第八章应力应变状态分析

第八章应力应变状态分析第一页，共六十四页，编辑于2023年，星期五第八章应力应变状态分析§8-1引言§8-2平面应力状态应力分析§8-3应力圆§8-4极值应力与主应力§8-5

复杂应力状态的最大应力§8-6平面应变状态应变分析§8-7广义胡克定律第二页，共六十四页，编辑于2023年，星期五§8.1引言目录单向拉压与纯剪切是材料受力最基本形式，在工程实际中，常常会有更复杂的受力形式。1FF1σσ单向受力第三页，共六十四页，编辑于2023年，星期五§8.1引言目录FlaSS平面zMzT4321yx13双向受力第四页，共六十四页，编辑于2023年，星期五§8.1引言目录三向受力第五页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.1

引言低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁第六页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.1

引言脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁第七页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录很明显，仅仅依靠对单向受力与纯剪切的知识，尚不能解决上述构件的强度问题，而应研究微体受力的一般情况，微体内各横截面的应力与各方位的变形，以及材料在复杂应力作用下的破坏或失效规律。§8.1

引言第八页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录应力状态：构件内一点处所有微截面的应力情况或集合。§8.1

引言应变状态：构件内一点处沿所有方位的应变情况或集合。微体的边长为无穷小量，因此，当围绕一点所取微体各截面的应力均为已知时，则过该点所作各微截面的应力也完全确定。同样，当围绕一点所取微体各方位的应变均为已知时，则该点沿各个方位的应变也完全确定。所以，在分析一点处的应力与应变状态时，通常以微体作为研究对象。第九页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录共同点：在微体的三对侧面中，仅在两对侧面上作用有应力，且其作用线均平行于微体的不受力侧面。这种应力状态，称为平面应力状态。平面应力状态是一种常见的应力状态。单向受力与纯剪切应力状态是平面应力状态的特殊情况。一.平面应力状态§8.2

平面应力状态应力分析31σσ第十页，共六十四页，编辑于2023年，星期五yxzabcdσxσxτxσyσyτyef平面应力状态的微体§8.2

平面应力状态应力分析目录第十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录二.斜截面应力一般公式§8.2

平面应力状态应力分析xxxyntxxyyyyxxyyxyefefbbef面积：dAeb面积：cosαdAbf面积：sinαdAτx=τy第十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.2

平面应力状态应力分析xxxyntxxyyyyxyfefbb得到平面应力状态下斜截面应力的一般公式：yxxy第十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.2

平面应力状态应力分析xxxyntxxyyyyxyfefbb将上式中的α

用α+90°代替，得到α+90°截面上的正应力，可以证明：即：任意两互相垂直的截面的正应力之和为常数。yxxy第十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.2

平面应力状态应力分析xxxyntxxyyyyxyfefbb规定：正应力以拉伸为正；切应力以使微体顺时针转动为正；方位角α

则以坐标轴x

为起始边、指向沿逆时针方向为正。yxxy第十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期五例8-1

已知应力状态如图，计算ab

斜面上的正应力和切应力。§8.2

平面应力状态应力分析abn解：目录第十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录一.应力圆§8.3

应力圆（图解法）将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加第十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.3

应力圆（图解法）得取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的切应力，则上式为一圆方程。圆上任一点的纵、横坐标，分别代表微体相应截面的切应力与正应力，即为应力圆（莫尔圆）。Rσ半径为圆心坐标为第十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录二.应力圆的绘制与应用§8.3

应力圆（图解法）xxxyyntyD（x截面对应）xxy-xE（y截面对应）H(任意斜截面α)FGτx=τyDF=EG所作即为应力圆第十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.3

应力圆（图解法）α

截面的应力求法：将半径CD沿方位角α

的转向旋转2α

至CH处，可以证明，所得H点的纵、横坐标分别代表α

截面的切应力与正应力。xxxyyntyD（x截面对应）xxy-xE（y截面对应）H(任意斜截面α)FGτx=τyDF=EG第二十页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.3

应力圆（图解法）值得注意的是：在应用应力圆分析应力时，微体内两截面的夹角为α时，应力圆上相对应点所夹的圆心角为2α，且二者转向相同。因此，两相互垂直截面相对应的点，必然位于应力圆上同一直径的两端。第二十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.3

应力圆（图解法）绘制应力圆的步骤：⒈作横轴为轴，纵轴为轴；⒉在横轴上取OB1=x，过B1引垂线B1D1=x；⒊在横轴上取OB2=y，过B2引垂线B2D2=-x；⒋连接D1D2交横轴于C⒌以C为圆心，CD1为半径作圆，此圆即为应力圆。xxxyyyD1xxy-xD2B1B2第二十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期五例8-2

已知应力状态如图，利用图解法计算ab

斜面上的正应力和切应力。§8.3

应力圆abn解：目录στ60°CA(50，-20)B(-40，20)E按比例尺量取E点坐标，得σ=10.2MPaτ=49MPaα=-30°O第二十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录一.平面应力状态的极值应力§8.4

极值应力与主应力平面应力状态的应力圆如图所示。在平行于z

轴的各截面中，最大与最小正应力分别为最大正应力所在截面的方位角：第二十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.4

极值应力与主应力由图中可以看出，直线BD’所示方位即最大正应力的方位，因此，方位角也可由下式确定：第二十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.4

极值应力与主应力因为最大与最小正应力所在截面互相垂直，因此，各正应力极值所在截面的方位如图（ｂ）。第二十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.4

极值应力与主应力在平行于ｚ轴的各截面中，最大与最小切应力分别为所在截面互相垂直，并与正应力极值截面呈45°夹角。第二十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录二.主应力§8.4

极值应力与主应力由图可知，正应力极值所在截面的切应力为零。主平面：切应力为零的截面。ab，bc，cd，da均为主平面。微体的前、后两面不受力，切应力也为零。主平面微体：三对互相垂直的主平面所构成的微体。第二十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.4

极值应力与主应力主平面：主平面上的正应力。按其代数值，表示为：在处于平面应力状态的微体内，一定存在主平面微体。单向应力状态：三个主应力中，仅有一个主应力不为零。二向应力状态：三个主应力中，两个主应力不为零。三向应力状态：三个主应力都不为零。第二十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录三.纯剪切状态的最大应力与圆轴扭转破坏分析§8.4

极值应力与主应力ττσDB(0，-τ)A(0，τ)OC最大拉、压应力第三十页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.4

极值应力与主应力ττσDB(0，-τ)A(0，τ)OC最大切应力位于微体的纵、横截面上，绝对值为第三十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.4

极值应力与主应力低碳钢圆轴扭转屈服时，在表面纵、横方向出现滑移线，灰口铸铁圆轴扭转时，在与轴线约成45°倾角的螺旋面上发生断裂，即分别与最大切应力及最大拉应力有关。第三十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期五例8-3

求图示微体的主应力大小及方位。目录解：已知§8.4

极值应力与主应力第三十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录因此最大主应力的方位角：§8.4

极值应力与主应力第三十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期五1133στCA(50，-20)B(-40，20)EO解(二)：图解法§8.4

极值应力与主应力目录第三十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期五例8-4

求图示微体的主应力大小及方位。目录解（一）解析法§8.4

极值应力与主应力第三十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期五3311解(二)：图解法§8.4

极值应力与主应力目录第三十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期五124512345mm15311113333234梁的主应力与主应力迹线。此式表明，在梁内任一点处的两个非零主应力中，其一必为拉应力，而另一则必为压应力。§8.4

极值应力与主应力目录第三十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期五

梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应力1和压主应力3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的主应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个主应力的方向。x11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd主应力迹线的画法：§8.4

极值应力与主应力目录第三十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期五拉力压力1313图示为悬臂梁的主应力迹线实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。§8.4

极值应力与主应力目录第四十页，共六十四页，编辑于2023年，星期五q1331

图示混凝土梁自重下的主应力迹线。

混凝土属脆性材料，抗压不抗拉。沿拉主应力迹线方向铺设钢筋，可增强混凝土梁的抗拉强度。§8.4

极值应力与主应力目录第四十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录一.三向应力圆§8.5

复杂应力状态的最大应力s1s2xyzs3主平面微体123与主应力σ3

平行的斜截面上的应力，仅与σ1

和σ2有关，所以，在σ-τ

平面内，与这类斜截面对应的点，必然位于由σ1

与σ2所确定的应力圆上。第四十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期五三向应力圆123123123123§8.5

复杂应力状态的最大应力目录第四十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录二.最大应力§8.5

复杂应力状态的最大应力在σ-τ

平面内，代表任一截面的应力的点，或位于应力圆上，或位于由三圆所构成的阴影区域内。则最大与最小正应力分别为最小正应力分别为最大与最小主应力，即第四十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期五maxmin123最大切应力所在的截面与2平行，与第一、第三主平面成45°角。§8.5

复杂应力状态的最大应力目录第四十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期五§8.5

复杂应力状态的最大应力上述结论也适用于单向与二向应力状态。如对于在拉应力σ

作用下的单向应力状态：则最大正应力与最大切应力分别为目录第四十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期五例8-5

如图所示应力状态，试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。目录已知§8.4

极值应力与主应力sxsyxyzszτx解：1.画三向应力圆显然，σz

为主应力，其余两个主应力可由σx、σy和τx确定。A(80,35)B(20,35)CDE第四十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.4

极值应力与主应力sxsyxyzszτx2.主应力与最大应力A(80,35)B(20,35)CDE最大正应力最大切应力第四十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录一.广义胡克定律§8.7

广义胡克定律弹性力学指出：对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围内时，线应变只与正应力有关，而与切应力无关；切应变只与切应力有关，而与正应力无关。这样，处于平面应力状态的微体，其正应变εx、εy

与切应变γxy

均可利用叠加原理进行分析。第四十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期五=+§8.7

广义胡克定律正应力σx单独作用时，微体x

和y

方向的正应变分别为正应力σy单独作用时，微体x

和y

方向的正应变分别为目录第五十页，共六十四页，编辑于2023年，星期五=+§8.7

广义胡克定律所以，当正应力σx与σy同时作用时，微体x

和y

方向的正应变分别为正应力单独作用时：目录第五十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期五=+§8.7

广义胡克定律微体的切应变为正应力同时作用时：目录第五十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期五=+§8.7

广义胡克定律同理可得目录第五十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.7

广义胡克定律同样可以证明，对于三向应力状态，应变与应力的关系为xyzxyxzxyzyxyzzxzy132微体的六个平面皆为主平面时的情况：第五十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.7

广义胡克定律广义胡克定律第五十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录§8.7

广义胡克定律广义胡克定律的使用范围：1.材料为各向同性，且处于线弹性范围内；2.式中的x，y并不局限于所取定的坐标轴，只要x，y方向互相垂直，均可使用此定理。第五十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期五例8-6

如图所示槽形缸体，槽宽a=10mm，槽内放置一边长为a的正方形钢块，二者光滑贴合。设钢块顶面承受合力为F=8kN

的均布压力作用，钢的弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求钢块的主应力。目录解：在压力作用下，钢块顶面受压，且x方向变形受阻，则会引起压应力σx，即钢块处于二向应力状态。§8.7

广义胡克定律Fxyxyzaa第五十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期五目录钢块处于二向应力状态，并且§8.7