第二节期权定价模型

第二节期权定价模型第一页，共六十四页，编辑于2023年，星期四看涨期权的内在价值

(T)=max[0,S(T)-K]看跌期权的内在价值P(T)=max[K-S(T),0]

2、内在价值的计算第二页，共六十四页，编辑于2023年，星期四(二)金融期权的时间价值

1、含义

期权的时间价值，即外在价值，指期权购买者为购买期权而实际付出的期权费超过该期权的内在价值的那部分价值。2、时间价值=期权价格-内在价值

Thetimevaluerepresentstheinvestors'beliefsthattheycanmakemoremoneybysellingorexercisingtheoptionatsomefuturedate.

第三页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（三）期权价格的有关性质

性质

1:在期权到期日，期权价格等于其内在价值（时间价值为0）。

性质

2:在期权到期日之前，美式期权价格大于或等于其内在价值性质

3:对于具有相同标的资产和在相同执行价格的两个期权，距到期日较长的期权，其价格较高.

性质

4:对于具有相同标的资产和在相同到期日的两个看涨期权，执行价格越小的期权，其价格较高；对于具有相同标的资产和在相同到期日的两个看跌期权，执行价格越高的期权，其价格较高；第四页，共六十四页，编辑于2023年，星期四

（三）期权价格的有关性质性质

5:看涨期权的价格，不会高于标的资产的价格；Ifthepremiumofthecalloptionisgreaterthanthepriceofitsunderlyingasset:Today:buytheasset,writethecallandreceive$(C-S).Ifthecallisexerciseddeliverthestockandget$E.Ifitnotexercisedyoukeepboth$(C-S)andtheunderlyingasset.

性质

6:看跌期权的价格，不会高于执行价格；第五页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（四）影响期权价格的主要因素1、协定价格与市场价格及两者的关系

（1）决定期权的内在价值

（2）决定期权的时间价值

协定价格与市场价格差距越大，时间价值越小，

协定价格与市场价格差距越小，时间价值越大，

当期权处于平值时，时间价值最大。2、权利期间（期权剩余的有效时间）期权期间越长，套期保值时间越长，期权时间价值越大随着期权期间缩短，期权时间价值的增幅是递减的。3、标的资产的收益

标的资产收益率越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高。4、标的资产价格的波动性

标的资产价格波动性越大，期权价格越高5、利率

利率对看涨期权价格有正向影响，利率对看跌期权价格有负向影响第六页，共六十四页，编辑于2023年，星期四各因素对期权价格的影响其中：+为期权价格上升-为期权价格下降第七页，共六十四页，编辑于2023年，星期四看涨期权的价格X45°内在价值期权价格时间价值S0C第八页，共六十四页，编辑于2023年，星期四

看跌期权的价格X内在价值期权价格时间价值S0P第九页，共六十四页，编辑于2023年，星期四期权时间价值与权利期间的关系6543210权利期间时间价值第十页，共六十四页，编辑于2023年，星期四二、看涨——看跌期权平价关系（一）假设条件看涨、看跌期权具有相同的执行价格和相同的到期日，并且都是欧式期权。（二）平价关系

1、无收益资产的平价关系

构造如下两个组合：

PortfolioA:一份欧式看涨期权的多头和现金。PortfolioB:一份欧式看跌期权的多头和一单位标的资产在T,组合A的价值为:组合B的价值为:因此，在t,两组合的价值应相等

第十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（二）平价关系2、有固定收益资产的平价关系

WhereDisthePRESENTVALUEofthedividendspaidovertheentirelifeoftheoption.Thatis,wesubstitute(S-D)forS.第十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（二）平价关系3、期货期权的平价关系

构造如下两个组合：

PortfolioA:一份欧式期货看涨期权的多头和现金。PortfolioB:一份欧式期货看跌期权的多头和一份期货合约和现金。在T,组合A的价值为:组合B的价值为:因此，在t,两组合的价值应相等第十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（二）平价关系

4、美式期权的平价关系（1）标的资产无收益的平价关系

（2）标的资产有收益的平价关系

第十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期四三、期权定价模型

（一）二项式定价模型与期货定价相同，我们可以利用无套利定价原理对期权定价。方法是：构造一个证券组合，其赢利与期权正好相同(现金流复制方法)。BlackandScholes(1973)正是应用这种方法得出了著名的期权定价公式。二项式定价模型，尽管简单，但原理与BlackandScholes公式是相同的第十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期四1、实例

假设当前的无风险利率为20%,股票当前的价格为60$，到时期末，股票价格要么下降到30$或上升到90$.

90

60

30

到时期末，执行价格为60$的期权的价值要么是0或30.

30

C

0

Cu=max[(u·s-k),o]Cd=max[(d·s-k),o]第十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期四1、实例设我们购买0.5股股票，并且从银行借入

12.50$.

则有：

30=0.5×90-12.5×(1+0.2)

0.5×60-12.5=17.5

0=0.5×30-12.5×(1+0.2)

可见，这个组合与看涨期权的盈亏完全相同，因此，看涨期权的价值与这个组合的价值相同，为$17.50.(C=17.5)如果期权的交易价格为$18.50

，情况如何？此时，将出现套利机会。第十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期四1、实例构造下列组合：卖出一份看涨期权：

买入由0.5份股票和$12.50现金组成的组合（由股票和债券的组合复制看涨期权）。在T时刻，两个组合的收益相同，在时间t，投资者的净收益为$1.00（18.5-17.5）问题：如果期权目前的交易价为$16.50

，那么，你的套利组合应如何构建？第十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期四1、实例假设∆份股票+L现金可以复制看涨期权当股票价格上升到90$，则：

90×∆+1.2L=30

当股票价格下降到30$，则：30×∆+1.2L=0

这样：∆=0.5，

L=-12.5

组合与看涨期权对股票价格的敏感性相同。这个敏感性称为套期保值比率或称为看涨期权的∆系数：∆=∆C/∆S=(30-0)/(90-30)=0.5

复制组合应包括∆份股票、借入

L现金第十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期四2、一般的二项式定价模型在实际中，股票的价格不仅是两个值，可能有多个值。我们可以通过缩短每一步的时间周期，采取多步骤的方法，构造二叉树模型的方法来模拟股票的多个值。为求解多阶段的二叉树模型，我们只要重复求解单阶段的二叉树模型即可，因此，我们首先要得出一般的单阶段二叉树模型。第二十页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（1）一般的单阶段的二叉树模型符号设：

S：标的物现行价格

u：标的物价格可能上涨倍率（u1）

d：标的物价格可能下降倍率（d1）

R=1+单周期的无风险利率

为了防止出现套利机会，要求：

d<R<u

当股票价格上升时，Su=u×S；当股票价格下降时，Sd=d×S在到期日，期权的盈亏为：如果股票价格上升：Cu=max[(u·s-k),o]如果股票价格下降：

Cd=max[(d·s-k),o]第二十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（1）一般的单周期的二叉数模型构造下列组合：买入∆份股票+

以无风险利率借入L现金以复制看涨期权，则：∆u×S+R×L=Cu

∆d×S+R×L=Cd

解之，得：

∆=(Cu-Cd)/(u×S-d×S)

L=-(dCu-uCd)/[R×(u-d)]

注意：对看涨期权来说，L总是负值（总是借入资金）。问题：导出复制看跌期权组合的计算公式。第二十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期四

Risk-NeutralProbability记：

C=∆S+L

C=1/R×(q×Cu+(1-q)×Cd)

如果q是股票价格上涨的概率，则看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值。衍生证券的风险中性定价如果每个人都是风险中性的，股票的期望收益率将等于无风险收益率R.在风险中性的世界中，股票上升的概率为q（注意在实际中，股票上升的概率为p，投资者是风险厌恶的

）看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值：

C=1/R×{q×Cu+(1-q)×Cd}

一般公式为：DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

此公式说明衍生证券的价格是其盈亏贴现值的期望值(风险中性的世界中)

第二十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（2）二期间二叉树模型（价格关系图）SSuSdSu2SudSd2CdCCuCu2Cd2Cud第二十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（2）两阶段二叉树模型根据单阶段模型：

Cu=(q×Cuu+(1-q)×Cud)/R

Cd=(q×Cud+(1-q)×Cdd)/R

当得到Cu

、Cd，再使用单阶段模型，得：C=1/R2×{q2×Cuu+2×(1-q)×q×Cud+(1-q)2×Cdd}

同样，这也是一般模型的特例：DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

第二十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期四标的资产价格变化及风险中性概率的估计在二叉树模型中，确定u,d,andq是关键，这里应用风险中性定价法估计这些数值。在风险中性世界中：所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；未来现金流可以用期望值按无风险利率贴现假设股票的价格遵从几何布朗运动，记：r为连续复利的无风险收益率，S为期初的证券价格，则在很小

∆t末证券价格的期望值为：对一个价格遵从几何布朗运动的股票来说，在∆t

内证券价格变化的方差为（）σ为股票价格以年计的波动标准差。根据方差的定义，有：第二十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期四

假设d=1/u（Cox,Ross,Rubinstein的条件），解上面的三式，得u,d,andq的估计值为：

第二十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期四

易变性对期权定价的影响

看涨期权的价格是收益贴现值的期望，当标的资产的易变性增加时，标的资产价格出现极端值的概率增加，那么看涨期权处于实值或虚值的可能性增加，因此，波动性越高，盈亏贴现的期望值就越高，看涨期权的价格就越高。

Whataboutaputoption?

第二十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期四Example:theMulti-periodBinomialModel

第二十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期四Example（续）:第三十页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（3）二叉树模型的扩展有红利资产期权的定价支付连续红利率资产的期权定价记标的资产支付连续红利率为i,在风险中性条件下，可以用r-i替代上面公式中r即可，其他不变。这时，对于期货期权，可以将期货看成支付连续红利率为r的证券，则

第三十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（3）二叉树模型的扩展支付已知红利率资产的期权定价若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红利与资产价格之比），我们可以通过调整各节点上的证券价格，计算期权价格，调整方法为：如果时刻在除权日之前，则各结点处的证券价格不变，为：如果时刻在除权日之后，则各结点处的证券价格为第三十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期四利率是时间依赖的情况在二叉树模型的中，假定无风险利率是常数，这显然与实际不符。合理的假设是，即在时刻t的结点上，其应用的利率等于t到之间的的远期利率。其他条件不变，这样，资产价格上升的概率为：第三十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（4）构造树图的其他方法q=0.5的二叉树图如果在上面分析中，不假定d=1/u，而令q=0.5，则当的高阶小量可以忽略时，得：第三十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期四方差控制技术基本原理：期权A和期权B的性质相似（如其他条件相同的欧式和美式期权），我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。记为期权B的真实价值（解析解），为期权A的较优估计值，分别表示用同一种方法计算出的期权估计值。假设用数值计算出的期权B的误差等于期权A的误差，即：可以证明，当与之间相关系数较大时，这说明这个方法减少了期权A的价值估计的方差，我们利用和的信息改进了对期权A的价值的估计。第三十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（二）布莱克——斯科尔斯模型当二项式模型的区间长度很小，区间个数达到无穷时，二项式模型收敛于Black-Scholes模型1、假设条件期权的标的物为一风险资产，允许卖空，并且完全可分在期权到期日前，标的资产无任何收益和支付。标的资产的交易是连续的，其价格的变动也是连续的，均匀的，既无跳空上涨，又无跳空下跌。标的资产价格的波动性为一已知常数。存在着一个固定不变的无风险利率，交易者可以按此利率无限制地借入或贷出。期权是欧式的，到期日前不执行，不存在无风险套利机会标的物的价格服从于对数正态分布，股票的收益率服从正态分布。第三十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期四

AComparisonofLognormalDistributionwitha25-periodBinomialApproximation

第三十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期四2、布莱克——斯科尔斯微分方程（1）Ito过程与Ito引理

Ito过程Ito引理若变量x遵从Ito过程，则变量x与t的函数G将遵从下列过程第三十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（2）证券价格自然对数变化过程证券价格的变化过程衍生证券价格的变化过程

证券价格自然对数变化过程令G=lnS,代入上式得：第三十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期四（3）布莱克——斯科尔斯微分方程推导：

由上面的公式得：构造如下组合：该组合在后必定没有风险，因此，该组合在中的瞬时收益率一定等于的无风险收益率。第四十页，共六十四页，编辑于2023年，星期四这样有：将有关式子代入得：化简得：第四十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期四2、无收益股票欧式看涨期权定价的

Black-Scholes模型假设每个投资者都是风险中性的，利用风险中性定价模型，

DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

欧式看涨期权的价值为：

假设标的物的价格服从于对数正态分布，股票的收益率服从正态分布，

我们得到Black-Scholes定价公式为：

第四十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期四

r：Theannualizedrisklessinterestratefromtodayuntilexpiration.T：Timetoexpiration,inyears(forexample,3months=0.25).

e=2.7183.

σ=Theinstantaneousstandarddeviationoftheasset‘sreturn,annualized.Thevolatilityannualized.

ThetermsN(d1)andN(d2)arethecumulativestandardnormaldistributionsofd1andd2.（seepicture）

应用平价公式，可得到无收益股票欧式看跌期权定价模型:第四十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期四

Thestandardnormalandcumulativestandardnormaldistributions.

第四十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期四3、有收益资产欧式看涨期权定价模型当标的证券已知的现值为I时，用（S-I)替代S即可；当标的证券的收益率为di时，用替代S即可。例如，

记di为年红利率（fromtodayuntilexpiration）

应用平价公式，得有收益率的股票欧式看跌期权定价模型:

第四十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期四4、期货欧式看涨期权定价模型

应用平价公式，得期货欧式看跌期权定价模型:

第四十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期四5、重要说明

使用model对期权定价存在两类风险

模型特有风险当股票价格偏离模型分布假设（对数正态）时，期权定价模型就存在误差；特别是：

n

Jumprisk.（跳跃风险）(TheBlackScholesmodeldoesnotallowforsuddenbigchangesinstockprices.)

n

Volatilitymaynotbeconstantovertime.

估计风险：

我们仅仅能得到的是易变性的估计值。所以，必须记住，所有基于期权定价模型计算的价格和无风险交易策略都仅是一个估计值。

第四十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期四6、易变性的估计在

Black-Scholes和其他的期权定价模型中，易变性是最难确定的一个输入变量，因为易变性不能被观测到，而且必须进行估计，其他输入变量则能被观测到，相对容易确定。有三类易变性:

n

期权有效期内未来易变性：

Theinputrequiredinoptionmodelstocalculatetheoption’stheoreticalprice.

n

历史易变性：给定样本基础上计算的过去收益率的样本标准差

n

隐含易变性：当期权市场价格等于特定模型（如Black-Scholesmodel或thebinomialmodel

）的理论价格时的标准差

对未来易变性的确定没有一种完全正确的方法。一般可以应用多种方法进行估计，如应用隐含易变性作为未来易变性的估计值，或应用历史易变性作为未来易变性的估计值，也有人应用GARCH统计模型，估计未来易变性第四十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期四7、Black-Scholes定价公式的进一步讨论（1）波动率微笑与波动率期限结构在现实世界中，波动率为常数的假设是不成立的。人们通过研究发现，应用期权市场价格和BS公式计算出来的隐含波动率具有以下两方面的变动规律：隐含波动率会随期权的执行价格不同而不同，这个规律被称为“波动率微笑”；隐含波动率会随期权到期时间不同而不同，这个规律被称为“波动率期限结构”；第四十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期四波动率微笑波动率微笑产生的原因：市场分布与BS假设分布（对数正态分布）存在差异。而且还与标的资产有关；货币期权的波动率微笑及隐含分布隐含波动率呈u形，平价时波动率最低、实值或虚值时波动率会上升，且两边对称（深度虚值、实值看跌、看涨期权价格均较高（隐含波动率高）汇率的极端变化要比对数正态分布所描述的更经常出现（跳跃）价格的跳跃和波动率的随机性对波动率的影响会随时间而改变第五十页，共六十四页，编辑于2023年，星期四波动率微笑（2）股票期权的波动率微笑及隐含分布隐含波动率呈右偏斜状，波动率随执行价格的上升而下降，且不对称；说明深度虚值看跌期权价格或深度实值看涨期权价格（执行价低）会较高（隐含波动率高）；深度虚值看涨期权价格或深度实值看跌期权价格（执行价高）会较低（隐含波动率低）可能的解释：与股市崩盘有关，这使得价格下跌的可能性远大于上升的可能性。第五十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期四波动率期限结构含义：隐含波动率随到期日不同所表现出来的变化规律；期限结构：从长期来看，波动率具有均值回复的特征。即到期日越近，隐含波动率变化越大，随着到期日的延长，隐含波动率将逐步向历史波动率的平均值靠拢；波动率微笑的形状也受期权到期日时间的影响。到期日时间越近，波动率微笑越显著，到期日时间越长，不同价格的隐含波动率差异越小。波动率矩阵（波动率微笑与期限结构的结合）有效期执行价格0.90.951.001.051.10一个月三个月六个月一年两年五年14.213.012.013.114.514.013.012.013.114.214.113.312.513.414.314.714.013.514.014.815.014.414.014.515.114.814.614.414.715.0第五十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期四(2)不确定参数在BS公式中，假定无风险利率、波动率以及红利收益率都是常数，但实际上这些都是变化的。对于这些不确定的参数值,Avellaneda,Levy等人提出了解决的基本思路，即假设我们知道这些参数位于某一特定的区间内，之后考虑最悲观的情况下，我们的期权至少值多少。这样，我们不会计算出期权的某一特定价值，而是计算期权的价值区间。不确定波动率假设，我们沿用BS模型的无套利组合方法，构造下列组合：根据Ito引理和证券收益率正态分布的假设，有第五十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期四不确定波动率由于我们只知道波动率的范围，所以我们可以计算出最糟糕情况下的期权价值，其方法为：在给定的波动率范围内取组合价值的最小值，并使其等于无风险收益，这样，可以计算出期权的最小值。其公式为：令要实现左边最小，当为正时，应取，当为负时，应取期权下限应满足：也就是说，当为正时，我们用代替BS公式中的，可直接求出期权的最小值；当为负时，可用代替BS公式中的求解。第五十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期四其中，当然，也可以算出上限，即：也就是说，当为正时，应取，当为负时，应取，代入到BS公式中，求出期权的最大值。第五十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期四不确定利率

假设无风险利率位于，与上面相同的方法，构造下列组合：

并得到

由上式可知，求出期权的最小、最大值的利率取决于的符号。如果在最差的情况下，为正，则利率应取最大值，负时，利率应取最小值。其原因是，当组合为正时，我们在期权上有正的投资，此时，利率越高越不利。相应的方程为：

其中，第五十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期四也就是说，当为正时，我们用代替BS公式中的，可直接求出期权的最小值；当为负时，可用代替BS公式中的求解。第五十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期四不确定红利收益率

支付连续红利率的股票衍生证券所满足的微分方程。与上面相同的方法，构造下列组合：并得到

在内，证券组合的投资者获得资本利得，以及红利为：则在内，证券组