

设平面PAD的法向量为=(x,y,z),

x—y=0

取方=(6,6,—1),

K瓦为V42

所以……配丁

因此直线BD与平面PM)所成角的正弦值为匹.

7

注：方法点睛：

求空间角的常用方法：

(1)定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间

角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

(2)向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角(直线方向向量与直线

方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量)余弦值，即可求出

结果.

19.已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小

白鼠.血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将6只小白鼠随机排序并化验血液,

每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直

到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用乃表示化验总次数.

(1)在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求X=3的概率；

(2)求才的分布列与数学期望.

164

答案：(1)-；(2)分布列见解析，期望E(X)=^.

(1)4="第/次验血结果呈阳性"，ie{l,2,3,4,5,6},表示4的对立事件，根据

条件概率的计算公式，即可求解；

(2)根据题意，得到随机变量1的可能取值，结合独立事件的概率计算公式，求得相

应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得期望.

解：(1)4="第，次验血结果呈阳性"，ie{l,2,3,4,5,6},表示4的对立事件.

若A发生，则需从2只患病小白鼠中选择1只排在第一位，其他位置可随意排，

故符合条件的排列顺序共有父种，

若A与X=3同时发生，则2只患病小白鼠一定排在第一、第三两个位置,

其他位置可随意排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有种.

所以概率为尸（x=34）=与胃=笨='

（2）随机变量X的可能取值为2,3,4,5,

A2A41

可得

A1〉

P（X=3）=P（444）+P（AAA3）=2X第=4，

4613

________________________A2A4A

p（x=4）="伍4/4）+尸（私窃）+2（4兄无4）+尸（窝7而）=4*卡=三

A（、13

Q

故p(X=5)=l—P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=—

故才的分布列是

X2345

1248

P

15V515I?

124864

数学期望E（X）=2x——+3x—+4x—+5x——=——.

1515151515

注：求随机变量X的期望与方差的方法及步骤：

1、理解随机变量X的意义，写出X可能的全部值：

2、求X取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；

3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望£（X）,D（X）；

4、若随机变量X的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），

可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.

22

20.已知椭圆Q与G：?+^=1的离心率相同，过G的右焦点且垂直于X轴的直线

被椭圆c2截得的线段长为3亚.

（1）求椭圆G的标准方程；

（2）若直线/：y=J§x+加与椭圆G、的交点从上到下依次为。、A、B、D,

且|AC|=g,求加的值.

答案：（1）三+匕=1；（2）m=±5

22

（1）设椭圆。2的方程为3■+方=1（。＞8＞0），焦距为2c，根据已知条件可得出关

于a、6、C的方程组，解出a、力的值，由此可得出椭圆G的标准方程；

（2）设A（x，y）、网冷％）、。（王，%）、。（王，乂），将直线/的方程分别与椭圆G、

G联立，列出韦达定理，分析得出恒。=应用回，可得出关于实数机的等式，进

而可解得实数机的值.

22

解：（1）设椭圆。2的方程为=+a=1（“＞。＞0）,焦距为2c,

22»2

将X=C代入G的方程可得;+4=1,解得y=±工.

a~b~a

C_1

a2

a=272/2

由题意得《---=3^2,解得,L，因此C2的方程为L+匕

a[b=yfe_86

c2=a2+b2

/与G、。2相交，只需当/I=I时，

A,=64x3m2-60(4m2-12)=48(15-m2)>0,

解得—V15<m<V15"

当力=2时，A,=64x3m2-60(4zn2-24)=48(3()-病)>0,

由韦达定理可得X+X2=X3+X4=—W^，所以，AB与CD的中点相同，

所以，“|=四普，

即

1J48(3O-病)也8(15-/)

一-------

|AC|=-X2X(|X3-X4|-|XI-X2|)=RX~~--------

22

4A/3^30-m-V15-m)4

=15=5

整理可得加2=3,解得加=±也，满足条件.

注：方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(西，芳)、(X2，%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于％(或y)的一元二次方程，必要时计算/；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为％+々、X&的形式；

(5)代入韦达定理求解.

12

21.已知函数/(x)=xlnx——kx-x,g(x)=\nx-kx.

(1)当)=1时,求g(x)的最大值;

(2)当0<女<1时，

e

Qi)判断函数g(x)的零点个数；

「f(x.}/(x)

(4)求证：f(X)有两个极值点人"2,且上工乜+工二92〉-，

x}x2

答案：(1)-1；(2)①两个；②证明见解析.

求导，当女>0时，利用导函数分析原函数的单调性；(1)当攵=1时，利用单调性求最

值即可；(2)(1.)利用单调性以及零点存在性定理可判断函数g(x)的零点个数；(77)

lnx—^x=g(x),由(/)知g(x)有两个零点，设为占,当，且。<玉<，<々，通过g*)

K

的单调性，分析/(X)的单调性，可得为为了(X)的两个极值点，代入函数可得

")+2=3吧—2,用分析法证明如神已一2>-1,整理令

x,x222

，=上>1,记〃(f)=lnf—2"二D,求导，得到〃。)>〃(1)=0即可.

玉t+\

解：解：g(x)定义域为(0,+℃),g'(x)=!一左=、一”.

XX

当&>0时,令g'(x)>0,

得0<xv—,

k

令g'(x)<。，得x>?，

k

故g(x)在(0,：)上单调递增，在+00)上单调递减.

(1)当左=1时，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以g(x)gx=g6=-L

(2)(7)•••g(X)在(o,：)上单调递增，在+8)上单调递减，

・•.g(x)至多有两个零点.

g(=In1-1>0,k<0,g(x)在11上有•一个零点.

\k)kyk)

由(1)可证Inx—兀，-l<0,lnx<x,

从而g(14F)、=lnF4-%4=21n%2-74<2x工2一4二=°,

(1、

又•・,<?7>°，

g(x)在上有一个零点.

综上，函数g(x)有两个零点.

(ii)F(x)的定义域为(0,田),/'(幻=lnx+l一履一1=lnx-/sr=g(x).

由(7)知g(x)有两个零点,

设为玉,当，且0<%]<—<x,,

k

且In%=云],Inx2=kx2.

又；g(x)在(0,：)上单调递增，在(：，+°°)上单调递减•

k

.•.当0cxeX],或x>当时,

g(x)<0；

当玉<x<%2时，g(x)>0.

・•・/(x)在(0,%)上单调递减，在(玉,々)上单调递增，在(％,+<»)上单调递减,

故王,X2为“X)的两个极值点.

n^=lnx-4—1

%2

/(%)1

同理-----2=—In%2—1.

x22

欲证止}+3=见但些一2〉一1,

%马2

即证In%+lnx2>2.

,.Tn芭=例,In马=在，

In赴+In%=k(x2+x1)

Inx2-lnx1=k(x2-x^y

逗+1

Inx2-In%,x2—x}x2

令

即证---In/>2,

即证Inf—2(tT)>00.

t+\

4(IP

记入(f)=lnf—处』>0,

/+1tQ+l)-fQ+1)-

・・•帕）在（l,yo）上单调递增,

故h(t)>h(V)=0,

命题得证.

注：方法点睛：利用导数研究函数/（X）的单调性和极值的步骤:

①写定义域，对函数f（X）求导//（x）;②在定义域内，解不等式/'（X）＞0和/'（X）＜0；

③写出单调区间，并判断极值点.

4

x=——+rcosa

3

22.在平面直角坐标系中，直线］的参数方程为〈；(t为参数，二

y=——+，sina

3

为直线1的倾斜角），以原点。为极点、X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的

4

极坐标方程为P92=-----—.

3-cos2^

（1）求曲线C的直角坐标方程;

（2）若点P1—?一直线I与曲线C相交于AB两点，且丽=2而，求直线I

的方程.

答案：（1）y+y2=1；（2）x-y-l=0或69x-15y+57=0.

（1）利用极坐标转直角坐标的公式求得曲线，的直角坐标方程.

（2）联立直线/的