第二节排列与组合理

第二节排列与组合理第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四1.理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题．第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四

1．排列第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四2．组合第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四[思考探究]如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．

第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四1．从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，

组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 (

)A．9个B．24个

C．36个D．54个解析：这样的三位数共有：＝3×3×6＝54(个)．答案：D第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四2．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙

至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 (

)A．85 B．56C．49 D．28解析：分两类计算，＝49.答案：C第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四3．数列{an}共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，

则满足上述条件的数列{an}共有 (

)A．30个 B．31个C．60个 D．61个

解析：在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有＝30个不同的数列．答案：A第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四4．的值为________．解析：依题意得解得≤n≤且n∈N*，∴n＝10.∴＝466.答案：466第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则

共有________种不同的播放方式(结果用数值表示)．解析：采用特殊位置法．先让两个不同的公益广告排在首尾两个位置，再让4个商业广告排在剩下的4个位置，据分步计数原理可知共有2＝48种播放方式．答案：48

第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四1.排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前

面那个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共m个因

数．公式主要用于含有字母的排列数的式子

的变形与论证．2．组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的

应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母

的组合数的式子进行变形和论证．还应注意组合数公式的

逆用，即由写出.第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四[特别警示]

在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解．第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四解方程或不等式：(1)3＝2＋6；(2)>6；(3)已知，求.[思路点拨]第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四[课堂笔记]

(1)由题意得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍)，∴x＝5.(2)由题意得解得2≤x≤8，根据排列数公式，原不等式化为，即>1.第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四又∵2≤x≤8，解得2≤x≤8.∴原不等式的解集为x∈{2,3,4,5,6,7,8}．(3)由题意m的取值范围是0≤m≤5，且m∈N.由已知得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.又∵0≤m≤5，∴m＝2.∴＝28.第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四求排列应用题的主要方法有：1．直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．2．特殊元素(或位置)优先安排的方法．即先排特殊元素或特

殊位置．3．排列、组合混合问题先选后排的方法．4．相邻问题捆绑处理的方法．即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四5．不相邻问题插空处理的方法．即先考虑不受限制的元素的

排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．6．分排问题直排处理的方法．7．“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法．8．定序问题除法处理的方法．即可以先不考虑顺序限制，排

列后再除以定序元素的全排列．9．正难则反，等价转化的方法．第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四(5)全体排成一行，男生不能排在一起；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四[思路点拨]第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四[课堂笔记]

(1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有种，其余6人全排列，有种．由乘法原理得＝2160种．(2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排有种，但应剔除乙在最右边的排法数种．则符合条件的排法共有＝3720种．第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四(3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有＝720种．(4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有＝144种．(5)插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有＝1440种．第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此＝N×，∴N＝＝840种．(7)与无任何限制的排列相同，有＝5040种．(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有种，最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可，共有＝720种．

第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四1.组合问题常有以下两类题型：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这

些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些

元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十

分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复

与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法

分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四2．解答组合应用问题的基本思路：(1)整体分类，从集合的角度来讲，分类要做到各类的并集

等于全集，即“不漏”，任意两类的交集为空集，即“不重”；(2)局部分步，整体分类后，对每类进行局部分步，分步要

做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四[思路点拨]第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四[课堂笔记]

(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有＝120种．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，∴有＝252种．(3)全部选法有种，A，B全当选有种，故A，B不全当选有＝672种第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，∴有＝596种．(5)分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务为；第二步：选2男1女补足5人有种；第三步：为这3人安排工作有.由分步乘法计数原理共有＝12600种．

第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四以选择题或填空题的形式考查排列与组合的应用是高考对本讲内容的常规考法.09年广东、辽宁等高考将排列、组合及两个计数原理综合考查，是一个新的考查方向．第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四[考题印证](2009·广东高考)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 (

)A．48种B．12种C．18种D．36种第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四【解析】

若小张和小赵恰有1人入选，则共有：

＝24种方案；若小张和小赵两人都入选，则共有

＝12，故总共有24＋12＝36种方案．【答案】

D第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四[自主体验](2009·辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 (

)A．70种B．80种C．100种D．140种第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四解析：当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有

＝14种组法，从9人中选择3人一共有＝84种组法，所以要求男、女医生都有的情况共有84－14＝70种组队方法．答案：A第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四1．在数字1,2,3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，

任意两个数字都不相邻的全排列的个数是 (

)A．6B．12C．18D．24第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四解析：先排列1,2,3，有＝6种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有＝2种方法，共有6×2＝12种方法．答案：B第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四2．(2009·四川高考)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，

若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，

则不同排法的种数是 (

)A．360B．288C．216D．96解析：先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有种排法，再从中排除甲站两端，∴所求N＝·(－2)＝6×(6×12－24)＝288.答案：B第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四3．(2010·深圳模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不

同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生

不能分到同一个班，则不同分法的种数为 (

)A．18B．24C．30D．36第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四解析：由四名学生分到三个班，每个班至少分到一名学生可知，有一个班有2个人，另外两个班各1人，故共有种不同分法，其中甲、乙两名学生分到同一个班有种不同分法，所以满足题意的不同分法为＝30种．答案：C第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四4．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现

的错误共有________种．解析：由于有两个o，只要在4个位置选2个安排即可，余下两个字母全排列，故所有的数目为＝12，写对的只有1种，故共有11种错误的可能．答案：11第四十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四5．已知A＝{x|1<log2x<3，x∈N}，B＝{x||x－6|<3，x∈N}．从集合A中取1个元素，从B中取3个元素，可

以组成无重复数字且比4000大的自然数的个数为________．第四十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四解析：由题意得A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}，①若A中取3，则先从B中任意取3个并排好，故有＝60种排法，第二步将A中的3以插空的形式插入，有种方法，故有＝180个．②若A中